הבדלים בין גרסאות בדף "88-113 לינארית 2 סמסטר א תשעג/תרגילים/8"
(←4) |
(←4) |
||
(5 גרסאות ביניים של אותו משתמש אינן מוצגות) | |||
שורה 1: | שורה 1: | ||
+ | ==0== | ||
+ | הוכיחו כי לכל בסיס א"ג <math>\{v_1,...,v_n\}</math> ולכל סקלרים <math>\{a_1,...,a_n\}</math> מתקיים כי | ||
+ | |||
+ | ::הקבוצה <math>\{a_1v_1,...,a_nv_n\}</math> בסיס א"ג אם"ם <math>\forall i:a_i\neq 0</math> | ||
+ | |||
==1== | ==1== | ||
תהי <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> המקיימת <math>A=A^*</math>. הוכיחו כי <math>N(A)=N(A^2)</math> | תהי <math>A\in\mathbb{C}^{n\times n}</math> המקיימת <math>A=A^*</math>. הוכיחו כי <math>N(A)=N(A^2)</math> | ||
שורה 34: | שורה 39: | ||
==4== | ==4== | ||
− | יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי <math>v\in V</math>. | + | יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי <math>v\in V</math> כך ש <math>v\notin W</math>. |
− | הוכיחו כי לכל <math>w\in W</math> מתקיים <math>||v-\pi_W(v)|| | + | הוכיחו כי לכל <math>w\in W</math> מתקיים <math>||v-\pi_W(v)||<||v-w||</math> |
+ | |||
+ | (כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W) | ||
==5== | ==5== | ||
+ | נגדיר מכפלה פנימית על מרחב המטריצות המרוכבות <math>V=\mathbb{C}^{n\times n}</math> על ידי: | ||
+ | |||
+ | ::<math><A,B>:=tr(AB^*)</math> | ||
+ | |||
+ | תהי <math>U\subseteq V</math> מרחב כל המטריצות הסקלריות. מצאו את <math>U^\perp</math> | ||
+ | |||
+ | ==6== | ||
+ | יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל <math>\mathbb{C}</math> ויהי <math>U\subseteq V</math> תת מרחב ממימד k. | ||
+ | |||
+ | הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי <math>\{v_1,...,v_n\}</math> למרחב V מתקיים <math>\sum_{i=1}^n||\pi_U(v_i)||^2=k</math> |
גרסה אחרונה מ־17:12, 31 בדצמבר 2012
0
הוכיחו כי לכל בסיס א"ג ולכל סקלרים מתקיים כי
- הקבוצה בסיס א"ג אם"ם
1
תהי המקיימת . הוכיחו כי
(רמז: השתמשו במכפלה הפנימית הסטנדרטית בדומה למה שראינו בתרגול)
2
תהי מטריצה אוניטרית המקיימת .
הוכיחו כי
(רמז: מה עשויים להיות הע"ע של A?)
3
יהי V ממ"פ ממימד n, ויהי W תת מרחב של V מימד k.
א
יהי בסיס א"נ ל W.
יהיו המשלימים את הבסיס B להיות בסיס למרחב V.
לכל נסמן:
הוכיחו כי בסיס ל V
ב
הוכיחו את משפט הפירוק הניצב
ג
מצאו את צורת הז'ורדן של אופרטור ההיטל
4
יהא V ממ"פ ויהי W תת מרחב של V. יהי כך ש .
הוכיחו כי לכל מתקיים
(כלומר, ההיטל של v על תת המרחב W הוא הוקטור הכי קרוב אל v במרחב W)
5
נגדיר מכפלה פנימית על מרחב המטריצות המרוכבות על ידי:
תהי מרחב כל המטריצות הסקלריות. מצאו את
6
יהי V מרחב מכפלה פנימית מעל ויהי תת מרחב ממימד k.
הוכיחו כי לכל בסיס אורתונורמלי למרחב V מתקיים