אינפי 1, תשנ"ו מועד ב' - פתרון (זלצמן)

קישור לבחינה עצמה: המבחן

שאלה 1

יהי [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] טור חיובי.

א. הראה שאם [math]\displaystyle{ \left \{a_{n} \right \}_{n=1}^{\infty } }[/math] סדרה המקיימת לכל n [math]\displaystyle{ |a_{n+1}-a_{n}|\lt b_{_{n}} }[/math] וכן [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\lt \infty }[/math] אזי הסדרה מתכנסת.

הוכחה:

אם הטור מתקיים התנאים הנ"ל כלומר: [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n}\lt \infty }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} }[/math] טור חיובי, אזי הטור מתכנס. שכן סדרת הסכומים החלקיים שלו היא מונוטונית עולה וחסומה מילעל ולכן מתכנסת.

נוכיח כי הסדרה הינה קושי וזאת באמצעות הקריטריון של קושי להתכנסות סדרות.

יהי [math]\displaystyle{ \varepsilon \gt 0 }[/math]. לפי קריטריון קושי קיים [math]\displaystyle{ M\in \mathbb{N} }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ p\in \mathbb{N} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |\sum_{i=M}^{M+p}b_{i}|\lt \varepsilon }[/math].

יהיו [math]\displaystyle{ n,m\gt M }[/math], אזי:

[math]\displaystyle{ |a_{n}-a_{m}|=|a_{n}-a_{n-1}+a_{n-1} - .... + a_{m+1}-a_{m}|\leq |a_{n}-a_{n-1}| + |a_{n-1}-a_{n-2}| +....+|a_{m+1}-a_{m}|\leq b_{n-1}+b_{n-2}+...+b_{m}=\sum_{i=m}^{n-1}b_{i}\leq \sum_{i=M}^{n-1}b_{i}\lt \varepsilon }[/math]

הראנו שהסדרה היא קושי ולכן מתכנסת.

ב אם