מכינה למתמטיקה קיץ תשעב/תרגילים/2/פתרון 2: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־01:57, 13 באוגוסט 2012

1

מצא לאילו ערכי x מתקיימים אי השיוויונים הבאים:

[math]\displaystyle{ tan(x) \lt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ tan(x)={sin(x) \over cos(x)} }[/math] לכן אי השוויון מתקיים כאשר למונה ולמכנה יש סימנים הפוכים. לפי הגדרת הפונקציות הטריגונומטריות בעזרת מעגל היחידה, ניתן לראות שזה מתקיים ברביע השני וברביע הרביעי, ולכן התשובה היא: [math]\displaystyle{ -{\pi \over 2} + \pi k \lt x \lt \pi k }[/math]

[math]\displaystyle{ sin(x)\lt cos(x) }[/math]

מתקיים שוויון כאשר [math]\displaystyle{ x={\pi \over 4} + \pi k }[/math]. עד [math]\displaystyle{ \pi \over 4 }[/math] הקוסינוס יותר גדול, ובנקודה זו זה מתהפך עד [math]\displaystyle{ 5\pi \over 4 }[/math] בה זה מתהפך בחזרה, וכך ממשיך במחזוריות של [math]\displaystyle{ 2\pi }[/math]. לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -{3\pi \over 4}+2\pi k \lt x \lt {\pi \over 4} +2\pi k }[/math]

[math]\displaystyle{ e^{sin(x)} \lt 1 }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ y=sin(x) }[/math] ונבדוק מתי [math]\displaystyle{ e^y\lt 1 }[/math]. יש שוויון עבור y=0 לכן אי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ sin(x)=y\lt 0 }[/math]. מתכונות סינוס, זה מתקיים עבור [math]\displaystyle{ -\pi + 2\pi k \lt x \lt 2\pi k }[/math]

[math]\displaystyle{ (sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) \gt 0 }[/math]

נפתח סוגריים ונקבל: [math]\displaystyle{ sin(x)^2-cos(x)^2\gt 0 }[/math]. ניעזר בזהות [math]\displaystyle{ sin(x)^2+cos(x)^2=1 }[/math] ונגיע לאי השוויון: [math]\displaystyle{ 2sin(x)^2-1\gt 0 }[/math]. מכאן נעביר אגפים ונקבל [math]\displaystyle{ sin(x)^2\gt {1 \over 2} }[/math] והפתרון שלו הוא [math]\displaystyle{ sin(x)\gt {\sqrt{2} \over 2} }[/math] או [math]\displaystyle{ sin(x)\lt -{\sqrt{2} \over 2} }[/math]. זה מתקיים עבור: [math]\displaystyle{ {\pi \over 4}+\pi k \lt x \lt {3\pi \over 4} + \pi k }[/math]

[math]\displaystyle{ sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)\gt 0 }[/math]

נציב [math]\displaystyle{ y=\pi \cdot cos(x) }[/math] ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור [math]\displaystyle{ 2\pi k \lt y \lt \pi + 2\pi k }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ 2k\lt cos(x)\lt 1+2k }[/math].

אם [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math]: נקבל [math]\displaystyle{ 2 \lt cos(x) }[/math] וזה לא יתכן.

[math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math]: נקבל [math]\displaystyle{ cos(x)\lt -1 }[/math] וזה גם לא יתכן.

עבור [math]\displaystyle{ k=0 }[/math]: אי השוויון הוא [math]\displaystyle{ 0\lt cos(x)\lt 1 }[/math] וזה מתקיים לכל [math]\displaystyle{ -{\pi \over 2}+2\pi k \lt x \lt {\pi \over 2} + 2\pi k }[/math]

@@ שורה 16: / שורה 16: @@
 *<math>(sin(x)-cos(x))(sin(x)+(cos(x)) >0</math>
+נפתח סוגריים ונקבל: <math>sin(x)^2-cos(x)^2>0</math>. ניעזר בזהות <math>sin(x)^2+cos(x)^2=1</math> ונגיע לאי השוויון: <math>2sin(x)^2-1>0</math>. מכאן נעביר אגפים ונקבל <math>sin(x)^2>{1 \over 2}</math> והפתרון שלו הוא <math>sin(x)>{\sqrt{2} \over 2}</math> או <math>sin(x)<-{\sqrt{2} \over 2}</math>. זה מתקיים עבור: <math>{\pi \over 4}+\pi k < x < {3\pi \over 4} + \pi k</math>
 *<math>sin \Big(\pi\cdot cos(x)\Big)>0</math>
+נציב <math>y=\pi \cdot cos(x)</math> ונקבל שאי השוויון מתקיים עבור <math>2\pi k < y < \pi + 2\pi k</math>. לכן <math>2k<cos(x)<1+2k</math>.
+אם <math>k>0</math>: נקבל <math>2 < cos(x)</math> וזה לא יתכן.
+<math>k<0</math>: נקבל <math>cos(x)<-1</math> וזה גם לא יתכן.
+עבור <math>k=0</math>: אי השוויון הוא <math>0<cos(x)<1</math> וזה מתקיים לכל <math>-{\pi \over 2}+2\pi k < x < {\pi \over 2} + 2\pi k</math>