שילוש מטריצה: הבדלים בין גרסאות בדף
| (6 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
| שורה 13: | שורה 13: | ||
*נסמן <math>k=|E|</math>. נסמן ב<math>Q_k</math> את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות. | *נסמן <math>k=|E|</math>. נסמן ב<math>Q_k</math> את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות. | ||
* | *ניתן לחזור לתחילת התהליך ולשלש את המטריצה <math>Q_k</math> על ידי המטריצה <math>P_1</math>. כיוון שהמטריצה <math>Q_k</math> קטנה ממש מהמטריצה המקורית, לתהליך הרקורסיבי הזה יהיה סוף (מטריצה 1 על 1 היא כבר משולשית). | ||
*נסמן <math> | *נסמן <math>P_1'=I_k\oplus P_1</math>, כאשר <math>I_k</math> הינה מטריצה היחידה מגודל k. | ||
*סה"כ <math> | *סה"כ <math>P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'</math> הינה מטריצה משולשית | ||
==דוגמאות== | ==דוגמאות== | ||
| שורה 38: | שורה 38: | ||
::<math>V_2=span\{(1,0,-2,1)\}</math> | ::<math>V_2=span\{(1,0,-2,1)\}</math> | ||
נסמן <math>E = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1)\}</math> | |||
ונשלים אותו לבסיס | |||
::<math>B = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\}</math> | |||
נסמן | |||
::<math>P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> | |||
וכעת נקבל | |||
::<math>Q=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.5 & 1.5 \\ 0 & 2 & -4.5 & -6.5 \\ 0 & 0 &-0.5 &-2.5 \\ 0 & 0 & 1.5 &3.5 \end{pmatrix}</math> | |||
נסמן <math>Q_2=\begin{pmatrix} -0.5 & -2.5 \\ 1.5 & 3.5 \end{pmatrix}</math> | |||
במקרה זה קיבלנו מטריצה לכסינה ועבור | |||
<math>P_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -0.6\end{pmatrix}</math> | |||
נקבל | |||
::<math>P_1^{-1}Q_2P_1=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}</math> | |||
לבסוף נסמן | |||
::<math>P_1'=I_2\oplus P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -0.6\end{pmatrix}</math> | |||
ונקבל כפי שרצינו: | |||
::<math>P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -0.4 \\ 0 & 2 & 2 & -0.6 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}</math> | |||
גרסה אחרונה מ־09:56, 13 בנובמבר 2012
הגדרה
מטריצה A נקראת ניתנת לשילוש אם קיימת מטריצה משולשית עליונה הדומה לה
משפט
מטריצה ריבועית ניתנת לשילוש אם ורק אם הפולינום האופייני שלה מתפרק לגורמים לינאריים
אלגוריתם לשילוש מטריצה
- ניקח את האיחוד של הבסיסים למרחבים העצמיים E ונשלים אותו לבסיס B
- נשים את וקטורי B בעמודות מטריצה P ונביט במטריצה [math]\displaystyle{ Q = P^{-1}AP }[/math]
- נסמן [math]\displaystyle{ k=|E| }[/math]. נסמן ב[math]\displaystyle{ Q_k }[/math] את המטריצה המתקבלת מ Q על ידי מחיקת k השורות הראשונות וk העמודות הראשונות.
- ניתן לחזור לתחילת התהליך ולשלש את המטריצה [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] על ידי המטריצה [math]\displaystyle{ P_1 }[/math]. כיוון שהמטריצה [math]\displaystyle{ Q_k }[/math] קטנה ממש מהמטריצה המקורית, לתהליך הרקורסיבי הזה יהיה סוף (מטריצה 1 על 1 היא כבר משולשית).
- נסמן [math]\displaystyle{ P_1'=I_k\oplus P_1 }[/math], כאשר [math]\displaystyle{ I_k }[/math] הינה מטריצה היחידה מגודל k.
- סה"כ [math]\displaystyle{ P_1'^{-1}P^{-1}APP_1' }[/math] הינה מטריצה משולשית
דוגמאות
נשלש את המטריצה
- [math]\displaystyle{ A=\begin{pmatrix}-1 & -3 & -4 & -5 \\ 1 & 1 & -1 & -3 \\ 2 & 5 & 9 & 12 \\ -1 & -2 & -3 & -3 \end{pmatrix} }[/math]
ראשית נמצא את הפולינום האופייני:
- [math]\displaystyle{ p_A(x)=(x-1)^2(x-2)^2 }[/math]
הוא מתפרק לגורמים לינאריים, לכן המטריצה ניתנת לשילוש. הע"ע הינם 1,2.
לאחר חישוב בסיסים למרחבים העצמיים אנו מקבלים:
- [math]\displaystyle{ V_1=span\{(1,-2,1,0)\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ V_2=span\{(1,0,-2,1)\} }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ E = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1)\} }[/math]
ונשלים אותו לבסיס
- [math]\displaystyle{ B = \{(1,-2,1,0),(1,0,-2,1),(0,0,1,0),(0,0,0,1)\} }[/math]
נסמן
- [math]\displaystyle{ P=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix} }[/math]
וכעת נקבל
- [math]\displaystyle{ Q=P^{-1}AP=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0.5 & 1.5 \\ 0 & 2 & -4.5 & -6.5 \\ 0 & 0 &-0.5 &-2.5 \\ 0 & 0 & 1.5 &3.5 \end{pmatrix} }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ Q_2=\begin{pmatrix} -0.5 & -2.5 \\ 1.5 & 3.5 \end{pmatrix} }[/math]
במקרה זה קיבלנו מטריצה לכסינה ועבור
[math]\displaystyle{ P_1=\begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -0.6\end{pmatrix} }[/math]
נקבל
- [math]\displaystyle{ P_1^{-1}Q_2P_1=\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} }[/math]
לבסוף נסמן
- [math]\displaystyle{ P_1'=I_2\oplus P_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & -1 & -0.6\end{pmatrix} }[/math]
ונקבל כפי שרצינו:
- [math]\displaystyle{ P_1'^{-1}P^{-1}APP_1'=\begin{pmatrix}1 & 0 & -1 & -0.4 \\ 0 & 2 & 2 & -0.6 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix} }[/math]