בקצרה:משפט פרמה באינפי (לא "המשפט האחרון של פרמה" מתורת המספרים) עוסק בנקודות קיצון של פונקציה, כלומר בנקודות של מקסימום מקומי ומינימום מקומי: נקודות שבהן הפונקציה מקבלת את הערך הגדול ביותר, או הקטן ביותר, בסביבה דו-צדדית כלשהי שלהן. המשפט אומר שאם הפונקציה גזירה בנקודת קיצון [math]\displaystyle{ x_0 }[/math], אזי המשיק לגרף שם אופקי, כלומר [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math]; בקיצור, בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת. הסיבה: משמאל לפסגה המיתרים עולים ומימינה הם יורדים, ולכן הנגזרת, שהיא גבול שיפועי המיתרים, יכולה להיות רק אפס. ההפך אינו נכון, ולכן בבעיות של מציאת מקסימום ומינימום המשפט רק מצמצם את רשימת המועמדים: נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת, נקודות שבהן הפונקציה אינה גזירה, וקצות הקטע.
▶ ההרצאה: משפט פרמה
גרף של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. ב־[math]\displaystyle{ x_1 }[/math] יש מינימום מקומי וב־[math]\displaystyle{ x_2 }[/math] מקסימום מקומי, והפונקציה גזירה בשתיהן, ולכן לפי משפט פרמה המשיק שם אופקי (הקטעים התכולים). הרצועה התכולה היא סביבה דו-צדדית [math]\displaystyle{ (x_2-r,x_2+r) }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f(x)\le f(x_2) }[/math], בדיוק כמו בהגדרת מקסימום מקומי. ב־[math]\displaystyle{ x_3 }[/math] יש מינימום מקומי, אבל לגרף יש שם "שפיץ" ואין נגזרת (כמו [math]\displaystyle{ |x| }[/math] ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]), ולכן משפט פרמה אינו אומר עליה דבר. ב־[math]\displaystyle{ x_4 }[/math] הנגזרת מתאפסת, אבל הפונקציה עולה משני צדדיה, ולכן זו אינה נקודת קיצון (כמו [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]): ההפך של משפט פרמה אינו נכון. בקצה [math]\displaystyle{ b }[/math] (באדום) מתקבל הערך הגדול ביותר בקטע, אבל זו אינה נקודת מקסימום מקומי, כי בתחום ההגדרה יש לה רק סביבה חד-צדדית.
הגדרה 6.3.1מקסימום מקומי, מינימום מקומי, קיצון מקומי▶ סרטון 0:37
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ויהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math].
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת מקסימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ r>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in(x_0-r,x_0+r) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\le f(x_0) }[/math]:
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת מינימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם קיים [math]\displaystyle{ r>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in(x_0-r,x_0+r) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\ge f(x_0) }[/math].
[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקראת נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math] אם היא מקסימום מקומי או מינימום מקומי.
במילים: הסביבה חייבת להיות דו-צדדית: נקודת קצה של תחום ההגדרה אינה נקודת קיצון מקומית.
יהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math].
אם [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math].
ההפך אינו נכון: ייתכן ש [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] אך [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math].
הוכחה כתובה (מהדף הקודם):
נניח ש [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בנקודת מקסימום מקומי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] (ההוכחה עבור מינימום דומה). לפי הגדרת הנגזרת הגבול
לפי הנתון קיימת סביבה של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f(x)-f(x_0)\le0 }[/math]. בחלק הימני של הסביבה [math]\displaystyle{ x-x_0>0 }[/math], ולכן
לכן [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math]. [math]\displaystyle{ \blacksquare }[/math]
איך מוצאים נקודות קיצון: לפי משפט פרמה, נקודות פנימיות שבהן הנגזרת מתאפסת, ונקודות שבהן הפונקציה אינה גזירה, הן "נקודות חשודות" לקיצון. מוצאים אותן ומסווגים אותן; ראו סיווג נקודה חשודה, נקודת קיצון וחקירת פונקציות.
דוגמאות
נסו לפתור לבד, ואז לחצו "הצג פתרון".
דוגמה 1: מינימום מקומי לפי ההגדרה
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה ויהי [math]\displaystyle{ x_0\in\mathbb R }[/math]. נניח ש [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ש [math]\displaystyle{ f(x_0)=1 }[/math], ושקיים [math]\displaystyle{ r>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in(x_0-r,x_0+r) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f^2(x)\ge f(x) }[/math]. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מינימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math].
ראשית נפתור את אי־השוויון [math]\displaystyle{ t^2\ge t }[/math]: הוא שקול ל־[math]\displaystyle{ t(t-1)\ge0 }[/math], כלומר ל־[math]\displaystyle{ t\le0 }[/math] או [math]\displaystyle{ t\ge1 }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x_0)=1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ \lim_{x\to x_0}f(x)=1 }[/math]. לפי הגדרת הגבול עם הסביבה [math]\displaystyle{ \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right) }[/math] של [math]\displaystyle{ 1 }[/math], קיים [math]\displaystyle{ \delta>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ 0<|x-x_0|<\delta }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)>\frac{1}{2} }[/math]; וגם [math]\displaystyle{ f(x_0)=1>\frac{1}{2} }[/math].
נסמן [math]\displaystyle{ s=\min\{r,\delta\}>0 }[/math] ויהי [math]\displaystyle{ x\in(x_0-s,x_0+s) }[/math]. מצד אחד [math]\displaystyle{ f^2(x)\ge f(x) }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(x)\le0 }[/math] או [math]\displaystyle{ f(x)\ge1 }[/math]. מצד שני [math]\displaystyle{ f(x)>\frac{1}{2}>0 }[/math]. לכן בהכרח [math]\displaystyle{ f(x)\ge1=f(x_0) }[/math].
מצאנו [math]\displaystyle{ s>0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in(x_0-s,x_0+s) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ f(x)\ge f(x_0) }[/math], ולפי ההגדרה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מינימום מקומי של [math]\displaystyle{ f }[/math].
הרציפות הכרחית כאן: אם [math]\displaystyle{ f(x_0)=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(x)=-1 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\ne x_0 }[/math], התנאי [math]\displaystyle{ f^2(x)\ge f(x) }[/math] מתקיים לכל [math]\displaystyle{ x }[/math], אבל [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] היא מקסימום מקומי ולא מינימום מקומי.
מקור: לוח הרצאה 25.1.21, אינפי 1 מדמ"ח תשפ"א (R3-T25 / R3-X40: השאלה "ד. (10 נק')" מצילום של מבחן, ופתרון של ארז: "ראשית נפתור את אי השיוויון... קיימת סביבה של x0 בה f(x)>1/2"); מאגר ת6-043 (מבחן, ק' 2, בוחן ✓ 4ד'). הדוגמה הנגדית בלי רציפות נוספה כאן.
דוגמה 2: הנגזרת מתאפסת, אבל אין קיצון
תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) & x\ne0\\ 0 & x=0\end{cases} }[/math]. הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינה נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math]. מה הדוגמה מלמדת על משפט פרמה?
הנגזרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] מחושבת לפי ההגדרה, כגבול שיפועי המיתרים (ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הפונקציה מוגדרת בנפרד, ולכן כללי הגזירה אינם עוזרים). לכל [math]\displaystyle{ x\ne0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} }[/math] [math]\displaystyle{ =x\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math].
כאשר [math]\displaystyle{ x\to0 }[/math]: [math]\displaystyle{ x\to0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \left|\sin\left(\frac{1}{x}\right)\right|\le1 }[/math], ולכן לפי אפסה כפול חסומה [math]\displaystyle{ x\sin\left(\frac{1}{x}\right)\to0 }[/math]. כלומר [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math].
אין קיצון ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]: לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] נגדיר [math]\displaystyle{ x_k=\frac{1}{\frac{\pi}{2}+2\pi k} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ y_k=\frac{1}{\frac{3\pi}{2}+2\pi k} }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{x_k}\right)=1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sin\left(\frac{1}{y_k}\right)=-1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f(x_k)=x_k^2>0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(y_k)=-y_k^2<0 }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ r>0 }[/math]. לפי תכונת ארכימדס קיים [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ k>\frac{1}{r} }[/math]. שני המכנים חיוביים, המכנה של [math]\displaystyle{ y_k }[/math] גדול מהמכנה של [math]\displaystyle{ x_k }[/math], ושניהם גדולים מ־[math]\displaystyle{ 2\pi k>k }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 0<y_k<x_k }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x_k<\frac{1}{k}<r }[/math]. שתי הנקודות בסביבה [math]\displaystyle{ (-r,r) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f(y_k)<f(0)<f(x_k) }[/math].
לכן אף סביבה של [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינה מקיימת [math]\displaystyle{ f(x)\le f(0) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בה, וגם לא [math]\displaystyle{ f(x)\ge f(0) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בה: [math]\displaystyle{ 0 }[/math] אינה מקסימום מקומי ואינה מינימום מקומי.
המסקנה: משפט פרמה פועל בכיוון אחד בלבד. נקודה שבה הנגזרת מתאפסת היא רק מועמדת לקיצון. דוגמה פשוטה יותר: ל־[math]\displaystyle{ x^3 }[/math] הנגזרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] היא [math]\displaystyle{ 0 }[/math], אבל [math]\displaystyle{ x^3<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x<0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ x^3>0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math]. (בסרטון מוסבר שב־[math]\displaystyle{ x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] הנקודה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] גם אינה נקודת פיתול.)
מקור: סרטון 71 (Vlsum5uohMo), הדוגמה שהמרצה פותר: 07:03–10:40 (https://www.youtube.com/watch?v=Vlsum5uohMo&t=423s); "אפסה כפול חסומה, סך הכל הגבול הזה הוא 0" ב־10:27; "0 היא לא קיצון כי תמיד יש נקודות גם מעליה וגם מתחתיה" ב־07:46; לא פיתול ב־07:52. אותה דוגמה בלוח תשפ"ד, הרצאה 16 עמ' 104–105 (R5-6.5: "f'(0)=0 ('אפיסה·חסומה') ואין קיצון ואין פיתול", יחד עם x^3). מאגר ת6-037 (V71@07:03, ק' 1–2, בוחן ✓). הסדרות x_k, y_k (ההוכחה שאין קיצון) נוספו כאן; בסרטון זה מוסבר מהגרף.
דוגמה 3: מקסימום ומינימום בקטע סגור
יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. מצאו את הערך המקסימלי ואת הערך המינימלי של הפונקציה [math]\displaystyle{ f(x)=x^n-x^{2n} }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math].
השיטה (ויירשטראס ופרמה): [math]\displaystyle{ f }[/math] פולינום, ולכן רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] וגזירה בכל נקודה. לפי משפט ויירשטראס השני [math]\displaystyle{ f }[/math] מקבלת בקטע מקסימום ומינימום. אם אחד מהם מתקבל בנקודה פנימית [math]\displaystyle{ c\in(0,1) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ c }[/math] נקודת קיצון מקומית (הסביבה [math]\displaystyle{ (c-s,c+s) }[/math] עם [math]\displaystyle{ s=\min\{c,1-c\} }[/math] מוכלת בקטע), ו־[math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ c }[/math], ולכן לפי משפט פרמה [math]\displaystyle{ f'(c)=0 }[/math]. לכן המקסימום והמינימום מתקבלים בקצוות או בנקודות שבהן הנגזרת מתאפסת (ובאופן כללי גם בנקודות שבהן הפונקציה אינה גזירה; כאן אין כאלה).
איפה הנגזרת מתאפסת: [math]\displaystyle{ f'(x)=nx^{n-1}-2nx^{2n-1} }[/math] [math]\displaystyle{ =nx^{n-1}\left(1-2x^n\right) }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ nx^{n-1}>0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] אם ורק אם [math]\displaystyle{ x^n=\frac{1}{2} }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x=\frac{1}{\sqrt[n]{2}} }[/math]; ואכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[n]{2}}\in(0,1) }[/math], כי [math]\displaystyle{ \sqrt[n]{2}>1 }[/math].
לכן הערך המקסימלי של [math]\displaystyle{ f }[/math] בקטע הוא [math]\displaystyle{ \frac{1}{4} }[/math] (ב־[math]\displaystyle{ x=\frac{1}{\sqrt[n]{2}} }[/math]), והערך המינימלי הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (בשני הקצוות).
שימו לב: ויירשטראס הכרחי בטיעון, כי רק אחרי שידוע שהמקסימום קיים מותר לקבוע שהוא הגדול מבין המועמדים. ו"תלמידים נוטים להציב את הקצוות" בלבד: כאן זה היה נותן [math]\displaystyle{ 0 }[/math] בשני הקצוות ומחמיץ את המקסימום שבפנים.
מקור: מיני־קורס חדו"א קיץ תשפ"ה, הלוח (R8c, מיני25 ש' 841–861: max של x^n−x^{2n} ב־[0,1] הוא 1/4, "תלמידים נוטים להציב את הקצוות"; ש' 847–848: "ביחד המקס' והמינ' חייבים להתקבל בנק' כלשהן, בהן הנגזרת מתאפסת, הפונקציה אינה גזירה או בקצוות"); לוח תשפ"ד, הרצאה 16 עמ' 105–106 (R5-6.6, אותה שיטה: "היכן הקיצון יכול להתחבא? בקצוות, או בנקודות בהן f'=0 או בנקודות בהן f אינה גזירה", עם הדוגמה x^3−x^4 ב־[0,1]); מאגר ת6-038 (ק' 1–2, בוחן ✓ 5ד').
דוגמה 4: קיצון עם פרמטר
יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math] ותהי [math]\displaystyle{ f(x)=e^{ax}-x }[/math]. (א) הוכיחו שאם [math]\displaystyle{ a<0 }[/math], אין ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] אף נקודת קיצון מקומית. (ב) מצאו את כל ערכי [math]\displaystyle{ a }[/math] שעבורם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] היא נקודת קיצון מקומית של [math]\displaystyle{ f }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ולפי כלל השרשרת [math]\displaystyle{ f'(x)=ae^{ax}-1 }[/math].
(א) נניח [math]\displaystyle{ a<0 }[/math]. אזי [math]\displaystyle{ ae^{ax}<0 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ f'(x)<-1<0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in\mathbb R }[/math]. נב"ש שיש ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] נקודת קיצון מקומית [math]\displaystyle{ x_0 }[/math]. [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ x_0 }[/math], ולכן לפי משפט פרמה [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math], בסתירה ל־[math]\displaystyle{ f'(x_0)<0 }[/math].
(ב) תנאי הכרחי: אם [math]\displaystyle{ 0 }[/math] נקודת קיצון מקומית, אזי לפי משפט פרמה [math]\displaystyle{ f'(0)=a-1=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ a=1 }[/math].
בדיקה ש [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] אכן נותן קיצון (משפט פרמה לבדו אינו מבטיח זאת): כאן [math]\displaystyle{ f(x)=e^x-x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f'(x)=e^x-1 }[/math], שמתאפסת רק ב־[math]\displaystyle{ x=0 }[/math]. כמו כן [math]\displaystyle{ f(0)=1 }[/math], [math]\displaystyle{ f(1)=e-1>1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(-1)=e^{-1}+1>1 }[/math].
[math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [-1,1] }[/math], ולכן לפי משפט ויירשטראס השני היא מקבלת בו מינימום בנקודה [math]\displaystyle{ c\in[-1,1] }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ f(c)\le f(0)=1 }[/math], ואילו [math]\displaystyle{ f(-1)>1 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(1)>1 }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ c\in(-1,1) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ c }[/math] נקודת מינימום מקומי (יש לה סביבה שמוכלת בקטע), ולפי משפט פרמה [math]\displaystyle{ f'(c)=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ c=0 }[/math].
מכאן [math]\displaystyle{ f(x)\ge f(0) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(-1,1) }[/math], ולפי ההגדרה [math]\displaystyle{ 0 }[/math] נקודת מינימום מקומי. התשובה: [math]\displaystyle{ a=1 }[/math] בלבד.
מקור: מבחן של ארז בקורס 88-611 מבוא לאנליזה (למורים), מועד א' תשפ"ג, 31.1.23, שאלה 4 (R7b T23A; בסיכום: "(א) f'<0; (ב) a=1 (פרמה)", אין פתרון כתוב במקור). מאגר ת6-041 ("קיצון עם פרמטר", ק' 2–3). הפתרון המלא, כולל הבדיקה שעבור a=1 זה אכן מינימום (ויירשטראס ופרמה ב־[-1,1], בלי מונוטוניות ובלי e^x≥1+x), נכתב כאן.
טעויות נפוצות
לקרוא את המשפט הפוך: מ־[math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] לא נובע ש [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת קיצון. ל־[math]\displaystyle{ x^3 }[/math] הנגזרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] מתאפסת אבל הפונקציה עולה משני הצדדים; גם ל־[math]\displaystyle{ x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right) }[/math] מהדוגמה השנייה הנגזרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] מתאפסת, אבל בכל סביבה של [math]\displaystyle{ 0 }[/math] היא מקבלת ערכים חיוביים ושליליים (בסרטון, 03:06–03:17: "זה משפט רק בכיוון אחד").
לשכוח את הנחת הגזירות: [math]\displaystyle{ |x| }[/math] מקבלת מינימום מקומי ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אבל אינה גזירה שם (שיפועי המיתרים [math]\displaystyle{ -1 }[/math] משמאל ו־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] מימין), ולכן כשמחפשים נקודות קיצון בודקים גם את הנקודות שבהן הפונקציה אינה גזירה, ולא רק את הנקודות שבהן [math]\displaystyle{ f'=0 }[/math].
להפעיל את משפט פרמה בקצה הקטע: נקודת קצה של תחום ההגדרה אינה נקודת קיצון מקומית (יש לה רק סביבה חד-צדדית). למשל [math]\displaystyle{ f(x)=x }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] מקבלת את הערך הגדול ביותר ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] אף ש [math]\displaystyle{ f'(x)=1\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math], ולכן בבעיות מקסימום ומינימום בקטע סגור בודקים את הקצוות בנפרד.
לקבוע שהמועמד הגדול ביותר הוא המקסימום בלי לדעת שמקסימום קיים: ל־[math]\displaystyle{ f(x)=x^3-3x }[/math] הנגזרת מתאפסת רק ב־[math]\displaystyle{ \pm1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f(-1)=2 }[/math] גדול מ־[math]\displaystyle{ f(1)=-2 }[/math], אבל ל־[math]\displaystyle{ f }[/math] אין מקסימום ב־[math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] (היא אינה חסומה מלעיל); בקטע סגור את הקיום מבטיח משפט ויירשטראס.
לבלבל בין מקסימום מקומי לבין הערך הגדול ביותר של הפונקציה: מקסימום מקומי צריך להיות הגבוה ביותר רק בסביבה כלשהי שלו, ובהגדרה יש [math]\displaystyle{ \le }[/math] ולא [math]\displaystyle{ < }[/math], ולכן בפונקציה קבועה כל נקודה היא גם מקסימום מקומי וגם מינימום מקומי.
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה מיטיבה 8: לאילו ערכי [math]\displaystyle{ a }[/math] יש ל־[math]\displaystyle{ ax^3+4ax^2+8x }[/math] שתי נקודות קיצון מקומיות (פתרון). קושי 2.
מבחן לדוגמא תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה מיטיבה 2: נקודות הקיצון של [math]\displaystyle{ \sqrt{x}-\sqrt{x+1}-\frac{1}{2\sqrt{x}} }[/math] בתחום [math]\displaystyle{ [1,\infty) }[/math] ("אולי כדאי להכפיל בצמוד") (פתרון). קושי 2–3.
מועד א' סמסטר ב' תשפ"ד (מדמ"ח) · שאלה 4: [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה ומתאפסת רק ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math], [math]\displaystyle{ f\to\infty }[/math] ב־[math]\displaystyle{ \infty }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f(-1)>f(0) }[/math]; הוכיחו ש [math]\displaystyle{ f(x)\ge f(0) }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math]. קושי 3–4.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות.
מערך תרגול: גזירות · הסעיף "רציפות הנגזרת": הנגזרת ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] לפי ההגדרה של [math]\displaystyle{ x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) }[/math], באותה שיטה כמו בדוגמה השנייה כאן.
תרגול 12, מדמ"ח תש"ף · עמ' 6: קיצון מקומי ומוחלט, נקודות קריטיות ומשפט פרמה; קיצון של [math]\displaystyle{ \sin x+\cos x }[/math] ב־[math]\displaystyle{ (0,2\pi) }[/math] (כתב יד, מדף הסמסטר 89-132 אינפי 1 סמסטר א' תשפ מדמח).
![גרף של פונקציה [math]\displaystyle{ f }[/math] המוגדרת בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]. ב־[math]\displaystyle{ x_1 }[/math] יש מינימום מקומי וב־[math]\displaystyle{ x_2 }[/math] מקסימום מקומי, והפונקציה גזירה בשתיהן, ולכן לפי משפט פרמה המשיק שם אופקי (הקטעים התכולים). הרצועה התכולה היא סביבה דו-צדדית [math]\displaystyle{ (x_2-r,x_2+r) }[/math] שבה [math]\displaystyle{ f(x)\le f(x_2) }[/math], בדיוק כמו בהגדרת מקסימום מקומי. ב־[math]\displaystyle{ x_3 }[/math] יש מינימום מקומי, אבל לגרף יש שם "שפיץ" ואין נגזרת (כמו [math]\displaystyle{ |x| }[/math] ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]), ולכן משפט פרמה אינו אומר עליה דבר. ב־[math]\displaystyle{ x_4 }[/math] הנגזרת מתאפסת, אבל הפונקציה עולה משני צדדיה, ולכן זו אינה נקודת קיצון (כמו [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]): ההפך של משפט פרמה אינו נכון. בקצה [math]\displaystyle{ b }[/math] (באדום) מתקבל הערך הגדול ביותר בקטע, אבל זו אינה נקודת מקסימום מקומי, כי בתחום ההגדרה יש לה רק סביבה חד-צדדית.](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c6-03.png)