מרחב ניצב

הגדרה

יהי מרחב מכפלה פנימית V ותהי קבוצת וקטורים [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math]. אזי הקבוצה

[math]\displaystyle{ S^\perp :=\{v\in V|\forall s\in S:\lt v,s\gt =0\} }[/math]

הינה מרחב וקטורי. אנו קוראים ל [math]\displaystyle{ S^\perp }[/math] המרחב הניצב ל-S

תרגילים

משפט הפירוק הניצב

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהי [math]\displaystyle{ U\subseteq V }[/math] תת מרחב הוכיחו כי [math]\displaystyle{ U\oplus U^\perp = V }[/math]

1

יהי V מרחב מכפלה פנימית. הוכח את הטענות הבאות:

א. [math]\displaystyle{ \{0\}^\perp=V }[/math]

ב. [math]\displaystyle{ V^\perp = \{0\} }[/math]

ג. אם [math]\displaystyle{ S_1\subseteq S_2\subseteq V }[/math] אזי [math]\displaystyle{ S_2^\perp\subseteq S_1^\perp }[/math]

ד. לכל קבוצה [math]\displaystyle{ S\subseteq V }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \Big(span(S)\Big)^\perp = S^\perp }[/math]

פתרון:

א.

[math]\displaystyle{ \{0\}^\perp = \{v\in V|\lt v,0\gt =0\}=V }[/math]

ב.

[math]\displaystyle{ V^\perp = \{w\in V|\forall v\in V:\lt w,v\gt =0\} }[/math]

אם כך, נניח [math]\displaystyle{ w\in V^\perp }[/math], כיוון [math]\displaystyle{ w\in V }[/math] מתקיים ביחד [math]\displaystyle{ \lt w,w\gt =0 }[/math] ולפי אי שליליות [math]\displaystyle{ w=0 }[/math]

לכן סה"כ [math]\displaystyle{ V^\perp=\{0\} }[/math]

ג.

נניח [math]\displaystyle{ w\in S_2^\perp }[/math] לכן לכל [math]\displaystyle{ s\in S_2 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lt s,w\gt =0 }[/math].

לכן בפרט, לכל [math]\displaystyle{ s\in S_1 }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ s\in S_2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lt s,w\gt =0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ w\in S_1^\perp }[/math]

ד.

כיוון ש [math]\displaystyle{ S\subseteq span(S) }[/math], לפי סעיף קודם ברור כי [math]\displaystyle{ span(S)^\perp \subseteq S^\perp }[/math].

כעת, אם [math]\displaystyle{ w\in S^\perp }[/math] אזי לכל צירוף לינארי [math]\displaystyle{ a_1s_1+...+a_kS_k\in span(S) }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ \lt a_1s_1+...+a_kS_k,w\gt =a_1\lt s_1,w\gt +...+a_k\lt s_k,w\gt =0 }[/math]

כלומר [math]\displaystyle{ w\in span(S)^\perp }[/math] ולכן גם [math]\displaystyle{ span(S)^\perp \supseteq S^\perp }[/math]

2

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math] תתי מרחבים. הוכיחו/הפריכו:

א. [math]\displaystyle{ (U+W)^\perp=U^\perp+W^\perp }[/math]

ב.[math]\displaystyle{ (U+W)^\perp=U^\perp\cap W^\perp }[/math]

ג. [math]\displaystyle{ (U+W)^\perp=(U\cap W)^\perp }[/math]

פתרון:

א. הפרכה:

[math]\displaystyle{ U=\{0\},W=V }[/math]

ב. הוכחה:

[math]\displaystyle{ \supseteq }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ v\in U^\perp\cap W^\perp }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ u+w\in U+W }[/math] לכן:

[math]\displaystyle{ \lt v,u+w\gt =\lt v,u\gt +\lt v,w\gt =0 }[/math]

כיוון ש [math]\displaystyle{ v\in U^\perp }[/math] וגם [math]\displaystyle{ v\in W^\perp }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ v\in (U+W)^\perp }[/math]

[math]\displaystyle{ \subseteq }[/math]

נניח [math]\displaystyle{ v\in (U+W)^\perp }[/math].

יהי [math]\displaystyle{ u\in U }[/math] לכן בפרט [math]\displaystyle{ u\in U+W }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \lt v,u\gt =0 }[/math]

לכן [math]\displaystyle{ v\in U^\perp }[/math] ובאופן דומה [math]\displaystyle{ v\in W^\perp }[/math]

סה"כ [math]\displaystyle{ v\in U^\perp\cap W^\perp }[/math]

ג. הפרכה:

[math]\displaystyle{ U=\{0\},W=V }[/math]

3

יהי V מרחב מכפלה פנימית, ויהיו [math]\displaystyle{ U,W\subseteq V }[/math] תתי מרחבים כך ש [math]\displaystyle{ U\oplus W = V }[/math]. הוכיחו/הפריכו [math]\displaystyle{ U^\perp = W }[/math]

הפרכה: [math]\displaystyle{ U=span\{(1,0)\}, W = span\{(1,1)\} }[/math]