הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"
מ |
|||
שורה 56: | שורה 56: | ||
בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים. | בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> f(x_1) < f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים. | ||
+ | |||
+ | 6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8. | ||
+ | הוכחה: f עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. f גזירה ב<math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math>. כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> ולכן <math>\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)</math>. | ||
+ | |||
+ | מכאן נקבל <math>\lim_{x\rightarrow x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac{1}{f'(x_0)}</math>, בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן <math>\lim_{y\rightarrow y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac{1}{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה <math>x_0</math>. בכיוון ההפוך, נראה את הcontrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של f, ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי). | ||
גרסה מ־11:29, 1 בפברואר 2012
(המבחן )
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש לאפס.
היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י (באינדוקציה - גדולה יותר מכל שאר איברי שגדולים יותר מכל איברי ) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמה את ב':
דוגמה: , .
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור אבל .
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'.
ב' נכון שכן .
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם אז .) פורמלית: יהי . מתקיים ולכן לכל קיים כך ש, כלומר כך ש. מש"ל.
3) ד'. או 0 נק'. שתי דוגמאות: , . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשנייה נניח בשלילה שיש נקודה בחיתוך ונתבונן במקום , כלומר בקטע שלא מכיל את c כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר ,
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן והוכחנו רציפות כל הפונקציות הליניאריות.
גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה לג' והוכחה לד'.
5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס (ל0) מה שפוסל את ב'. עבור r=-1 מקבלים , שמתבדר לפי העיבוי כי 1/2<1. פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה.
(ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': עולה ממש ואינה רציפה בקטע .
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש עולה ממש, שהרי בה"כ ולכן בסתירה להיותם שווים.
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.
הוכחה: f עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. f גזירה ב ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת . כעת, לפי ההנחה גזירה ב ולכן .
מכאן נקבל , בהנחה שהנגזרת שונה מ-0. לכן ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה . בכיוון ההפוך, נראה את הcontrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של f, ולכן הנגזרת שונה מ-0 (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
7) .
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה , ונקבל: .
8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקצייה הסדרה חסומה מלרע ע"י 0 (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר n שואף לאינסוף.
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט ישירות (מה שהתברר כמיותר לאחר מעשה), אפשר להשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של .
קיבלנו גורם 8, גורם , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט.
11) נגדיר פונקצייה h על ידי . כעת, נתבונן ב:
ואילו , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע .
באותו האופן, ולכן יש ל- שורש בקטע . כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן) הוכחה:
רציפה ובעלת מחזור ולכן רציפה במ"ש ב ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- , ובפרט בקרן החיובית הסגורה .
ידוע ש- רציפה במ"ש ב ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- , ובפרט בקרן השלילית הסגורה .
לכן (לפי משפט ממערכי התרגול) f רציפה במ"ש באיחוד הקטעים, שהוא הישר הממשי כולו.
12 קליין) נגדיר פונקצייה h על ידי .
מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר . לכן , ומכאן ש- . מש"ל.
12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.