88-133 אינפי 2 תשעב סמסטר ב/הרצאה 2 (6/3/12)

• חזרה להרצאות

הרצאה 2 (6/3/12)

שני כללים פשוטים:

1) $\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$.

2) $\int c \cdot f(x)dx=c \cdot \int f(x)dx$. (עבור $c$ קבוע)

דוגמאות

1) $\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx$

$\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}dx=\int \frac{x^{2}+1-1}{x^{2}+1}dx=\int( \frac{x^{2}+1}{x^{2}+1}-\frac{1}{x^{2}+1})dx=\int (1-\frac{1}{x^{2}+1})dx=x-arctgx+c$

2) $\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx$

$\int \frac{1}{\sqrt{4x+2}}dx=\int (4x+2)^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{(4x+2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{4}+c=\frac{\sqrt{4x+2}}{2}+c$

3) $\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx$

$\int \frac{x^{2}+x+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{[(x+4)-4)]^{2}+[(x+4)-4]+1}{\sqrt{4+x}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-8(x+4)+16+(x+4)-4+1}{\sqrt{x+4}}dx=\int \frac{(x+4)^{2}-7(x+4)+13}{\sqrt{x+4}}dx=\int [(x+4)^{\frac{3}{2}}-7(x+4)^{\frac{1}{2}}+13(x+4)^{-\frac{1}{2}}]dx=\frac{(x+4)^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}-7\frac{(x+4)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+13\frac{(x+4)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c$

4) $\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx$

$\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int \frac{(sinx)^{2}+(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx=\int [\frac{(sinx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}+\frac{(cosx)^{2}}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}]dx=\int [\frac{1}{(cosx)^{2}}+\frac{1}{(sinx)^{2}}]dx=tgx-ctgx+c$

דרך נוספת: $\int \frac{1}{(sinx)^{2}(cosx)^{2}}dx= \int \frac{4}{(sin(2x))^{2}}dx=\frac{-4ctg(2x)}{2}+c$

התוצאות נראות שונות. אין הן זהות טריגונומטרית, אך הן שונות עד לכדי קבוע (c)

5) $\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx$

$\int \frac{e^{3x}-1}{e^{x}-1}dx=\int \frac{(e^{x}-1)(e^{2x}+e^{x}+1)}{e^{x}-1}dx=\int (e^{2x}+e^{x}+1)dx=\frac{e^{2x}}{2}+e^{x}+x+c$

6) $\int xy^{2}dx=\frac{x^{2}}{2}y^{2}$

$\int xy^{2}dy=\frac{y^{3}}{3}x$

אינטגרציה בחלקים:

נתחיל בנוסחה הידועה $[f(x)g(x)]'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$ , לכן: $\int [f(x)g'(x)+f'(x)g(x)]dx=f(x)g(x)$ לאחר העברת אגפים נגיע לנוסחה לאינטגרציה בחלקים:

$\int f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-\int f'(x)g(x)dx$

דוגמאות

1) $\int xcosxdx$

נבחר $f(x)=x$ ו $g'(x)=cosx$

$\int xcosxdx = xsinx-\int 1sinxdx=xsinx+cosx+c$

2) $\int x^{2}cosxdx$

נבחר $f(x)=x^{2}$ ו $g'(x)=cosx$

$\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx-\int 2xsinxdx$

נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: $F=2x$ ו $G'(x)=sinx$

$\int 2xsinxdx=2x(-cosx)-\int 2(-cosx)dx=2xcosx-2sinx+c$

ולכן התוצאה הסופית $\int x^{2}cosxdx=x^{2}sinx+2xcosx-2sinx+c$

3) $\int x^{2}lnxdx$

לא מומלץ לבחור $f(x)=x^{2}$ ו $g'(x)=lnx$, כי מיד נצטרך למצוא את $g(x)$ שהיא הפונקציה הקדומה של $lnx$, ועוד לא חישבנו אותה.

אלא שנכתוב: $f(x)=lnx$ ו $g'(x)=x^{2}$

$\int x^{2}lnxdx=lnx\cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{x^{3}}{3}=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+c$

4) $\int lnxdx$

נבחר $f(x)=lnx$ ו $g'(x)=1$

$\int lnxdx=\int 1\cdot lnxdx=(lnx)x-\int \frac{1}{x}\cdot x=xlnx-x+c$

5) $\int e^{x}cosxdx$

נבחר $f(x)=e^{x}$ ו $g'(x)=cosx$

$\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx-\int e^{x}sinxdx$

נשתמש שוב באינטגרציה בחלקים - נגדיר: $f(x)=e^{x}$ ו $g'(x)=sinx$

$\int e^{x}sinxdx=e^{x}(-cosx)-\int e^{x}(-cosx)dx$

קיבלנו: $\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)+\int e^{x}(-cosx)dx$

נעביר אגף ונקבל: $2\int e^{x}cosxdx=e^{x}sinx+e^{x}(cosx)$

ולכן התשובה הסופית היא: $\int e^{x}cosxdx=\frac{e^{x}}{2}(sinx+cosx)+c$

6) $\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}$

נבחר $f(x)=(lnx)^{2}$ ו $g'(x)=x^{-\frac{5}{2}}$

$\int \frac{(lnx)^{2}}{\sqrt{x^{5}}}=\frac{(lnx)^{2}\cdot x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}-\int \frac{2lnx}{x}\cdot \frac{x^{-\frac{3}{2}}}{-\frac{3}{2}}$

נעשה שוב אינטגרציה לפי חלקים לאינטגרל האחרון. נבחר:

שיטת ההצבה: (או החלפת משתנים)

נתחיל עם כלל השרשרת: $\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$.

לכן אם $F(x)$ קדומה ל-$f(x)$: $\frac{d}{dx}F(g(x))=f(g(x))g'(x)$ ומזה נובע: $\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))$.

כעת, הדרך הפורמלית למציאת האינטגרל: אם נתון $\int f(g(x))g'(x)dx$ נסמן $y=g(x)$ ולכן $\frac{dy}{dx}=g'(x)$. פעולה פורמלית: $dy=g'(x)dx$. כעת נציב את מה שסימנו:

$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(y)dy=F(y)+C=F(g(x))+C$ (לא לשכוח בסוף להציב בחזרה את $x$!!!)

למקרה שיש טעות או שחסר חומר, תוכלו לפנות אליי דרך פייסבוק (שם המשתמש: Nimrod Sherer), את הדוגמאות העלתה נטע צדוק.