גבול פונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
שורה 152: שורה 152:


'''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.
'''הערה''': שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא '''הנמוכה''' בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.
*<math>\lim_{x\rightarrow \infty}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)</math>
'''פתרון''':
נבצע הצבה <math>y=\frac{1}{x}</math> ולכן זה בעצם שווה לגבול
::<math>\lim_{x\rightarrow \infty}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)=\lim_{y\rightarrow 0^+}\frac{1}{y}sin(y) = 1</math>
*<math>\lim_{x\rightarrow 0}xsin\Big(\frac{1}{x}\Big)</math>
'''פתרון''':
שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הינו אפס

גרסה מ־09:04, 16 בדצמבר 2012

חזרה לפונקציות

כאשר למדנו גבולות של סדרות, היה רק כיוון אחד להתקדמות הסדרה- האינדקס שאף לאינסוף דרך הטבעיים. כאשר מדובר על פונקציה, x יכול לשאוף לכל מספר ממשי וגם לפלוס ומינוס אינסוף. בנוסף הוא עשוי לשאוף אליהם דרך מספרים רציונאליים, אי רציונאליים או גם וגם. עלינו להתאים את הגדרת הגבול של פונקציה בהתאם.

גבול פונקציה לפי קושי

הגדרה. L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל ϵ>0 קיים δ>0 כך שלכל x המקיים 0<|xa|<δ מתקיים |f(x)L|<ϵ


(הערה: סביבה מנוקבת של a הינה סביבה של a שמוציאים ממנה את a.)


הסבר ההגדרה: לכל מרחק על ציר y שנבחר (אפסילון) יש מרחק על ציר x (דלתא) כך שאם הנקודות על ציר x קרובות מספיק ל-a אזי הפונקציה עליהן קרובה מספיק ל-L.


תרגיל.

הוכח לפי ההגדרה כי limx2(x+2)(x+4)x+1=8

פתרון. יהי אפסילון גדול מאפס. צריך להוכיח כי קיים דלתא גדול מאפס, כך שאם 0<|x2|<δ אזי מתקיים |(x+2)(x+4)x+18|<ϵ

נפתח את הביטוי:

|(x+2)(x+4)x+18|=|x2+6x+88x8x+1|=|x22xx+1|=|x(x2)x+1|


אנו רואים כי כאשר x שואף ל-2 המונה שואף לאפס, והמכנה ל-3. נרצה, אם כך, לחסום את המכנה מלמטה על ידי קבוע גדול מאפס, כך נוכל להקטין את המכנה, ולהגדיל את הביטוי.

כאשר δ<1, עבור 0<|x2|<δ<1 מתקיים 2<x+1 ולכן:


|x(x2)x+1|<|x(x2)|2


כמו כן, מתקיים x<3 ולכן:

|x(x2)x+1|<3|x2|2<32δ


לסיכום, קיים דלתא כך ש δ<1 וגם δ<23ϵ עבורו מתקיים:


|(x+2)(x+4)x+18|<32δ=ϵ


גבול פונקציה לפי היינה

בהגדרת קושי לגבול פונקציה הכללנו את הרעיון של גבול של סדרה, אך לא השתמשנו בו. בהגדרת הגבול לפי היינה נסתמך על הגדרת הגבול של סדרה.


הגדרה. L נקרא הגבול של f בנקודה a אם f מוגדרת בסביבה מנוקבת של a וגם לכל סדרה xn המקיימת את שני התנאים הבאים:

  • n:xna
  • limnxn=a (כאשר זהו גבול של סדרות)

מתקיים כי הסדרה f(xn) שואפת ל-L (שוב, גבול של סדרות).

תרגיל.

הוכח כי limxx0axk=ax0k


פתרון. לכל סדרה x0xnx0 מתקיים לפי אריתמטיקת גבולות של סדרות כי

axk=axxax0x0=axok


מסקנה. קל להראות כי לכל פולינום p מתקיים limxx0p(x)=p(x0)

תרגיל.

הוכח כי לא קיים הגבול limx0sin(e1x)


הוכחה. נראה כי קיימות סדרות

0xk,yk0

כך ש

limf(xk)limf(yk)


נזכר בעובדה שלכל מספר שלם k מתקיים:

sin(π2+2πk)=1
sin(3π2+2πk)=1


נרצה סדרה המקיימת

e1xk=π2+2πk

ולכן ניקח

xk=1ln(π2+2πk)

באופן דומה ניקח

yk=1ln(3π2+2πk)


ואז נקבל

limf(xk)=11=limf(yk)

גבולות ידועים

limx0sin(x)x=1


limx01cos(x)x=0


limx01cos(x)x2=12


limx0ln(1+x)x=1

דוגמאות

חשב את הגבולות הבאים:

  • limx01cos(x)sin(x)


פתרון:

limx01cos(x)sin(x)=limx01cos(x)sin(x)xx=limx01cos(x)xxsin(x)=01=0


  • limx05x2+2x3x3+2x2+x


פתרון:

limx05x2+2x3x3+2x2+x=limx0x(5x+2)x(3x2+2x+1)=limx05x+23x2+2x+1=2

הערה: שימו לב שכאשר המשתנה שואף לאפס, החזקה המשמעותית היא דווקא הנמוכה בניגוד לכאשר המשתנה שואף לאינסוף.


  • limxxsin(1x)


פתרון:

נבצע הצבה y=1x ולכן זה בעצם שווה לגבול

limxxsin(1x)=limy0+1ysin(y)=1


  • limx0xsin(1x)

פתרון:

שואפת לאפס כפול חסומה, לכן הגבול הינו אפס