|
|
שורה 40: |
שורה 40: |
| סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו. | | סה"כ <math>L=0</math> כפי שרצינו. |
| | | |
| + | == ראו גם == |
| | | |
− | ==משפט רול==
| + | * [[משפט רול]] |
− | | + | * [[משפט לגרנאז' (אינפי)|משפט לגרנאז']] |
− | תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math> כך ש <math>f(a)=f(b)</math>.
| + | |
− | | + | |
− | אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=0</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | ===הוכחה===
| + | |
− | נוכיח כי קיימת נקודת קיצון מקומית <math>c\in (a,b)</math> ולכן המשל נובע ממשפט פרמה.
| + | |
− | | + | |
− | לפי משפט ויישטראס השני, כיוון שהפונקציה רציפה בקטע סגור היא מקבלת בו מינימום ומקסימום. נניח בשלילה שגם המינימום וגם המקסימום מתקבלים בקצות הקטע a,b. על כן, כיוון ש<math>f(a)=f(b)</math> אנו מקבלים כי המקסימום והמינימום שווים ולכן הפונקציה קבועה בקטע. לכן כל נקודה בקטע היא נקודת קיצון מקומית, וקיבלנו את התוצאה הדרושה.
| + | |
− | | + | |
− | אחרת, המינימום או המקסימום מתקבלים בקטע הפתוח <math>(a,b)</math> ולכן הן נקודות קיצון מקומיות, ושוב קיבלנו את התוצאה הדרושה.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | ==משפט לגראנז'==
| + | |
− | תהי f רציפה בקטע <math>[a,b]</math> וגזירה בקטע <math>(a,b)</math>.
| + | |
− | | + | |
− | אזי קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | ===הוכחה===
| + | |
− | | + | |
− | נחשב את משוואת הישר העובר בין הנקודות <math>(a,f(a)),(b,f(b))</math>:
| + | |
− | | + | |
− | ::<math>y-f(a)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)</math>
| + | |
− | | + | |
− | נחסיר את משוואת הישר הזה מהפונקציה המקורית, ונוכל להפעיל את משפט רול על מנת לקבל את התוצאה הרצוייה.
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | ::<math>g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)-f(a)</math>
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | קל לראות כי <math>g(a)=g(b)=0</math> ו-g מקיימת את שאר תנאיי משפט רול. לכן קיימת נקודה <math>c\in (a,b)</math> עבורה מתקיים <math>g'(c)=0</math>. אבל:
| + | |
− | | + | |
− | | + | |
− | ::<math>0=g'(c)=f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
| + | |
− | | + | |
− | כלומר
| + | |
− | | + | |
− | ::<math>f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}</math>
| + | |
− | | + | |
− | כפי שרצינו.
| + | |
| | | |
| [[קטגוריה:אינפי]] | | [[קטגוריה:אינפי]] |
גרסה מ־01:01, 15 בפברואר 2012
הגדרת נקודת קיצון מקומית
תהי
מוגדרת בסביבת הנקודה
כך שלכל x בסביבה מתקיים:
(נקודת מקסימום מקומי)
או
(נקודת מינימום מקומי)
אזי
הינה נקודת קיצון מקומית של
.
משפט פרמה
תהי
נקודת קיצון מקומית של פונקציה
. אזי אם
גזירה ב
מתקיים:
![f'(x_0)=0](/images/math/1/4/0/1404de16f7950c7fe41dedeebf555c1e.png)
הוכחה
נניח כי f גזירה בנקודת מקסימום מקומי
(ההוכחה עבור מינימום דומה) . אזי לפי הגדרת הנגזרת הגבול הבא קיים:
![\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=L](/images/math/7/1/e/71e8a9bcd795f04a5d6e80c500f1765f.png)
לפי משפט, כיוון שהגבול קיים, הגבולות החד צדדיים ושווים.
לפי הנתון, קיימת סביבה ימנית של
בה מתקיים
, וכיוון שזו סביבה ימנית מתקיים בה גם
.
לכן ביחד, מתקיים כי
![L=\lim_{x\rightarrow x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\leq 0](/images/math/8/a/0/8a0c0dd9ef41e905e1ad149070b01fe2.png)
באופן דומה, קיימת סביבה שמאלית של
בה מתקיים
, וכיוון שזו סביבה שמאלית מתקיים בה גם
.
לכן ביחד, מתקיים כי
![L=\lim_{x\rightarrow x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\geq 0](/images/math/3/5/e/35eafac8fc50eed946ccd024dabe04a3.png)
סה"כ
כפי שרצינו.
ראו גם