אינטגרציה בחלקים

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה:

[math]\displaystyle{ \int{f'g}=fg-\int{fg'} }[/math]

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחאת גזירת כפל:

[math]\displaystyle{ (fg)'=f'g+g'f }[/math]

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על ידי גזירתו. ייתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

[math]\displaystyle{ \int{xcos(x)}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=cos(x),g=x }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=sin(x),g'=1 }[/math]

ולפי נוסחאת אינטגרציה בחלקים מתקיים

[math]\displaystyle{ \int{xcos(x)}=xsin(x)-\int{sin(x)}=xsin(x)+cos(x)+C }[/math]

ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעייה.

[math]\displaystyle{ \int{e^xcos(x)}=? }[/math]

נסמן

[math]\displaystyle{ I=\int{e^xcos(x)} }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ I=e^xcos(x)+\int{e^xsin(x)}=e^xcos(x)+e^xsin(x)-\int{e^xcos(x)}=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)-I }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2I=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big) }[/math]

ומכאן יוצא

[math]\displaystyle{ \int{e^xcos(x)}=I=\frac{e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)}{2}+C }[/math]

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע 1 כנגזרת של הפונקציה x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעייה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=1,g=\sqrt{a^2-x^2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=x,g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

נפעיל את נוסחאת אינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

[math]\displaystyle{ 2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}} }[/math]

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה