מכינה למחלקת מתמטיקה/מערכי שיעור/10

חזרה למערכי השיעור

אינטרגלים

נלמד שני סוגי אינטגרלים - האינטגרל המסויים והאינטגרל הלא מסויים.

האינטגרל המסויים [math]\displaystyle{ \int_a^bf(x)dx }[/math] מוגדר להיות השטח מתחת לגרף הפונקציה f בקטע [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math] כאשר אם הפונקציה מתחת לציר האיקס השטח נספר כשלילי.

האינטגרל הלא מסויים [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] הוא פונקציה קדומה [math]\displaystyle{ F(x) }[/math], כלומר פונקציה המקיימת [math]\displaystyle{ F'(x)=f(x) }[/math].

במקרים שמעניינים אותנו (נלמד בעתיד את התנאי המדוייקים) מתקיים [math]\displaystyle{ \int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a) }[/math] כאשר F קדומה ל f.

שיטות לחישוב אינטגרלים

אינטגרציה בחלקים

נזכר בנוסחאת לגזירת מכפלה של פונקציות:

[math]\displaystyle{ (fg)'=f'g+g'f }[/math]

כעת, לפי הגדרת פונקציה קדומה, מתקיים כי

[math]\displaystyle{ fg= \int (fg)' }[/math]

ביחד נקבל:

[math]\displaystyle{ fg=\int f'g +\int g'f }[/math]

ומכן אנו מסיקים את הנוסחא של אינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int f'(x) g(x) dx = f(x)\cdot g(x) - \int f(x)g'(x)dx }[/math]

דוגמאות:

• [math]\displaystyle{ \int cos(x)\cdot x\cdot dx = sin(x)\cdot x - \int sin(x)dx = sin(x)\cdot x +cos(x) +C }[/math]

• [math]\displaystyle{ \int ln(x)dx = \int 1\cdot ln(x)dx = x\cdot ln(x) - \int x\cdot\frac{1}{x}dx = x\cdot ln(x) - x + C }[/math]