אינטגרל לא אמיתי

עד כה הגדרנו אינטגרביליות לפי רימן ודרבו. הגדרות אלו עוסקות בפונקציות חסומות ובקטעים סופיים בלבד.

אינטגרל לא אמיתי (מוכלל) מסוג ראשון

תהי f פונקציה האינטגרבילית על כל קטע מהצורה [math]\displaystyle{ [a,a+M] }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ M\gt 0 }[/math] נגדיר

[math]\displaystyle{ \int_a^\infty f(x)dx:=\lim_{t\rightarrow\infty}\int_a^tf(x)dx }[/math]

אומרים כי האינטגרל מתכנס אם הגבול קיים.

אינטגרל כללי

תהי f פונקציה. אזי האינטגרל [math]\displaystyle{ \int_a^bf(x)dx }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ -\infty\leq a \leq b \leq \infty }[/math] מתכנס אם ורק אם ניתן לחלק את הקטע למספר סופי של קטעים עליהם f אינטגרבילית רימן/דרבו, האינטגרל על f הוא מתכנס מסוג ראשון או מתכנס מסוג שני.

כלומר, בהנתן אינטגרל, מחלקים אותו לקטעים בהם יש צד אחד "בעייתי" לכל היותר (כלומר צד אחד אינסופי, או צד אחד בו הפונקציה אינה חסומה).

דוגמא.

האם האינטגרל הבא מתכנס [math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x(x-1)} }[/math]?

פתרון.

נחלק את הקטע לתתי קטעים עליהם האינטגרל הוא מסוג ראשון או שני. הפונקציה אינה חסומה באיזור הנקודות אפס ואחד. לכן נחלק לחלקים שהם סופיים ובהם הפונקציה אינה חסומה בצד אחד, או קטעים אינסופיים בהם הפונקציה אינטגרבילית על כל תת קטע סופי.

[math]\displaystyle{ \int_{-\infty}^\infty\frac{1}{x(x-1)}=\int_{-\infty}^{-1}\frac{1}{x(x-1)}+\int_{-1}^{0}\frac{1}{x(x-1)}+\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{x(x-1)}+\int_{\frac{1}{2}}^{1}\frac{1}{x(x-1)}+ \int_{1}^{2}\frac{1}{x(x-1)}+\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x(x-1)} }[/math]