הבדלים בין גרסאות בדף "ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים"
שורה 55: | שורה 55: | ||
יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Tv=T(v)=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא ו"ע של <math>T</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>. | יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי. אומרים ש-<math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math> אם קיים וקטור <math>0\neq v\in\mathbb{F}^n</math> שעבורו <math>Tv=T(v)=\lambda v</math>. הוקטור <math>v</math> נקרא ו"ע של <math>T</math> הקשור ל-<math>\lambda</math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''משפט:''' | ||
+ | |||
+ | יהי <math>T:V\rightarrow V</math> אופרטור לינארי, יהי <math>B</math> בסיס של <math>V</math> ותהי <math>A=[T]_B</math> המטריצה המייצגת של <math>T</math> יחסית לבסיס <math>B</math>. אזי אם <math>\lambda\in\mathbb{F}</math> הוא ע"ע של <math>T</math>, אז <math>\lambda</math> הוא גם ע"ע של <math>A</math>. |
גרסה מ־10:22, 5 בינואר 2013
חזרה לסיכום הקורס: לינארית 2 (סמסטר א תשעג)
הערה:
בסיכום זה, גם אם לא יצויין בכל מקום, הוא מרחב וקטורי מעל השדה
, וכן
.
בנוסף,
.
הגדרה:
העתקה לינארית (ממרחב לעצמו) תיקרא אופרטור לינארי.
הגדרה:
תהי . אומרים ש-
הוא ערך עצמי (ע"ע) של
אם קיים וקטור
שעבורו
. הוקטור
נקרא וקטור עצמי (ו"ע) של
הקשור ל-
.
הגדרה:
אוסף כל הע"ע של נקרא הספקטרום של
, ומסומן
.
הערה:
יכול להיות המצב .
משפט:
הוא ע"ע של
אם ורק אם
אינה הפיכה.
הערה:
אינה הפיכה אם ורק אם
.
משפט:
הוא ע"ע של מטריצה
אם ורק אם
.
דוגמה למציאת ע"ע:
.
שיטה ראשונה:
.
שיטה שנייה: לפי המשפט.
, כלומר
, ומכאן
.
הגדרה:
יהי אופרטור לינארי. אומרים ש-
הוא ע"ע של
אם קיים וקטור
שעבורו
. הוקטור
נקרא ו"ע של
הקשור ל-
.
משפט:
יהי אופרטור לינארי, יהי
בסיס של
ותהי
המטריצה המייצגת של
יחסית לבסיס
. אזי אם
הוא ע"ע של
, אז
הוא גם ע"ע של
.