שילוש מטריצה: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
(יצירת דף עם התוכן "==הגדרה== מטריצה A נקראת '''ניתנת לשילוש''' אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה ==משפט== מטר...")
 
שורה 4: שורה 4:
==משפט==
==משפט==
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם [[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם [[הפולינום האופייני]] שלה מתפרק לגורמים לינאריים
==אלגוריתם לשילוש מטריצה==
*ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B
*נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה <math>Q = P^{-1}AP</math>
*נסמן <math>k=|E|</math>. נסמן ב<math>Q_k</math> את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.
*לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>.
*נסמן <math>Q_1=I_k\oplus P_1</math>, כאשר <math>I_k</math> הינה מטריצה היחידה מגודל k.
*סה"כ <math>Q_1^{-1}P^{-1}APQ_1</math> הינה מטריצה משולשית


==דוגמאות==
==דוגמאות==

גרסה מ־08:30, 13 בנובמבר 2012

הגדרה

מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה

משפט

מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים

אלגוריתם לשילוש מטריצה

  • ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B
  • נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה [math]\displaystyle{ Q = P^{-1}AP }[/math]
  • נסמן [math]\displaystyle{ k=|E| }[/math]. נסמן ב[math]\displaystyle{ Q_k }[/math] את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.
  • לפי אינדוקציה, ניתן לשלש את המטריצה [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] על ידי המטריצה [math]\displaystyle{ P_1 }[/math].
  • נסמן [math]\displaystyle{ Q_1=I_k\oplus P_1 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ I_k }[/math] הינה מטריצה היחידה מגודל k.
  • סה"כ [math]\displaystyle{ Q_1^{-1}P^{-1}APQ_1 }[/math] הינה מטריצה משולשית

דוגמאות