גבול פונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף
שורה 152: | שורה 152: | ||
'''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף. | '''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף. | ||
*<math>\lim_{x\rightarrow \infty}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)</math> | |||
'''פתרון''': | |||
נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול | |||
::<math>\lim_{x\rightarrow \infty}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)=\lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{1}{y}sin(y) = 1</math> | |||
*<math>\lim_{x\rightarrow 0}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)</math> | |||
'''פתרון''': | |||
שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הינו אפס |
גרסה מ־09:04, 16 בדצמבר 2012
כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, x יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.
גבול פונקציה לפי קושי
הגדרה.
L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל
(הערה: סביבה מנוקבת של a הינה סביבה של a שמוציאים ממנה את a.)
הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר y שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר x (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר x קרובות מספיק ל-a אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L.
תרגיל.
הוכח לפי ההגדרה כי
פתרון.
יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם
נפתח את הביטוי:
אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.
כאשר
כמו כן, מתקיים
לסיכום, קיים דלתא כך ש
גבול פונקציה לפי היינה
בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.
הגדרה.
L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה
(כאשר זהו גבול של סדרות)
מתקיים כי הסדרה
תרגיל.
הוכח כי
פתרון.
לכל סדרה
מסקנה. קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים
תרגיל.
הוכח כי לא קיים הגבול
הוכחה. נראה כי קיימות סדרות
כך ש
נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים:
נרצה סדרה המקיימת
ולכן ניקח
באופן דומה ניקח
ואז נקבל
גבולות ידועים
דוגמאות
חשב את הגבולות הבאים:
פתרון:
פתרון:
הערה: שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא הנמוכה בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.
פתרון:
נבצע הצבה
פתרון:
שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הינו אפס