וקטור עצמי
וקטור עצמי וערך עצמי הם מושגי יסוד באלגברה לינארית, המתארים כיוונים שהעתקה לינארית משמרת (עד כדי מתיחה). הדף מסביר כיצד למצוא ערכים עצמיים באמצעות הפולינום האופייני, וכיצד למצוא את הוקטורים העצמיים המתאימים דרך המרחב העצמי, עם דוגמאות פתורות.
הגדרה
יהי שדה [math]\displaystyle{ \mathbb F }[/math] , ותהי [math]\displaystyle{ A\in{\mathbb F}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית מעל השדה
יהיו [math]\displaystyle{ 0\ne v\in{\mathbb F}^n }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb F }[/math] כך ש:
- [math]\displaystyle{ Av=\lambda v }[/math]
אזי v נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של המטריצה A ו- [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא הערך העצמי (ע"ע) המתאים לו.
חישוב ע"ע וו"ע
נביט ב- [math]\displaystyle{ p_A }[/math] הפולינום האופייני של המטריצה A. אזי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] הוא ע"ע של A אם"ם [math]\displaystyle{ p_A(\lambda)=0 }[/math] .
כלומר, הע"ע הם בדיוק השורשים של הפולינום האופייני, וכך נחשב אותם.
לאחר שנמצא את כל הע"ע, נמצא את הוקטורים העצמיים המתאימים להם, בעזרת חישוב המרחב העצמי:
- [math]\displaystyle{ V_\lambda=\{v\in{\mathbb F}^n|Av=\lambda v\}=N(A-\lambda I) }[/math]
(הזכרו בהגדרה של מרחב האפס)
דוגמאות
א
מצא את הערכים העצמיים והמרחבים העצמיים של המטריצה
[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{bmatrix} }[/math]
פתרון.
קודם כל נחשב את הפולינום האופייני של [math]\displaystyle{ A }[/math] :
[math]\displaystyle{ f_A=|A-\lambda I|=\det \begin{bmatrix} 3- \lambda & 1 & 1 \\ 2 & 4- \lambda & 2 \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}= \det\begin{bmatrix} 0 & -2+\lambda & 1-(3-\lambda)^2 \\ 0 & 2- \lambda & -4+2\lambda \\ 1 & 1 & 3- \lambda \end{bmatrix}=(\lambda-2)^2(\lambda-6) }[/math]
לכן הערכים העצמיים של המטריצה, הרי הם השורשים של הפולינום האופייני, הנם 2 ו6.
כעת אנו צריכים למצוא בסיסים למרחבים העצמיים של [math]\displaystyle{ A }[/math] .
המרחב העצמי של [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] שווה למרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית [math]\displaystyle{ (A-\lambda I)v=0 }[/math] .
בסיס למרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-2I) }[/math] הנו [math]\displaystyle{ \{(-1,1,0),(-1,0,1)\} }[/math] ובסיס למרחב האפס [math]\displaystyle{ N(A-6I) }[/math] הנו [math]\displaystyle{ \{(1,2,1)\} }[/math] .
ב
מצא ע"ע וו"ע של המטריצה [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} }[/math] מעל הממשיים ומעל המרוכבים.
פתרון.
קל לראות כי הפולינום האופייני הינו [math]\displaystyle{ p_A = x^2+1 }[/math], ולכן אין ע"ע וו"ע כלל מעל הממשיים כיון שאין שורשים לפולינום האופייני מעל הממשיים.
לעומת זאת, מעל המרוכבים הע"ע הנם [math]\displaystyle{ \pm i }[/math] והבסיסים למרחבים העצמיים הינם [math]\displaystyle{ \{(1,i)\},\{(1,-i)\} }[/math]