הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 2"
מתוך Math-Wiki
(←2) |
(←ה) |
||
שורה 50: | שורה 50: | ||
===ה=== | ===ה=== | ||
+ | נפעיל את מבחן המנה: | ||
+ | |||
+ | <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}</math> | ||
+ | |||
+ | נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>\frac{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}}=\frac{4-2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}= | ||
+ | |||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \frac{2-\sqrt{2+...}}{\sqrt{2-\sqrt{2+...}}\cdot\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...}}}}\leq \frac{1}{\sqrt{2}} <1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ולכן הטור מתכנס. |
גרסה מ־18:10, 4 בפברואר 2012
1
תנאי הכרחי להתכנסות הטור הוא התכנסות הסדרה לאפס . תנאי זה הכרחי אבל אינו מספיק.
טור מתכנס בתנאי הינו טור המתכנס, אבל אינו מתכנס בהחלט.
2
א
ברור כי ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים הטור מתבדר.
ב
כיוון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן
ולכן לפי מבחן ההשוואה השני לטורים חיוביים, הטור מתכנס, כלומר הטור מתכנס בהחלט.
ג
הוכחה:
כיוון שהטור מתכנס, אזי הסדרה שלו שואפת לאפס. לכן הסדרה לא חסומה או לא מוגדרת ובכל מקרה אינה שואפת לאפס ולכן הטור מתבדר.
ד
הפרכה:
מתכנס לפי לייבניץ, אבל מתבדר
3
א
ב
ולכן סה"כ הטור קטן מהטור ההנדסי המתכנס
ולכן מתכנס
ג
ד
ה
נפעיל את מבחן המנה:
נכפיל בצמוד של המונה למעלה ולמטה לקבל:
ולכן הטור מתכנס.