הבדלים בין גרסאות בדף "חקירת פונקציות"
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) |
אחיה בר-און (שיחה | תרומות) (←תרגילים) |
||
שורה 16: | שורה 16: | ||
== תרגילים == | == תרגילים == | ||
− | ===דוגמא מספר 1 - f(x)=x^{2}-6x+5 === | + | ===דוגמא מספר 1 - <math>f(x)=x^{2}-6x+5</math> === |
שורה 123: | שורה 123: | ||
אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math> | אינה קיימת או ש <math>f"(x)=0</math> | ||
− | |||
דוגמא: f"(x)=2 | דוגמא: f"(x)=2 | ||
− | + | ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר. | |
− | אסימטוטות | + | ====אסימטוטות ==== |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
+ | הגדרה: אסימטוטה אנכית ל <math>f(x)</math> | ||
+ | היא קו מהצורה <math>x=a</math> | ||
+ | כך שמתקיים <math>lim_{x\to a}|f(x)|=\infty</math> | ||
אצלנו אין אסימטוטה אנכית. | אצלנו אין אסימטוטה אנכית. | ||
− | הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b | + | הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> |
− | + | המקיים <math>lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0</math> | |
− | + | או <math>lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0</math> | |
איך מוצאים ? מתקיים | איך מוצאים ? מתקיים | ||
− | a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} | + | <math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}</math> |
− | + | ||
− | b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax) | + | ואז |
+ | <math>b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)</math> | ||
דוגמא- אצלנו: | דוגמא- אצלנו: | ||
− | a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\ | + | <math>a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inft</math>y |
− | + | ולכן אין אסימטוטה אופקית | |
− | התנהגות הפונצקיה באינסוף | + | ====התנהגות הפונצקיה באינסוף==== |
− | עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty | + | עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty</math> |
ציור הפונקציה | ציור הפונקציה | ||
+ | [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]] | ||
− | דוגמא 2: f(x)=\frac{\ln(x)}{x} | + | ===דוגמא 2: <math>f(x)=\frac{\ln(x)}{x}</math>=== |
− | תחום הגדרה | + | ====תחום הגדרה==== |
− | x>0 | + | <math>x>0</math>כי <math>\ln(x)</math> |
− | + | לא מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים. | |
− | + | ||
− | + | ||
− | זוגיות/אי זוגיות | + | ====זוגיות/אי זוגיות==== |
לא שייך בגלל תחום ההגדרה. | לא שייך בגלל תחום ההגדרה. | ||
− | חיתוך עם הצירים | + | ====חיתוך עם הצירים==== |
− | החיתוך עם ציר x | + | החיתוך עם ציר <math>x</math> |
− | + | הוא <math>(1,0)</math> | |
− | החיתוך עם ציר y | + | החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה |
− | + | ||
− | נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה | + | ====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה==== |
− | f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}} | + | <math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^{2}}</math> |
− | + | לכן יש לה נקודה חשודה ב <math>x=e</math> | |
. | . | ||
− | הסימן של f" | + | הסימן של <math>f"</math> נקבע ע"י <math>-x-2x(1-\ln(x))=-x(3-2\ln(x))</math> |
− | + | ||
+ | <math>f(e)<0</math> | ||
+ | ולכן זוהי נקודת מקס' | ||
− | + | תחומי העלייה של הפונקציה <math>\left(0,e\right)</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | תחומי העלייה של הפונקציה \left(0,e\right) | + | |
− | תחומי ירידה \left(e,\infty\right) | + | תחומי ירידה <math>\left(e,\infty\right)</math> |
− | תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול | + | ====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול==== |
− | הסימן של f" | + | הסימן של <math>f"</math> |
− | + | נקבע ע"י <math>-x(3-2\ln(x))</math> | |
− | + | ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e^{3/2}</math> | |
− | f"(e)<0,f"(e^{4})>0 | + | <math>f"(e)<0,f"(e^{4})>0</math> |
− | + | ולכן <math>e^{3/2}\approx10</math> | |
− | + | נקודת פיתול | |
− | הפונקציה קעורה כלפי מטה ב \left(0,e^{3/2}\right) | + | הפונקציה קעורה כלפי מטה ב <math>\left(0,e^{3/2}\right)</math> |
− | הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב \left(e^{3/2},\infty\right) | + | הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב <math>\left(e^{3/2},\infty\right)</math> |
− | אסימטוטות | + | ====אסימטוטות ==== |
− | אסימטוטה אנכית ב x=0 | + | אסימטוטה אנכית ב <math>x=0</math> |
− | + | כיוון ש <math>\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty</math> | |
אסימטוטה אופקית: | אסימטוטה אופקית: | ||
− | + | <math> | |
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0 | a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{2}}=lim_{x\to\infty}\frac{\frac{1}{x}}{2x}=0 | ||
− | + | </math> | |
− | b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0 | + | <math>b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)=lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0</math> |
− | ולכן l(x)=0 | + | ולכן <math>l(x)=0</math> |
− | + | אסימטוטה אופקית | |
− | התנהגות הפונצקיה באינסוף | + | ====התנהגות הפונצקיה באינסוף==== |
− | עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}f(x)=0 | + | עבור הדוגמא שלנו <math>lim_{x\to\infty}f(x)=0</math> |
ציור הפונקציה | ציור הפונקציה | ||
+ | [[קובץ:Example2CStirgul2.gif]] | ||
− | דוגמא 3: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}} | + | ===דוגמא 3: <math>f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}</math>=== |
− | תחום הגדרה | + | ====תחום הגדרה==== |
− | תחום ההגדרה של הוא x\not=\pm\sqrt{12} | + | תחום ההגדרה של הוא <math>x\not=\pm\sqrt{12}</math> |
− | זוגיות/אי זוגיות | + | ====זוגיות/אי זוגיות==== |
− | f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x) | + | <math>f(-x)=\frac{-x^{3}}{12-x^{2}}=-f(x)</math> |
− | + | ולכן <math>f(x)</math> אי זוגית | |
− | + | ||
− | נקודות קיצון | + | ===נקודות קיצון=== |
− | f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} | + | <math>f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}}</math> |
− | + | ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_{0}=0,\pm6,\pm\sqrt{12}</math> | |
− | + | (נשים לב שהנקודות <math>\pm\sqrt{12}=\pm3.464</math>) | |
− | + | אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה. | |
− | מקס' או מיני' | + | =====מקס' או מיני'===== |
− | + | הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x נקבע ע"י | |
+ | <math> | ||
+ | (72x-4x^{3})(12-x^{2})^{2}+4x(12-x^{2})x^{2}(36-x^{2}) = x(12-x^{2})[(72-4x^{2})(12-x^{2})+4x^{2}(36-x^{2})] | ||
+ | = x(12-x^{2})[72\cdot12+24x^{2}] | ||
+ | = 24x(12-x^{2})[36+x^{2}]</math> | ||
− | + | <math>f"(6)<0,f"(-6)>0</math> | |
− | + | <math>f"(0)=0</math> | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת! | ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת! | ||
גרסה מ־15:12, 2 במרץ 2014
נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):
- תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
- זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
- תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
- תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
- אסימפטוטות מאונכות
- נקודות חיתוך עם הצירים
- אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
- תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה
הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות
תוכן עניינים
תרגילים
דוגמא מספר 1 -
תחום הגדרה
הגדרה: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): תהא f(x)
פונקציה. תחום ההגדרה של היא A- אוסף כל הנקודות בהם מוגדרת
דוגמא: תחום ההגדרה של הוא כל הישר
זוגיות/אי זוגיות
הגדרה: תקרא זוגית אם הגדרה: תקרא אי זוגית אם
דוגמא: ולכן
אינה זוגית ואינה אי זוגית
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר x הן הנקודות
החיתוך עם ציר y היא הנקודה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
הגדרה: תהא פונקציה. נאמר ש עולה (יורדת) בתחום אם ()
הגדרה: תהא פונקציה. תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה כך ש (או )
משפט: אם גזירה בנקודת קיצון אזי
מסקנה: בשביל למצוא נקודות קיצון של
מספיק לבדוק מתי
או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל :
ולכן הנקודה החשודה היחידה היא
מקס' או מיני'
איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?
- בדיקת הפונצקיה עצמה- הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל:למשל נציב
ולכן 3 נקודת מיני הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הפונצקיה היתה מחליפה מיקום )ביחס לנקודות החשודות( איפה שהוא אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- בדיקת ערכי הנגזרת- נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (
מסתמך על העובדה כי : אם בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם אז הפונקציה עולה שם): ולכן משמאל ל 3 הפונקציה יורדת ומימין ל 3 היא עולה ולכן 3 נקודות מיני'הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של הוא ותחום הירידה
הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה איפה שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקו' קיצון ואז היינו מגלים אותה בשלב הקודם.
- מבחן הנגזרת השניה- אם
ומתקיים עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
(או עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)<0
)
אז נקודות מיני' (או מקס'):
אצלנו עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=2
ולכן עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(2)>0
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
תהא גזירה בנקודה אזי נאמר שהפונצקיה קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב אם קיימת סביבה של כך שלכל מתקיים:
()
נאמר ש נקודת פיתול אם קיימת סביבה
ימנית בה
וסביבה שמאלית
בה
או להיפך.
משפט: עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x_{0})>0
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): (f"(x_{0})<0)
אז קעורה כלפי מעלה (כלפי מטה) ב-
.
משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)
אינה קיימת או ש עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(x)=0
דוגמא: f"(x)=2
ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.
אסימטוטות
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל היא קו מהצורה כך שמתקיים אצלנו אין אסימטוטה אנכית.
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר המקיים או
איך מוצאים ? מתקיים
ואז
דוגמא- אצלנו:
עיבוד הנוסחה נכשל (פונקציה \inft לא מוכרת): a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-6x+5}{x}=\inft y ולכן אין אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
דוגמא 2:
תחום הגדרה
כי לא מוגדרת עבור -ים שליליים.
זוגיות/אי זוגיות
לא שייך בגלל תחום ההגדרה.
חיתוך עם הצירים
החיתוך עם ציר הוא
החיתוך עם ציר y לא קיים בגלל תחום ההגדרה
נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה
לכן יש לה נקודה חשודה ב
.
הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"
נקבע ע"י
ולכן זוהי נקודת מקס'
תחומי העלייה של הפונקציה
תחומי ירידה
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
הסימן של עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"
נקבע ע"י ולכן נקודות חשודות לפיתול הם
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(e)<0,f"(e^{4})>0
ולכן נקודת פיתול
הפונקציה קעורה כלפי מטה ב
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה ב
אסימטוטות
אסימטוטה אנכית ב כיוון ש
אסימטוטה אופקית:
ולכן
אסימטוטה אופקית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו
ציור הפונקציה
דוגמא 3:
תחום הגדרה
תחום ההגדרה של הוא
זוגיות/אי זוגיות
ולכן אי זוגית
נקודות קיצון
ולכן הנקודות החשודות הן (נשים לב שהנקודות ) אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה.
מקס' או מיני'
הסימן של הנגזרת השניה בנקודה x נקבע ע"י
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(6)<0,f"(-6)>0
עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת לקסינג): f"(0)=0
ולכן לא ניתן לדעת לפי בדיקה זאת!
תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
אזי f'(x)=\frac{3x^{2}(12-x^{2})+2x^{4}}{(12-x^{2})^{2}}=\frac{x^{2}(36-x^{2})}{(12-x^{2})^{2}} ו f"(x)=\frac{24x(12-x^{2})[36+x^{2}]}{(12-x^{2})^{4}}
הנקודות החשודות לפיתלול הם 0,\pm\sqrt{12}
הסימן של f"(x) נקבע לפי החלק x(12-x^{2})
נבדוק f"(-4)>0,f"(-1)<0,f(0)=0,f(1)>0,f(4)<0
. ומכאן מסיקים כי
בקטע (-\infty,-\sqrt{12})
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע (-\sqrt{12},0)
הפונצקיה קעורה כלפי מטה
בקטע (0,\sqrt{12})
הפונצקיה קעורה כלפי מעלה
בקטע (\sqrt{12},\infty)
הפונצקיה קעורה כלפי מטה
ובנקודה 0
יש נקודות פיתול )כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה(
אסימטוטות
הגדרה: אסימטוטה אנכית ל f(x)
היא קו מהצורה x=a כך שמתקיים lim_{x\to a}|f(x)|=\infty .
דוגמא f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
יש 2 אסימטוטות אנכיות ב x=\pm\sqrt{12}
כי lim_{x\to-\sqrt{12}^{+}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{+}}f(x)=-\infty
lim_{x\to-\sqrt{12}^{-}}f(x)=lim_{x\to\sqrt{12}^{-}}f(x)=\infty
הגדרה: אסימטוטה אופקית היא ישר l(x)=ax+b
המקיים lim_{x\to\infty}|f(x)-l(x)|=0 או lim_{x\to-\infty}|f(x)-l(x)|=0
מתקיים a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}
ואז b=lim_{x\to\infty}(f(x)-ax)
דוגמא: f(x)=\frac{x^{3}}{12-x^{2}}
נמצא אסימטוטות:
a=lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x(12-x^{2})}=-1
b=lim_{x\to\infty}(\frac{x^{3}}{12-x^{2}}+x)=lim_{x\to\infty}(\frac{12x}{12-x^{2}})=0
באותו אופן גם אסימטוטה לכיוון x\to-\infty
תצא אותו דבר.
ולכן l(x)=-x
אסימטוטה אנכית
התנהגות הפונצקיה באינסוף
עבור הדוגמא שלנו lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=-\infty,lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}}{12-x^{2}}=\infty
ציור הפונקציה
משפטים לסיכום
.1 אם f(x)
גזירה בנקודת קיצון x_{0} אזי f'(x_{0})=0
.2 מבחן הנגזרת השניה- אם f'(x_{0})=0
ומתקיים f"(x_{0})>0 )או f"(x)<0 ( אז x_{0} נקודות מיני' )או מקס'(
.3 אם f'(x)\leq0
בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם f'(x)\geq0 אז הפונקציה עולה שם
.4 אם f"(x_{0})>0
)f"(x_{0})<0 ( אז f(x) קעורה כלפי מעלה )כלפי מטה( ב-x_{0} .מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם f"(x) אינה קיימת או ש f"(x)=0