המשפט היסודי של החשבון האינטגרלי

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

המשפט

תהי f(x) מוגדרת, חסומה ואינטגרבילית ב- [a,b] . נגדיר גם: \forall x\in[a,b]:A(x):=\displaystyle\int\limits_a^x f(t)dt . אזי מתקיים:

א) A(x) רציפה.

ב) לכל x_0\in [a,b] שבו f(x_0) רציפה, A(x) גזירה ו- A'(x_0)=f(x_0) .

ג) אם f(x) רציפה בכל [a,b] , ו- F פונקציה קדומה של f , מתקיימת נוסחת ניוטון-לייבניץ: \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).

הוכחה

סעיף א'

נקח x\in [a,b] כלשהו ו- \Delta x "קטן" כך ש- x+\Delta x\in[a,b] . לפי הגדרה: A(x+\Delta x)=\displaystyle\int\limits_a^{x+\Delta x}f(t)dt ולכן

A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt. נתון ש- f חסומה, נגיד f(x)\le M .

לכן מתקיים \bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=\Bigg|\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt\Bigg|\le M|\Delta x| .

כעת נשאיף את \Delta x \to 0 , אגף ימין שואף ל-0 . לכן:

\lim_{\Delta x\to 0}\bigg|A(x+\Delta x)-A(x)\bigg|=0 ומכך נובע ש:

\lim_{\Delta x\to 0}[A(x+\Delta x)-A(x)]=0 ולכן מתקיים תנאי הרציפות,

\lim_{\Delta x\to 0}A(x+\Delta x)=A(x) .

\blacksquare

סעיף ב'

כאן מניחים ש- f(t) רציפה בנקודה x_0\in[a,b] כלשהי. אנחנו צריכים להוכיח כי A'(x_0) קיימת ושווה ל- f(x_0) . נחזור לפונקציה A(x+\Delta x)-A(x)=\displaystyle\int\limits_x^{x+\Delta x}f(t)dt . בעצם, אנחנו צריכים להוכיח כאן שכאשר \Delta x\to 0 , מתקיים בהכרח:

\frac{A(x_0+\Delta x)-A(x_0)}{\Delta x}=\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\to f(x_0)

טענה: נוכיח כי \lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(t)dt\Bigg]=f(x_0) .

נעיר קודם כל כי מתקיים ע"פ סעיף 6 במשפט 1: \int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}f(x_0)dt=f(x_0) \Delta x ולכן \frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x} f(x_0)=f(x_0) .

כעת נראה כי הביטוי מתאפס: \lim\limits_{\Delta x\to 0}\Bigg[\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg]=0

יהי \epsilon>0 . כיון ש- f רציפה, קיים \delta>0 כך שאם |t-x_0|<\delta אז \Big|f(t)-f(x_0)\Big|<\epsilon . כעת נניח |\Delta x|<\delta , לכן לכל t כזה: |t-x_0|\le|\Delta x|<\delta כך ש-\Big|f(t)-f(x_0)\Big|<\epsilon .

מכאן ש- \Bigg|\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|\le\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\Big|f(t)-f(x_0)\Big|dt< \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt

אבל \displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}\epsilon\cdot dt=|\Delta x|\epsilon ולכן

\Bigg|\frac1{\Delta x}\displaystyle\int\limits_{x_0}^{x_0+\Delta x}[f(t)-f(x_0)]dt\Bigg|<\frac{1}{|\Delta x|}\cdot\epsilon|\Delta x|=\epsilon .

ולכן הגבול אכן שואף ל- 0 , מה שמעיד על כך שאגף ימין שואף ל- f(x_0) , ולכן, אגף שמאל גם שואף ל- f(x_0) , מכאן נובע A'(x_0)=f(x_0) .

\blacksquare

סעיף ג'

ידוע כי f רציפה על כל [a,b] , ולכן ע"פ סעיף ב', A(x) פונקציה קדומה של f . נתון גם כי F פונקציה קדומה של f , ולכן ע"פ המשפט הראשון של אינפי 2 מתקיים F(x)=A(x)+C עבור C כלשהו.

לכן: F(b)-F(a)=[A(b)+C]-[A(a)+C]=A(b)-A(a)=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-\displaystyle\int\limits_a^a f(x)dx=

=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx-0=\displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx

ולכן בסך הכל: \displaystyle\int\limits_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) .

\blacksquare