לכסון מטריצה

הגדרה: תהי A מטריצה ריבועית.

אומרים כי A מטריצה לכסינה אם היא דומה למטריצה אלכסונית

משפט.

תהי [math]\displaystyle{ A\in\mathbb{F}^{n\times n} }[/math] מטריצה ריבועית. A לכסינה אם ורק אם קיים בסיס B למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math] כך שכל הוקטורים בבסיס B הינם וקטורים עצמיים של המטריצה A.

הוכחה.

ראשית, נניח כי המטריצה A לכסינה. לכן קיימת מטריצה אלכסונית D וקיימת מטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

[math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math]

נכפול משמאל במטריצה P לקבל

[math]\displaystyle{ PD=AP }[/math]

נסמן את עמודות המטריצה P ב[math]\displaystyle{ C_1,...,C_n }[/math] ואת איברי האלכסון של D ב[math]\displaystyle{ d_1,...,d_n }[/math].

לפי שיטת כפל עמודה עמודה אנו שמים לב כי השיוויון

[math]\displaystyle{ PD=AP }[/math]

שקול לכך שלכל i מתקיים

[math]\displaystyle{ AC_i=d_iC_i }[/math]

ולכן עמודות P מהוות ו"ע של המטריצה A (כמובן ש [math]\displaystyle{ C_i\neq 0 }[/math] כיוון שP הפיכה).

בנוסף, כיוון שP הפיכה, עמודותיה מהוות בסיס למרחב [math]\displaystyle{ \mathbb{F}^n }[/math].

סה"כ נגיד את B להיות אוסף עמודות P וסיימנו.

בכיוון ההפוך, נניח שיש לנו בסיס כזה B, נשים את איבריו בעמודות מטריצה P. קל לראות כי מתקיים

[math]\displaystyle{ PD=AP }[/math]

כאשר P הפיכה. לכן נכפול בהופכית לקבל

[math]\displaystyle{ D=P^{-1}AP }[/math]

כלומר A לכסינה.

דוגמא חשובה לשימוש בלכסינות

באמצעות לכסון ניתן למצוא חזקות גבוהות של מטריצות באופן הבא. נניח A מטריצה לכסינה, לכן קיימת מטריצה אלכסונית D ומטריצה הפיכה P כך שמתקיים:

[math]\displaystyle{ A=PDP^{-1} }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ A^k=\Big(PDP^{-1}\Big)^k = PDP^{-1}\cdot PDP^{-1} \cdots PDP^{-1} }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ P^{-1}\cdot P=I }[/math]

לכן סה"כ אנחנו מקבלים

[math]\displaystyle{ A^k=PD^kP^{-1} }[/math]

כאשר להעלות מטריצה אלכסונית בחזקה זה קל מאד.