הבדלים בין גרסאות בדף "מבחן השורש של קושי"
מתוך Math-Wiki
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (←הוכחה) |
Noamlifshitz (שיחה | תרומות) (←הוכחה) |
||
שורה 19: | שורה 19: | ||
::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math> | ::<math>\lim \sqrt[n_k]{a_{n_k}}=d</math> | ||
− | *לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d | + | *לכן החל ממקום מסויים בסדרה, <math>\sqrt[n_k]{a_{n_k}}>\frac{d+1}{2}>1</math>. |
*לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math> | *לכן <math>a_{n_k}>\Big(\frac{d-1}{2}\Big)^{n_k}</math> |
גרסה מ־19:57, 4 בפברואר 2012
מבחן השורש של קושי לטורים חיוביים
יהי טור חיובי. אזי:
- אם הטור מתבדר
- אם הטור מתכנס
- אם לא ניתן לקבוע על פי מבחן זה.
הוכחה
נניח כי . נבחר את תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון:
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה, .
- לכן
- לכן
- לכן בפרט
ולכן הטור מתבדר.
כעת, נניח כי .
- לכן החל ממקום מסויים בסדרה,
- לכן
- אבל הוא טור הנדסי מתכנס
- לכן לפי מבחן ההשוואה הראשון לטורים חיוביים, הטור שלנו מתכנס.
הטורים הם דוגמאות להתכנסות והתבדרות כאשר הגבול שווה ממש לאחד.