הבדלים בין גרסאות בדף "המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי"
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←הוכחה) |
לב זלוטניק (שיחה | תרומות) (←סעיף ב') |
||
שורה 47: | שורה 47: | ||
אז <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|< \epsilon</math> | אז <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|< \epsilon</math> | ||
− | כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד | + | כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד ע"פ סעיף 5 במשפט 1: |
<math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|<M |\Delta x| \frac{1}{|\Delta x|}=M</math> | <math>|\frac{1}{\Delta x} \int_{x_{0}}^{x_{0}+\Delta x}[f(t)-f(x_{0})]dt|<M |\Delta x| \frac{1}{|\Delta x|}=M</math> |
גרסה מ־12:19, 28 במרץ 2012
תוכן עניינים
המשפט
תהי מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב-
. נגדיר גם:
. אזי מתקיים:
א) רציפה.
ב)לכל שבו
רציפה,
גזירה ו-
.
ג) אם רציפה בכל
, ו-F פונקציה קדומה של f, מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ:
.
הוכחה
סעיף א'
נקח כלשהו ו-
"קטן" כך ש-
. לפי הגדרה:
ולכן
.
נתון ש-f חסומה, נגיד
.
לכן מתקיים .
כעת נשאיף את , אגף ימין שואף ל-0 .
לכן:
ומכך נובע ש:
ולכן מתקיים תנאי הרציפות,
.
סעיף ב'
כאן מניחים ש- רציפה בנקודה
כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי
קיימת ושווה ל-
. נחזור לפונקציה
.
בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר
, מתקיים בהכרח:
טענה נוכיח כי
.
נעיר קודם כל כי מתקיים:
ולכן
.
כעת נראה כי הביטוי מתאפס:
יהי . אזי קיים
כך שאם
אז
כיוון שהפונקציה חסומה ואינטגרבילית, נסמן את החסם העליון M ונגיד ע"פ סעיף 5 במשפט 1:
ולכן הגבול אכן שואף ל-0, מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל-, ולכן, אגף שמאל גם שואף ל-
, מכאן נובע
.
סעיף ג'
ידוע כי רציפה על כל
, ולכן ע"פ סעיף ב',
פונקציה קדומה של
. נתון גם כי
פונקציה קדומה של
, ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים
עבור c כלשהו.
לכן:
ולכן בסך הכל :.