פונקציה רציפה במידה שווה

פונקציה ממשית היא רציפה במידה שווה בקטע I אם לכל [math]\displaystyle{ \ \epsilon\gt 0 }[/math] קיים [math]\displaystyle{ \ \delta \gt 0 }[/math] כך שלכל x,y בקטע, אם [math]\displaystyle{ \ |x-y|\lt \delta }[/math] אז [math]\displaystyle{ \ |f(x)-f(y)|\lt \epsilon }[/math]. תכונה זו גוררת רציפות של הפונקציה בכל נקודה, ובדרך כלל היא חזקה יותר.

משפט

פונקציה בעלת נגזרת חסומה בקטע, רציפה במ"ש באותו קטע

הוכחה

תהי f בעלת נגזרת חסומה בקטע A. נניח בשלילה שהיא אינה רציפה במ"ש לכן קיימות שתי סדרות [math]\displaystyle{ x_n,y_n }[/math] בקטע המקיימות

[math]\displaystyle{ |x_n-y_n|\rightarrow 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ |f(x_n)-f(y_n)|\not\rightarrow 0 }[/math]

לכן קיימת תת סדרה כך ש:

[math]\displaystyle{ |f(x_{n_k)}-f(y_{n_k})|\rightarrow a \neq 0 }[/math]

(זוהי תת הסדרה המתכנסת לגבול העליון. אם הגבול העליון היה שווה אפס סדרת הערכים המוחלטים הייתה מתכנסת).

נובע מכאן כי הסדרה

[math]\displaystyle{ \frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}} }[/math]

אינה חסומה.

אבל לפי משפט לגראנז, קיימות נקודות [math]\displaystyle{ c_{n_k} }[/math] בין [math]\displaystyle{ x_{n_k},y_{n_k} }[/math] כך ש

[math]\displaystyle{ f'(c_{n_k})=\frac{f(x_{n_k})-f(y_{n_k})}{x_{n_k}-y_{n_k}} }[/math]

ולכן הנגזרת אינה חסומה, בסתירה.