הבדלים בין גרסאות בדף "88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)"
מתוך Math-Wiki
(←דוגמאות) |
(←הרצאה 2 (6/3/12)) |
||
(14 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | *[[88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאות (מערכי שיעור)|חזרה להרצאות]] | ||
+ | |||
== הרצאה 2 (6/3/12) == | == הרצאה 2 (6/3/12) == | ||
שורה 18: | שורה 20: | ||
:<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math> | :<math>\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c</math> | ||
− | 4)<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math> | + | 4) <math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx</math> |
:<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math> | :<math>\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c</math> | ||
שורה 25: | שורה 27: | ||
:התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c) | :התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c) | ||
− | 5)<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math> | + | 5) <math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx</math> |
:<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math> | :<math>\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c</math> | ||
+ | |||
+ | 6) <math>\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}</math> | ||
+ | |||
+ | :<math>\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x</math> | ||
שורה 36: | שורה 42: | ||
+ | ===דוגמאות=== | ||
+ | |||
+ | 1) <math>\int xcosxdx</math> | ||
+ | : נבחר <math>f(x)=x</math> ו <math>g'(x)=cosx</math> | ||
+ | :<math>\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c</math> | ||
+ | |||
+ | 2) <math>\int x^{2}cosxdx</math> | ||
+ | : נבחר <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math> | ||
+ | :<math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx</math> | ||
+ | : נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>F=2x</math> ו <math>G'(x)=sinx</math> | ||
+ | :<math>\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c</math> | ||
+ | :ולכן התוצאה הסופית <math>\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c</math> | ||
+ | |||
+ | 3) <math>\int x^{2}lnxdx</math> | ||
+ | :לא מומלץ לבחור <math>f(x)=x^{2}</math> ו <math>g'(x)=lnx</math>, כי מיד נצטרך למצוא את <math>g(x)</math> שהיא הפונקציה הקדומה של <math>lnx</math>, ועוד לא חישבנו אותה. | ||
+ | :אלא שנכתוב: <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=x^{2}</math> | ||
+ | :<math>\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c</math> | ||
+ | |||
+ | 4) <math>\int lnxdx</math> | ||
+ | :נבחר <math>f(x)=lnx</math> ו <math>g'(x)=1</math> | ||
+ | :<math>\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c</math> | ||
+ | |||
+ | 5) <math>\int e^{x}cosxdx</math> | ||
+ | : נבחר <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=cosx</math> | ||
+ | :<math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx</math> | ||
+ | :נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: <math>f(x)=e^{x}</math> ו <math>g'(x)=sinx</math> | ||
+ | :<math>\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx</math> | ||
+ | ::קיבלנו: <math>\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx</math> | ||
+ | ::נעביר אגף ונקבל: <math>2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)</math> | ||
+ | ::ולכן התשובה הסופית היא: <math>\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c</math> | ||
+ | |||
+ | 6) <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}</math> | ||
+ | : נבחר <math>f(x)=(lnx)^{2}</math> ו <math>g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}</math> | ||
+ | : <math>\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}</math> | ||
+ | ::נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר: | ||
<big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big> | <big><big>'''שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)'''</big></big> | ||
שורה 46: | שורה 87: | ||
<math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!) | <math>\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C</math> (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את <math>x</math>!!!) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | '''למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק. | ||
+ | ''' |
גרסה אחרונה מ־20:38, 18 במרץ 2012
הרצאה 2 (6/3/12)
שני כללים פשוטים:
1) .
2) . (עבור קבוע)
דוגמאות
1)
2)
3)
4)
- דרך נוספת:
- התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)
5)
6)
אינטגרציה בחלקים:
נתחיל בנוסחה הידועה , לכן: לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:
דוגמאות
1)
- נבחר ו
2)
- נבחר ו
- נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: ו
- ולכן התוצאה הסופית
3)
- לא מומלץ לבחור ו , כי מיד נצטרך למצוא את שהיא הפונקציה הקדומה של , ועוד לא חישבנו אותה.
- אלא שנכתוב: ו
4)
- נבחר ו
5)
- נבחר ו
- נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: ו
-
- קיבלנו:
- נעביר אגף ונקבל:
- ולכן התשובה הסופית היא:
6)
- נבחר ו
-
- נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר:
שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)
נתחיל עם כלל השרשרת: .
לכן אם קדומה ל-: ומזה נובע: .
כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון נסמן ולכן . פעולה פורמלית: . כעת נציב את מה שסימנו:
(לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את !!!)
למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק.