הפולינום האופייני

הגדרה

תהי A מטריצה ריבועית, אזי הפולינום האופייני שלה מוגדר להיות:

[math]\displaystyle{ f_A(x):=\Big|xI-A\Big| }[/math]

קל לוודא שזה אכן פולינום במשתנה x.

קשר בין פולינום אופייני לע"ע

כל התנאים הבאים שקולים:

• x הינו ע"ע של המטריצה A

לפי ההגדרה:

• קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av=xv }[/math]

מעבר אגפים:

• קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ Av-xv=0 }[/math]

(דיסטריביוטיביות של כפל מטריצות:)

• קיים [math]\displaystyle{ v\neq 0 }[/math] וגם [math]\displaystyle{ (A-xI)v=0 }[/math]

לפי ההגדרה:

• קיים פתרון לא טריוויאלי במרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-xI) }[/math]

משפט מלינארית 1:

• המטריצה [math]\displaystyle{ A-xI }[/math] אינה הפיכה

משפט מלינארית 1:

• [math]\displaystyle{ |A-xI|=0 }[/math]

לפי הגדרה:

• [math]\displaystyle{ f_A(x)=0 }[/math]

משפט

x הינו ע"ע של A אם"ם x הינו שורש של הפולינום האופייני של A