הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/2"
מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "חזרה לדוגמאות") |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
[[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | *<math>\sum\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}}</math>, כאשר <math>m,k\in\mathbb{N}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | נפעיל את '''מבחן המנה (דלאמבר)''': | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim \frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=</math> | ||
+ | |||
+ | ::<math>=\lim\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot | ||
+ | \frac{\sqrt[m]{1+\frac{1}{n}}}{\sqrt[k]{1+\frac{6}{n}+\frac{2}{n^2}}} | ||
+ | |||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | הביטוי הימני שואף לאחד, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>\lim\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}=\frac{n^{\frac{1}{m}-\frac{2}{k}}}{\sqrt[k]{4}}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''נחלק למקרים''': | ||
+ | |||
+ | ::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}>0</math> (כלומר <math>2m<k</math>) | ||
+ | |||
+ | אזי | ||
+ | |||
+ | <math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\infty</math> והטור '''מתבדר''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}<0</math> (כלומר <math>2m>k</math>) | ||
+ | |||
+ | אזי | ||
+ | |||
+ | <math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=0</math> והטור '''מתכנס''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ::<math>\frac{1}{m}-\frac{2}{k}=0</math> (כלומר <math>2m=k</math>) | ||
+ | |||
+ | אזי | ||
+ | |||
+ | לכל k, מתקיים <math>\lim \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{\sqrt[k]{4}}<1</math> ולכן הטור '''מתכנס'''. |
גרסה מ־20:51, 4 בינואר 2012
- , כאשר
נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):
הביטוי הימני שואף לאחד, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:
נחלק למקרים:
- (כלומר )
אזי
והטור מתבדר
- (כלומר )
אזי
והטור מתכנס
- (כלומר )
אזי
לכל k, מתקיים ולכן הטור מתכנס.