בקצרה: משפט לגראנז' (משפט הערך הממוצע) אומר שאם פונקציה רציפה בקטע סגור וגזירה בתוכו, אזי בנקודה כלשהי בין הקצוות המשיק לגרף מקביל למיתר שמחבר את שתי נקודות הקצה, כלומר הנגזרת שם שווה לשיפוע הממוצע של הפונקציה בקטע. כך עובדת מצלמת "מהירות ממוצעת": מי שעבר קטע כביש באורך 10 ק"מ בחמש דקות נסע במהירות ממוצעת של 120 קמ"ש, ולכן לפי המשפט ברגע מסוים מד המהירות שלו הראה בדיוק 120 קמ"ש. המשפט מקשר בין ערכי הפונקציה בשתי נקודות רחוקות לבין הנגזרת בנקודה אחת, ולכן ממנו נובעים הקשר בין סימן הנגזרת לתחומי עלייה וירידה ואי-שוויונים כמו [math]\displaystyle{ \lvert\sin x-\sin y\rvert\le\lvert x-y\rvert }[/math]. משפט קושי (לגראנז' המוכלל, משפט הערך הממוצע של קושי) עושה את אותו הדבר לשתי פונקציות בבת אחת, עם נקודה אחת משותפת לשתיהן, וממנו נובע כלל לופיטל.
משפט לגראנז'
▶ ההרצאה: תחומי עלייה וירידה, ומשפט לגראנז'
משפט לגראנז': המיתר המקווקו מחבר את נקודות הקצה של הגרף, ושיפועו [math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]. בנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] המשיק (הקו התכלת) מקביל למיתר, כלומר [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]. האזור הצבוע הוא ההפרש בין הגרף למיתר, וזו בדיוק הפונקציה שההוכחה מקבלת כשהיא מחסירה את המיתר מ־[math]\displaystyle{ f }[/math]: היא מתאפסת בשני הקצוות, ולכן לפי משפט רול הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה פנימית. כאן זו הנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math], שבה ההפרש הוא הגדול ביותר (החץ האנכי).
[math]\displaystyle{ g }[/math] רציפה ב־[math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] וגזירה ב־[math]\displaystyle{ (a,b) }[/math] כהפרש של פונקציות כאלה, ו־[math]\displaystyle{ g(a)=g(b)=0 }[/math]. לפי משפט רול קיימת נקודה [math]\displaystyle{ c\in(a,b) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ g'(c)=0 }[/math]. אבל
(א) הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ x,y\in\mathbb R }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ |\sin x-\sin y|\le|x-y| }[/math]. (ב) יהי [math]\displaystyle{ a\in\mathbb R }[/math]. חשבו את הגבול [math]\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\left[\sin\sqrt{x-a}-\sin\sqrt{x}\right] }[/math].
(א) אם [math]\displaystyle{ x=y }[/math], שני האגפים שווים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math]. אחרת, כיוון ששני האגפים אינם משתנים כשמחליפים בין [math]\displaystyle{ x }[/math] ל־[math]\displaystyle{ y }[/math], אפשר להניח ש [math]\displaystyle{ x<y }[/math].
הפונקציה [math]\displaystyle{ \sin }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], ולכן היא רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [x,y] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (x,y) }[/math]. לפי משפט לגראנז' קיימת [math]\displaystyle{ c\in(x,y) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \cos c=\frac{\sin y-\sin x}{y-x} }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ |\sin y-\sin x|=|\cos c|\cdot|y-x| }[/math] [math]\displaystyle{ \le|y-x| }[/math], כי [math]\displaystyle{ |\cos c|\le1 }[/math]. שימו לב שאי-השוויון חלש: עבור [math]\displaystyle{ x=y }[/math] אי-שוויון חזק אינו נכון.
(ב) יהי [math]\displaystyle{ x>\max\{a,0\} }[/math]. לפי (א), ואחר כך כפל בצמוד: [math]\displaystyle{ |\sin\sqrt{x-a}-\sin\sqrt{x}| }[/math] [math]\displaystyle{ \le|\sqrt{x-a}-\sqrt{x}| }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{|(x-a)-x|}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{|a|}{\sqrt{x-a}+\sqrt{x}}\le\frac{|a|}{\sqrt{x}} }[/math].
כלומר לכל [math]\displaystyle{ x>\max\{a,0\} }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ -\frac{|a|}{\sqrt{x}}\le\sin\sqrt{x-a}-\sin\sqrt{x} }[/math] [math]\displaystyle{ \le\frac{|a|}{\sqrt{x}} }[/math], ושני החסמים שואפים ל־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ x\to\infty }[/math]. לפי משפט הסנדביץ' לפונקציות, הגבול הוא [math]\displaystyle{ 0 }[/math].
הרעיון הכללי: אם [math]\displaystyle{ |f'(t)|\le M }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t }[/math] בקטע, אזי לפי לגראנז' [math]\displaystyle{ |f(x)-f(y)|\le M|x-y| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x,y }[/math] בקטע. חסם על הנגזרת הופך לחסם על השינוי בערכי הפונקציה.
מקור: (א) מבחן דמה תשע"ג, 89-132 מדמ"ח (TashagInfiCsexmtest.pdf), שאלה 6a, עם פתרון (W4b E11-Q6a, "טענה 11"); גם מועד א' תשפ"ב (תיכוניסטים), שאלה 4א; מאגר ת6-062 (ק' 1, בוחן ✓; ⚠ במבחן E82A הטענה הועתקה עם '<' חזק, שאינו נכון כש x=y). (ב) מועד א' תשע"ב, מדמ"ח, שאלה 3ג, והפתרון בוויקי (88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/פתרון מועד א מדמח): "כפי שראינו בכיתה, ניתן להוכיח בעזרת לגראנז'..." ואז כפל בצמוד (W4b E13-Q3ג). הרעיון הכללי (|f'|≤M): מאגר ת6-063.
דוגמה 2: הלוגריתם בין [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1} }[/math] ל־[math]\displaystyle{ \frac{1}{n} }[/math] (שאלת מבחן)
הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1}<\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)<\frac{1}{n} }[/math], והסיקו שלכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}>\ln(n+1) }[/math].
יהי [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math]. מתקיים [math]\displaystyle{ \ln\left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln(n+1)-\ln n }[/math], כלומר זהו שיפוע המיתר של [math]\displaystyle{ \ln }[/math] בין [math]\displaystyle{ n }[/math] ל־[math]\displaystyle{ n+1 }[/math] (אורך הקטע [math]\displaystyle{ 1 }[/math]).
הפונקציה [math]\displaystyle{ \ln }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [n,n+1] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (n,n+1) }[/math], ו־[math]\displaystyle{ (\ln x)'=\frac{1}{x} }[/math]. לפי משפט לגראנז' קיימת [math]\displaystyle{ c\in(n,n+1) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \frac{1}{c}=\frac{\ln(n+1)-\ln n}{(n+1)-n} }[/math] [math]\displaystyle{ =\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) }[/math].
על [math]\displaystyle{ c }[/math] ידוע רק ש [math]\displaystyle{ n<c<n+1 }[/math], וזה מספיק: כל המספרים חיוביים, ולכן [math]\displaystyle{ \frac{1}{n+1}<\frac{1}{c}<\frac{1}{n} }[/math], וזה בדיוק אי-השוויון המבוקש.
מהחצי הימני, לכל [math]\displaystyle{ k\in\mathbb N }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{1}{k}>\ln(k+1)-\ln k }[/math]. נסכם עבור [math]\displaystyle{ k=1,\dots,n }[/math]; הסכום מימין טלסקופי: [math]\displaystyle{ 1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n} }[/math] [math]\displaystyle{ >\ln(n+1)-\ln1=\ln(n+1) }[/math].
כיוון ש [math]\displaystyle{ \ln(n+1)\to\infty }[/math], לפי חצי הסנדביץ' גם הסכומים החלקיים של הטור ההרמוני שואפים לאינסוף. מהחצי השמאלי מקבלים באותה דרך [math]\displaystyle{ \frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n}<\ln n }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n\ge2 }[/math], ולכן לכל [math]\displaystyle{ n\in\mathbb N }[/math] [math]\displaystyle{ \ln(n+1)<1+\frac{1}{2}+\dots+\frac{1}{n} }[/math] [math]\displaystyle{ \le1+\ln n }[/math]: הסכום גדל בערך כמו [math]\displaystyle{ \ln n }[/math].
מקור: מועד ב' תשפ"ה (88-132 מתמטיקה, בועז צבאן), שאלה 3א (Infi-1_2025moedB.pdf; בפתרון הרשמי Infi-1_2025moedBsol.pdf: "לגרנז' ל־log ב־[n,n+1]"; במבחן כתוב log, והכוונה ללוגריתם הטבעי); W5a T85B ש3א; מאגר ת6-061 (משפחת אי-השוויון עם ln, ק' 2, בוחן ✓). ההמשך על הסכום ההרמוני (טלסקופ וחצי סנדביץ') נוסף כאן כקישור לפרק 3.
דוגמה 3: נכון או לא נכון? הכיוון ההפוך והתנאים של המשפט (בוחן)
קבעו אם כל טענה נכונה, ונמקו (הוכחה או דוגמה נגדית). (א) תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f' }[/math] רציפה. אזי לכל [math]\displaystyle{ c\in\mathbb R }[/math] קיימים [math]\displaystyle{ x_1<x_2 }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} }[/math]. (ב) יהיו [math]\displaystyle{ a<s<t<b }[/math] מספרים ממשיים, ותהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה גזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math]. אזי קיימת [math]\displaystyle{ p\in(s,t) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f'(p)=\frac{f(t)-f(s)}{t-s} }[/math]. (ג) תהי [math]\displaystyle{ f }[/math] פונקציה המוגדרת בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [0,1] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (0,1) }[/math]. אזי קיימת [math]\displaystyle{ c\in(0,1) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ f'(c)=f(1)-f(0) }[/math].
(א) לא נכון. נבחר [math]\displaystyle{ f(x)=x^3 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ c=0 }[/math]: [math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ \mathbb R }[/math], [math]\displaystyle{ f'(x)=3x^2 }[/math] רציפה, ו־[math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math].
לכל [math]\displaystyle{ x_1<x_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{x_2^3-x_1^3}{x_2-x_1}=x_1^2+x_1x_2+x_2^2 }[/math] [math]\displaystyle{ =\left(x_1+\frac{x_2}{2}\right)^2+\frac{3}{4}x_2^2 }[/math]. הביטוי אי-שלילי, והוא מתאפס רק אם [math]\displaystyle{ x_2=0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x_1=-\frac{x_2}{2}=0 }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ x_1=x_2 }[/math], וזה בלתי אפשרי. לכן שיפוע כל מיתר חיובי, ושונה מ־[math]\displaystyle{ f'(0)=0 }[/math].
במילים: לפי לגראנז' לכל מיתר יש משיק מקביל לו, אבל לא לכל משיק יש מיתר מקביל לו. המשיק ל־[math]\displaystyle{ x^3 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] הוא ציר ה־[math]\displaystyle{ x }[/math], ואף מיתר אינו אופקי. המשפט חד-כיווני.
(ב) נכון.[math]\displaystyle{ f }[/math] גזירה בכל נקודה של [math]\displaystyle{ (a,b) }[/math], ולכן רציפה בכל נקודה שם (גזירות גוררת רציפות). כיוון ש [math]\displaystyle{ [s,t]\subseteq(a,b) }[/math], [math]\displaystyle{ f }[/math] רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [s,t] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (s,t) }[/math], ולפי לגראנז' קיימת [math]\displaystyle{ p\in(s,t) }[/math] כמבוקש.
(ג) לא נכון. נגדיר [math]\displaystyle{ f(x)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ 0\le x<1 }[/math], ו־[math]\displaystyle{ f(1)=1 }[/math]. [math]\displaystyle{ f }[/math] קבועה ב־[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], ולכן גזירה שם ו־[math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x\in(0,1) }[/math], אבל [math]\displaystyle{ f(1)-f(0)=1\ne0 }[/math].
התנאי שחסר ב־(ג) הוא רציפות בקטע הסגור: [math]\displaystyle{ f }[/math] אינה רציפה משמאל ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math]. ב־(ב) התנאי הזה לא נדרש במפורש, כי הוא נובע מהגזירות בקטע הגדול יותר.
מקור: (א) בוחן של ארז, אודיסאה 86-147, 22.1.2025 (25OdHedva1Quiz.pdf), שאלה 4 (W5c Q5; מאגר ת6-076, "זה היה בהרצאה!"); סרטון 73 (3DXDneBUnK8) 08:46–09:09 (https://www.youtube.com/watch?v=3DXDneBUnK8&t=526s): "משפט לגרנז' הוא חד-כיווני ולא דו-כיווני"; remark_text של 6.5.2. (ב), (ג): דפי הסמסטר בוויקי תשע"ט/תשע"ח (W6b), "הוכיחו-הפריכו" (3) ו־(6) (מאגר ת6-076); במקור של (ב) הנקודה ב־[c,d], וכאן הנוסח החזק יותר עם קטע פתוח.
דוגמה 4: משפט קושי במבחן: אי-שוויון עם [math]\displaystyle{ \ln^2x }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \sqrt{x} }[/math]
(מועד א' תשפ"א, מדמ"ח, שאלה 1) הוכיחו שלכל [math]\displaystyle{ 1<x<e^2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \frac{\ln^2x}{\sqrt{x}-1}<\frac{4\ln x}{\sqrt{x}} }[/math]. רמז: משפט הערך הממוצע של קושי.
לפי משפט קושי קיימת [math]\displaystyle{ c\in(1,x) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \frac{f(x)-f(1)}{g(x)-g(1)}=\frac{f'(c)}{g'(c)} }[/math]. כיוון ש [math]\displaystyle{ \ln1=0 }[/math]: [math]\displaystyle{ \frac{\ln^2x}{\sqrt{x}-1}=\frac{2\ln c}{c}\cdot2\sqrt{c} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{4\ln c}{\sqrt{c}} }[/math].
נגדיר [math]\displaystyle{ \varphi(t)=\frac{\ln t}{\sqrt{t}} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ t>0 }[/math]. לפי כלל הגזירה של מכפלה ([math]\displaystyle{ \varphi(t)=\ln t\cdot t^{-1/2} }[/math]): [math]\displaystyle{ \varphi'(t)=\frac{1}{t\sqrt{t}}-\frac{\ln t}{2t\sqrt{t}} }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{2-\ln t}{2t\sqrt{t}} }[/math], וזה חיובי לכל [math]\displaystyle{ 0<t<e^2 }[/math], כי שם [math]\displaystyle{ \ln t<2 }[/math].
הפונקציה [math]\displaystyle{ \varphi }[/math] גזירה בכל [math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math], ולכן רציפה בקטע הסגור [math]\displaystyle{ [c,x] }[/math] וגזירה בקטע הפתוח [math]\displaystyle{ (c,x) }[/math]. לפי משפט לגראנז' קיימת [math]\displaystyle{ d\in(c,x) }[/math] כך ש [math]\displaystyle{ \varphi(x)-\varphi(c)=\varphi'(d)(x-c) }[/math], וזה חיובי, כי [math]\displaystyle{ 1<d<e^2 }[/math] (ולכן [math]\displaystyle{ \varphi'(d)>0 }[/math]) ו־[math]\displaystyle{ x>c }[/math].
לכן [math]\displaystyle{ \frac{\ln^2x}{\sqrt{x}-1}=4\varphi(c)<4\varphi(x) }[/math] [math]\displaystyle{ =\frac{4\ln x}{\sqrt{x}} }[/math], כמבוקש.
למה צריך את קושי ולא די בלגראנז'? לגראנז' על [math]\displaystyle{ f }[/math] ועל [math]\displaystyle{ g }[/math] בנפרד נותן שתי נקודות [math]\displaystyle{ c_1,c_2 }[/math], שבדרך כלל שונות, ואז במקום [math]\displaystyle{ \frac{4\ln c}{\sqrt{c}} }[/math] מתקבל ביטוי בשתי נקודות שונות. משפט קושי נותן נקודה אחת משותפת.
מקור: מועד א' תשפ"א, 89-132 אינפי 1 למדמ"ח (עטייא ושיינר), שאלה 1 (infi1moedA2021CS.pdf, פתרון infi1moedA2021CSSol.pdf; W4b E5-Q1): בפתרון הרשמי קושי עם ln²t ו־√t ב־[1,x], ואז 4 ln t/√t עולה כי הנגזרת חיובית; כאן העלייה מוכחת בלגראנז' כדי שהדוגמה תשתמש רק במשפטי הדף. שאלות אחיות: מועד ב' ומועד ג' תשפ"א, שאלה 1 (E6-Q1, E7-Q1). מאגר ת6-094 ("אצלנו כל משפט זה קושי"; במחוון: לוודא ש g'≠0). ההערה על לגראנז' בנפרד: remark_text של 6.6.1 ומאגר ת6-098 ("ניסיון כושל").
טעויות נפוצות
להפוך את כיוון המשפט: לגראנז' מבטיח שלכל מיתר יש משיק מקביל לו, אבל לא שלכל משיק יש מיתר מקביל לו. המשיק ל־[math]\displaystyle{ x^3 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ 0 }[/math] אופקי, ואילו לכל מיתר של [math]\displaystyle{ x^3 }[/math] יש שיפוע חיובי (דוגמה 3).
להפעיל את המשפט על פונקציה שגזירה בקטע הפתוח בלי לבדוק רציפות בקצוות: הפונקציה שמתאפסת ב־[math]\displaystyle{ [0,1) }[/math] ומקבלת את הערך [math]\displaystyle{ 1 }[/math] ב־[math]\displaystyle{ 1 }[/math] גזירה ב־[math]\displaystyle{ (0,1) }[/math], ובכל זאת אין נקודה שבה [math]\displaystyle{ f'(c)=f(1)-f(0) }[/math].
לכתוב אי-שוויון חזק [math]\displaystyle{ |\sin x-\sin y|<|x-y| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x,y }[/math]: עבור [math]\displaystyle{ x=y }[/math] שני האגפים אפס. גם בהוכחה צריך לטפל בנפרד במקרה [math]\displaystyle{ x=y }[/math], כי אז אין קטע להפעיל עליו את לגראנז'.
בהוכחת משפט קושי או בשימוש בו, להפעיל לגראנז' בנפרד על [math]\displaystyle{ f }[/math] ועל [math]\displaystyle{ g }[/math] ולחלק את השוויונות: מתקבלות שתי נקודות [math]\displaystyle{ c_1,c_2 }[/math], שבדרך כלל שונות, ולא המנה [math]\displaystyle{ \frac{f'(c)}{g'(c)} }[/math] בנקודה אחת.
לא לוודא ש [math]\displaystyle{ g'(x)\ne0 }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] בקטע הפתוח, או לא להצדיק ש [math]\displaystyle{ g(b)\ne g(a) }[/math]. הנימוק: אילו [math]\displaystyle{ g(a)=g(b) }[/math], לפי משפט רול [math]\displaystyle{ g' }[/math] הייתה מתאפסת בנקודה כלשהי בקטע הפתוח. במחוון של מבחני תשפ"א זו נקודה שבודקים במפורש.
לתרגול
מועד א' תשע"ב (מדמ"ח) · שאלה 2: אם [math]\displaystyle{ f(0)=0 }[/math] ו־[math]\displaystyle{ f' }[/math] עולה ב־[math]\displaystyle{ (0,\infty) }[/math], אזי [math]\displaystyle{ f'(x)\ge\frac{f(x)}{x} }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x>0 }[/math] (לגראנז' ב־[math]\displaystyle{ [0,x] }[/math]), עם פתרון. שאלה 3ג שם היא דוגמה 1(ב) בדף. קושי 2.
מועד ב' תשפ"א (מדמ"ח) · שאלה 1: אי-שוויון עם [math]\displaystyle{ \arctan\frac{x}{x+1} }[/math] ו־[math]\displaystyle{ \ln(x+1) }[/math] בעזרת משפט קושי, כמו דוגמה 4 (פתרון; שאלה דומה: מועד ג' תשפ"א, שאלה 1). קושי 3.
מערך תרגול · מערך התרגול של הקורס (תשע"ב), פרק הפונקציות.
מערך תרגול: משפט קושי · [math]\displaystyle{ |\tan x-\tan y|\le8|\sin x-\sin y| }[/math] לכל [math]\displaystyle{ x,y\in\left[0,\frac{\pi}{3}\right] }[/math], עם פתרון קצר. שימו לב: בניסוח המשפט שם צריך להיות [math]\displaystyle{ g'(x)\ne0 }[/math].
תרגול 12 של לואי ומני · עמ' 4–6: [math]\displaystyle{ \cos x<\frac{\sin x}{x} }[/math] ב־[math]\displaystyle{ (0,\pi) }[/math] (ממבחן), הערכה של [math]\displaystyle{ \arcsin0.6 }[/math] בעזרת לגראנז', ותרגיל על משפט קושי; עם פתרונות (מתוך חשבון אינפיניטיסימלי 1 - מערך תרגול).
![משפט לגראנז': המיתר המקווקו מחבר את נקודות הקצה של הגרף, ושיפועו [math]\displaystyle{ \frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]. בנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math] המשיק (הקו התכלת) מקביל למיתר, כלומר [math]\displaystyle{ f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} }[/math]. האזור הצבוע הוא ההפרש בין הגרף למיתר, וזו בדיוק הפונקציה שההוכחה מקבלת כשהיא מחסירה את המיתר מ־[math]\displaystyle{ f }[/math]: היא מתאפסת בשני הקצוות, ולכן לפי משפט רול הנגזרת שלה מתאפסת בנקודה פנימית. כאן זו הנקודה [math]\displaystyle{ c }[/math], שבה ההפרש הוא הגדול ביותר (החץ האנכי).](/index.php/%D7%A7%D7%95%D7%91%D7%A5:Infi1-c6-05a.png)
