'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 16| ארכיון 16]]''' - לקראת המבחן
'''[[אינפי 2 לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 17| ארכיון 17]]''' - לקראת המבחן
=שאלות=
=סיכום=מצורף סיכום ממש טוב של כל המשפטים שנלמדו בקורס... תהנו!! (קרדיט ליותם ברקוביץ'): [[מדיה:summary_yotam.pdf|סיכום]]שאלה==
ארז יהיה במבחן פונקציות עם שתי משתנים?:לא שידוע לי, אם המרצה אמר שיהיה אז יהיה, אם לא אז לא תומר - אתה יכול בבקשה לשים אותו בדף הראשימה פתאום שיהיה משהו שלא למדתם ? ?? הגיון חבר"ה , הגיון ! ==שאלה== תחת אילו תנאים ניתן לומר שאינטגרל על סכום אינסופי של פונקציות שווה לסכום האינסופי של האינטגרלים של הפונקציות?תודה תומר - מפנה אותך לנוסח משפטים המתאימים ! יש משפטים שמתארים תנאים מספיקים לכך ..ייתכן שיהיו מצבים נוספים שזה יתקיים אבל אז צריך לבדוק כל מקרה לגופו.
==שאלה==
איך מוכיחים התכנסות של האינטגרל מ-0 עד נניח יש לי טור פונקציות שרץ על fn (הסדרה המזהה שלו). למה אם הטור |fn| מתכנס במ"ש בI, אז גם הטור המקורי מתכנס במ"ש בI? *נקודתית זה ברור מאינפי 1 של . לבמ"ש ההוכחה דומה. שארית הטור לא בהחלט קטנה משארית הטור בהחלט, כלומר הטור לא בהחלט מתכנס מהר יותר מאשר הטור בהחלט. ועוד שאלה: אם יש לי סדרת פונ' fn כך ש|fn| מתכנסת לפונ' גבול כלשהי f במ"ש, האם זה אומר שfn המקורית מתכנסת לf1 כלשהי במ"ש? *ברור שלא.... אינפי 1. <math>ln^afn=(x-1)^n</math> עבור a חיובי?לא מתכנס בכלל, אבל הערך המוחלט מתכנס במ"ש.:(יש טעות בסיכום במשפט פרמה, לא תומר? המשפט הראשון בעמוד הראשון של הסיכום...התנאים לא צריעכים להיות הפוכים??? *נכון מאד, הסרתי את הסיכום. המשפט אומר שאם יש מקסימום/ארזמינימום והפונקציה גזירה הנגזרת הינה אפס. בוודאי שאם הנגזרת אפס אין שום הכרח שיהיה מינימום/מקסימום (לדוגמא x^3)עבור a חיובי. שאלה:איך מוגדר אינטגרל של פונקציה ממינוס אינסוף לאינסוף? הגבול כאשר c רץ לאינסוף של אינטגרל של הפונקציה מ c- עד c או פשוט פיצול לשני אינטגרלים לא אמיתיים ואז כל אחד שואף בקצב שלו? זה נשמע קצת מוזר, משנה כי ln(במקרה של פונקציה איזוגית-למשל xבאפשרות הראשונה זה 0 ובשניה אינסוף פחות אינסוף שזה מתבדר.....(נכון?) תודה. *הוא שלילי בתחום הזהמוגדר בתור הסכום של שני אינטגרלים לא אמיתיים. האינטגרל על הפונקציה x למשל מתבדר. למה אם f פונקציה רציפה, מחזורית ואי-שלילית בממשיים(f אינה זהותית אפס) אז הגבול של f(x)/x^3 אינו אפס כאשר x שואף לאינסוף?? הרי f חסומה מהנתונים,לא? רוני נתן שאלה כזאת ואמר להוכיח שהאינטרגל של f(x)/x מ1 עד אינסוף מתבדר. ואם למשל נבחר a=הגבול שאמרתי מקודם שווה ל0 אז לפי מבחן ההשוואה האינטגרל מתכנס, אז כנראה שהגבול איננו 0,למה??? ===תשובה=== תומר - כמה שאלות , כמה שאלות ! :) לשאלה הראשונה על התכנסות עם ערך מוחלט גוררת התכנסות בלי , במידה שווה - ראה משפט שהוכחתם .5 כל הפונקאו - אפשר לנסות לבד פשוט ביישום של קריטריון קושי להתכנסות במ"ש ! . אינטגרל ממינוס אינס' לאינס' מוגדר על ידי פיצול באיזו נקודת ביניים - אבל בכל אופן כאשר הגבולות שלהם - אחד עם פרמטר לאינסוף ושני עם פרמטר למינוס אינסוף - הם לא תהיה מוגדרת בתחום הזהתלויים אחד בשני ! ובטח לא ממינוס סי לסי כאשר סי שואף לאינסוף .זהו אינטגרל שקיים בשימושים אבל יש לו שם - PRINCIPAL VALUE - אבל זה לא האינטגרל בקורס שלנו !!! .::עבור a>לגבי שאלה אחרונה - תן בבקשה את ניסוח השאלה המלא כדי שאוכל להתייחס . =1=שאלה מסודרת ==נתונה פונקציה fרציפה, מחזורית ואי-שלילית ב-R. היא אינה זהותית 0.הוכח: האינטגרל של f(x)/x מ-1 לאינסוף מתבדר. תוכל גם להגיד לי למה אי אפשר להשוות את הערך המוחלט בחזקת אלפא להוכיח שזה מתכנס עם הערך המוחלט עצמו שימוש במבחן ההשוואה השני? כי f לפי הנתונים חסומה,לא? ואז הגבול של (קטן f(x)/x)/x^2 שווה ממנולאפס ולפי המבחן f(x)/x מתכנס, ואז בגלל ש|lnx| כי האינטגרל של x^2 מתכנס ב... ===תשובה===(לא ארז/תומר) נראה לי שהטעות שלך היא כזו , כשאתה עשית את מבחן ההשוואה, עשית את זה עם הפונ' x^2 והאינטרל של זה מתבדר בקטע 1 עד אינסוף (אתה מתבלבל עם 1/x^2). :אבל אמרתי בקטע 1 עד אינסוף...לא מאפס!::הוא העיר לך על הפונקציה ולא על הקטע. x^2 זו פונקציה ששואפת לאינסוף ובפרט אינה אינטגרבילית על הקטע האינסופי. ובנוגע להוכחה , אני עשיתי את זה בדרך הבאה: נסמן את המחזור של F כ-T, אנחנו יודעים שהפונ' אינה זהותית אפס, לכן יש נקודה X0 בקטע [01,1+T] כך ש- (לפי אינטגרציה בחלקים פשוטה''f''(''x0'' שווה ל-M גדול ממש מאפס. מכיוון ש-F רציפה יש סביבה [a,b] של X0 כך שכל ס בקטע מקיים f(x)>M/2 (או אפילו גדול שווה, זה לא משנה) וכעת, מכיוון ש-F אישלילית , נגדיר פונקציה חדשה G להיות M/2x בכל קטע מהצורה [a+n*T,b+n*T] כאשר n טבעי ואפס בכל נקודה אחרת. ברור כי שתי הפונ' אי שליליות, אינטגרביליות בכל קטע מהצורה [one,R] כש- R>1 (F רציפה בכל קטע כזה, ול-G יש מספר סופי של נקודות אי רציפות מהסוג המתאים) ולכן אם האינטגרל של G בטע 1 עד אינסוף מתבדר, כך גם שלנו מתכנסהאינטגרל הלא אמיתי של F. ועכשיו, להראות שהאינטגרל של G בקטע 1 עד אינסוף מתבדר, זה לא כזה מסובך (אני עשיתי לפי קריטריון קושי, אבל אני בטוחשאפשר בעוד דרכים, ואין לי כח לכתוב את זה) ובסה"כ קיבלנו שהאינטגרל של f(x)/x
==שאלה==
תהא <math>f_n</math> סדרת פונקציות רציפות על [למה במבחן ההשוואה הראשון רוני ציין שאם 0,1] שמקיימות <mathg ו f>f_ng והאינטגרל של f מתכנס(0)=0</math> לכל n, ותהי f רציפה על [0לא אמיתי,1] המקיימת את אותו התנאיבשנ הסוגים הוא אמר ככה. אם ..) אז האינטגרל מ-0 ל-x של <math>f_n</math> g מתכנס לאינטגרל מ-0 ל-x של . הוא לא אמר שאם g מתבדר גם f במ"ש ב-[0מתבדר,1], הוכח או הפרך : <math>f_n</math> מתכנס ל-f בקטע [0,1].זה לא נכון??
(לא ארז/תומר)הפרכה, תיקח fn(x)= x^n ו f=0 כל התנאים מתקיימים אבל fn לא מתכנסת לf בקטע.=תשובה===:יפההמשפט השני הוא היקש לוגי מהראשון. לא יכול להיות שf יתכנס אבל g יתבדר, תודה רבה!לכן אם g מתבדר אזי f מתבדר.
==שאלה==
הרגע גיליתי משהו שזעזע אותי - למה <math>\frac{e^{4n}}{n!} \rightarrow 0</math> ?
בתרגיל 11 שאלה 3 - לעוד מישהו יצא רדיוס התכנסות אפס?:: [לא תומר או ארז] לי דווקא יצא 1==שאלה==אם אני צריכה להוכיח שפונק' כלשהי היא אינטגברילית רימן, והראיתי שהסכום רימן שלה לכל חלוקה מתאימה ולכל בחירה אלפא חסומה בין הסכום רימן של פונק' אינטגרבילית(!) אחרת פחות אפסילון, ואותו סכום ועוד אפסילון. האם זה מראה לי שהפונק' שלי אינטגרבילית גם? ויותר מזאת, שואפת לסכום I של אותה הפונקציה השניה?:הסכום רימן של הפונקציה האחרת עבור אותה חלוקה? ומה זה האפסילון הזה? במה הוא תלוי? ==שאלה==נתון כי f אינטגרבילית וחסומה ע"י M. צ"ל שf^2 אינטגרבילית באותו קטע.יש דרך להראות את זה לא ע"י הרכבת פונקציות (שבדרך זו הנתון ע"י החסימות מיותר)?מהי הדרך? :הנתון על חסימות מיותר איך שלא תסתכל על זה, שכן זו פונקציה אינטגרבילית (ולכן חסומה) אבל יש דרך להראות את זה חוץ מהרכבה של פונקציה רציפה ופונקציה אינטגרבילית? תומר - מידת קבוצת נקודות אי הרציפות של הפונקציה החדשה היא אפס ? ... (לא ארז/תומר) תנסה כן יש פיתרון אחר, והוא בעזרת תנאי רימן לאינטגרביליות.f^2 חסומה (ברור), ונותר להראות את מבחן דלאמבר לסדרותהתנאי השני. מקבלים ביטוי ששואף לאפסבקשר אליו, בפרט קטן מאחד החל מ-N0 מסי\וייםקל להראות ש w(f^2)<= w(f)*2*M (כאשר w הוא התנודה בקטע), ומכאן שהסדרה אכן שואפת לאפס! קל להמשיך.
:למה מראים את זה מפתיע? למעלה יש לך eכך, לכל x1,x2 בקטע כלשהו מתקיים:f(x1)^4 2-f(קבועx2) בחזקת n ולמטה יש n!. שניהם זה מכפלה של n איברים. כאשר n גדול הרבה יותר מe^4 הביטוי למטה גדול יותר.2<=(f(x1)-f(x2))*(f(x1)+f(x2)), ומכאן זה ברור
==שאלה==
אם יש לי פונקציה שהיא מנה/מכפלה התבקשתי להביא דוגמה לסדרת פונק' fn רציפות ב[0,1] כך שfn(x)-->0 לכל X בתחום, אך האינטגרל של שתי פונקציות שאני יודע לפתח לטור חזקותfn מ0 עד 1 אינו שווה ל0. - האם אפשר לפתח כל אחת מהם בנפרד ואז להכפיל/לחלק את האיבר הכללי? מה קורה לxהפונקציה x^n במקרה זה? הכוונה שלי לפונקציות כמו:f=ln(1+x)/(^n-1+x) w qq מקיימת את הלאן ואת הדרוש? הפונק' אכן רציפות ב[0,1+x ], פונקצית הגבול היא 0, אבל האינטגרל יוצא, אם אני יודע לפתח לטור חזקותלא טועה, האם במקרה זה האיבר הan של f בטור שווה לחילוק האיברים an בשני הפיתוחים?1/n פחות 1/(2n+1)..
===תשובה===
לא. חלוקה וכפל אתה בטוח שהאינטגרל שונה מאפס ולא '''שואף''' לאפס? כי כמעט כל סדרה שתבחר תעמוד בתנאי הראשון (למשל הסדרה של טורים אינה חלוקה וכפל איבר-איברהפונקציות הקבועות <math>\frac{1}{n}</math>).
==המשך השאלה==אז איך כן מפתחים את אם אתה רוצה סדרה שהאינטגרל עליה אינו שואף לאפס, קח סדרה של פונקציות הבאה: הגרף של הפונקציה ה-n הוא משולש עם בסיס <math>\frac{1}{n}</math> בגובה 2n וכל שאר הפונקציה היא אפס. הסדרה הזו לטור חזקות? הגעתי למצב שאני צריך לפתח את ln^2שואפת לאפס (1+xכמובן שלא במ"ש) לטור חזקות, אבל כמו שאמרת, מכפלה של טורים זה לא מכפלה איבר איבר.והאינטגרל על כל פונקציה בסדרה הוא תמיד 1.
תומר - יש בתורת טורי החזקות משפטים שמתייחסים למכפלת טורים ==שאלה==נראית נחמדה. f:[0, שאותם לא למדתם (זה לא שונה ממכפלת פולינומים 1] - רק שכאן יש אינסוף מקדמים ויש להתייחס לשאלת ההתכנסות של הטור שמתקבל ...) פונקציה כזו היא "קלאסית " ליישום אחד המשפטים . מעבר לזה - אפשר לנסות למצוא נוסחא שנותנת נגזרת מסדר n - זה יוצא ארוך , אבל אם מציבים אפס > R היא פונקציה רציפה אי שלילית המקיימת f(טור מקלוריין x) אפשר לנסות להשתמש בה <=sinx לכל x בתחום. אבל שוב - הדרך לפתח טורים ספציפיים כאלו צריך למצוא את כל פתרונות המשוואה: cosx+quad(f,0,x)- 1=0.( קוסינוסX ועוד האינטגרל של f מ0 עד x פחות 1 = 0.)מעבר לעובדה שx=0 הוא פתרון אחד של המשוואה, לא הצלחתי להוכיח שלא ניתן למשל קיימים עוד פתרונות/למצוא איזה טור הנדסי אינסופי כמו שראינו בכיתה) היא בעזרת משפטי המכפלה פתרון נוסף.ניסיתי להניח שקיים ולהשתמש במשפט רול, ניסיתי להשתמש בזה שאי שיוויון ברמת הפונק' ==> אי שיוויון ברמת האינטגרל אבל בסופו של דבר לא הגעתי למשהו שמוכיח. יש רעיון למישהו?::מישהו??
אז דבר כזה לא יכול להופיע במבחן? :::אם f=sinx אזי זו הפונקציה הקבועה אפס. אם f קטן ממש מהסינוס אזי הנגזרת בעלת סימן קבוע (שלילי) והפתרון היחיד הוא אפס
תומר - רק מבחן יש לכם בראש ==שאלה==מישהו מוכן להסביר לי באילו מקרים כדאי לעשות גזירה איבר איבר, ומתי לעשות אינטגרציה איבר איבר? (יש מונדיאל תודה.:) - אפשר להניח שדבר כזה לא ישאלו אתכם - ומה שיכולים לשאול זה משהו שבזמן סביר ניתן לפיתוח( או על ידי זיהוי אפשרות להגעה לסידרה הנדסית כמו שעשינו בשיעור היום .כדאי? תמיד.מותר? כאשר יש התכנסות במ"ש לפי המשפטים שלמדתם בכיתה.)
==תזכורת לארזשאלות מעניינות==היי ארז* הוכח או הפרך:תהי <math>f_n(x)</math> סדרה של פונקציות גזירות ברציפות המתכנסות במ"ש לפוקציה <math>f</math>,אשר גם גזירה ברציפות,ב-<math>[a,b]</math>.בשיעור החזרה היום ביקשת ממני להזכיר לך אזי ש- <math>f_n' \rightarrow f'</math> במ"ש על הקטע <math>[a,b]</math>.* בנוגע למשפט דיני לטורים, נניח שיש לי טור <math>u(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x)</math>, כך ש-<math>a_n(x)>0</math> והטור מתכנס ב-I. מתי אני יודע אם הפונקציה הגבולית רציפה, כך שאוכל להישתמש בדיני ולקבוע שההתכנסות במ"ש.נשמח לתשובה ממישהו,די דחוף! תודה!!! :) תומר - אם ניקח את הסידרה cosnx ונחלק הכל ב n . האם קיבלת סידרה שמתכנסת במ"ש ? ומה עם נגזרותיה ? ... לגבי דיני - פשוט לבדוק רציפות לפי הגדרה - גם לא אמרת שהפונקציות בסידרה רציפות - שים לב לתנאי המשפט ! . ==שאלה== שאלה שנתקעתי עליה ואשמח לכיוון: int(arctan(x)/[(x*(ln(x+1))^2)], x = 0 .. infinity) ניסיתי דיריכלה, חשבתי על השוואה, ופשוט לא מצאתי. אשמח לעזרה ::מצטרף לשאלה!! איך פותרים את ההוכחה שלכם לתרגיל האחרון בקובץ החזרה של הדבר הזה? (לא ארז/תומר) תנסה השוואה עם אחד חלקי [x*ln(x)^2]. שים לב ש arctanx שואף באינסוף לחצי פאי, ושעם קצת אלגברה אפשר להוכיח שמנת ה-ln-ים שואפת לאחד. כדי להראות התכנסות של האינטגרל החדש, אפשר להשתמש בהצבה t=ln(x), או לחילופין להשתמש במבחן האינטגרל+מבחן העיבוי לטורים תודה רבה :) זה לא נכון, כי יש בעיתיות גם בנקודה x=1 וגם באינסוף. ההשואה שנתת עוזרת רק לחלק של האינסוף : אבל אני לא חושב שאמורה להיות בעיה, כי זאת בעיה בנקודה, וזה לא אינטגרל לא אמיתי מסוג שני. ::אתה מפצל את זה לשני אינטגרלים: האינטגרל מ-1 עד אינסוף מתכנס (כי מורידים את ה-ln בעזרת אי שוויון והאינטרגל (arctanx/x^2) מתכנס (השוואה עם 1/x^2)...::עכשיו בקשר להתייחסות לגבול העליוןלאינטגרל מ-0 עד 1 אתה יודע ש- ln(1+x)<x לכל x ב-[0,1] ולכן האינטרגל שלנו גדול מהאינטגרל של arctan(x)/התחתון כאל גבול ממשx^4 וזה מתבדר ע"פ השוואה עם 1/x^4 שמתבדר בקטע [0, והטענה שמשהו מתקיים לכל n 1], ולכן זה גדול מאינטגרל מתבדר וזה סה"כ מתבדר. (אשמח לקבל אישור מאחד המתרגלים =) ). :(לא ארז/תומר) עבור האינטגרל מ-N0 עד 1, תנסה מבחן השוואה גבולי עם אחד חלקי x^2 . שים לב ש arctanx/x שואף לאחד וש ln(1+x)/x גם שואף לאחד כאשר x שואף לאפס. ובקשר לזה שכתב מעלי- ה-x במכנה הוא לא בריבוע... :: האמת שהאינטגרל המקורי היה בין 1 לאין סוף וזאת טעות שלי שכתבתי אפס, אבל זה באמת יהיה טוב לדעת מה קורה גם אם זה היה אפס.:: תודהלשניכם :) ==שאלות.==*arctanx חיובי בקטע 1,infinity לא? היה תרגיל באחד המבחנים ששמו ערך מוחלט מסביב לarctan, באנטגרל שהתחום שלו הוא תהחום המצוין..*במבחן ההשוואה הגבולי. מותר לי להשוות פונק' חיובית עם פונק' שלילית, אם הגבול יוצא חיובי? לדוגמה, הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1], נניח ואני רוצה להשוות עם sinx חלקי x-1..*כאשר אני מפצלת אינטגרלים ל2 תחומים שונים [עם דגש על השונים!]. אם אחד מהם מתבדר, כל האינטגרל המקורי מתבדר, נכון? בלי קשר לחיוביות/שליליות של אחת הפונקציות.. *בהמשך לשאלה שלמעלה - אם יש לי שאלה של 'לאילו ערכי אלפא', כאשר יש לי חיבור של 2 אינטגרלים - אחד ל"א מסוג ראשון והשני ל"א מסוג שני.. אז אם למשל עבור alpha>1 האינטגרל מסוג 1 מתבדר, אין מה לבדוק את האינטגרל השני גם? וזהו, תודה רבה!
===תשובה===
מה שרשום שם *כן הוא כך: נניח והגבול העליון הוא Lחיובי. לכל x>L קיים n_0 כך שלכל n>n_0 הסדרה קטנה מx*אם בתחום הפונקציה אי חיובית אז אם תכפלי אותה במינוס תקבל פונקציה אי שלילית. זה כמובן שמכפלה במינוס לא משנה התכנסות אינטגרל*נכון, כי L הוא הגבול העליון. אם תמיד היה איבר בסדרה שגדול מx אז היה גבול חלקי גדול או שווה לx שגדול ממש מL בסתירה.*נכון
סבבה::כן, תודה אבל כשהפונק' הייתה שלילית, הגבול יצא לי חיובי. אם אני כופלת במינוס 1, הגבול יוצא שלילי..:::לא יכול להיות שהגבול של המנה של שתי פונקציות אי שליליות יהיה שלילי::::::: כעיקרון אני מדברת על הפונקציה sinx חלקי x*lnx. בתחום [0.5,1]אני משווה אותה עם sinx חלקי (1 פחות X). (יום יבוא ואני אלמד להשתמש בכתיב המתמטי של ויקיפדיה... מצטערת על הסרבול). בכל מקרה, שתי הפונקציות חיוביות בתחום הזה. אבל הגבול של המנה, כאשר X שואף ל1 מצד שמאל, הוא מינוס אחת.. :כי ln שלילית בקטע הזה.::אוקי, אז בעצם מכפילים את הפונק' המקורית ב1- ואז מקבלים גבול חיובי, ואומרים שבגלל שהפונק' עם המינוס מתכנסת/מתבדרת ==> כך גם הפונק' המקורית? :נכון
==שאלה==
התכנסות במ"ש של ערך מוחלט של טור הפונק' גוררת התכנסות במ"ש של טור הפונק'?:כבר נשאל בעמוד זה. כן מכיוון שהשארית של טור קטנה או שווה לשארית של הטור בהחלט ==שאלה==*הסתבכתי,אפשר עזרה?*נניח שהפונקציה f מוגדרת ורציפה בקטע סגור x=a..b הוכח כי הסכום מאחד עד אינסוף של f^n מתכנס במ"ש בקטע זה אם אני רוצה לפתח לטור חזקות את הפונקציה cosורק אם הסכום הנל(xf^n)/x מתכנס נקודתית בקטע זה. מותר לי לפתח את cos :השאלה לא מנוסחת טוב. מה זה f ומה הוא קשור? מה ההבדל בין סכום מאחד עד אינסוף לבין טור?תיקנתי... מה הבעייה בהגדרה של f פשוט פונקציה f(x) לטור חזקות ואז רק לחלק את x ::שאלתי מה הקשר של f. גם g היא פונקציה אבל היא קשורה לשאלה בדיוק כמו f... האם היא פונקצית הגבול של הטור? האם הפונקציות בסדרה רציפות? : (לא ארז וגם לא תומר) בעצם הכיוון המעניין היחיד הוא מהתכנסות נקודתית לבמ"ש. אם f^n ב-מתכנס נקודתית אפשר לראות כי לכל x ולקבל נקבל f(x^n-<1 והשאר (בערך מוחלט, הלוואי שזה לא משתנההיה קופץ כל הזמן). f רציפה לכן הערכים שהיא מקבלת מהווים קטע סגורc, וזה הפיתוח d בתוך [-1,1), קטע בו הטור x^n מתכנס במ"ש. לכן כל סדרת נקודות אינסופית שתבחר בa,b עבור הטור לפי f שקולה בעצם לבחירת נקודות בc,d עבור הטור של cos(xהמתכנס שם במ"ש (ולפי מבחן הLIMSUP בעצם זה כל מה שצריך)/. אבל למה f(x לטור חזקות) בערך מוחלט קטן מ-1?:הסברתי במפורט בתשובה. לא בהכרח f<1 פשוט אם הוא מתכנס הוא קטן מאחד ולכן מתכנס במ"ש. אם הוא מתכנס במ"ש ברור שהוא מתכנס. זה כל מה שצריך להוכיח.
===תשובה===
(לא ארז/תומר) כן, מותראה.... התבלבלתי בין f_n לf^n.... מצטער.
==המשך== זה לא עזר לי, אני מנסה לפתח לטור חזקות (שאלה ממבחן ) סביב 0 את הפונקציה הכותב מעליי צודק שהטור מתכנס כאשר <math>|f(x)= integral from 0 to x of |<1-cos</math>, והוא מתכנס במ"ש כאשר <math>|f(tx) |<r<1</ t^2 dtניסיתי לעשות גזירה איבר איבר , math> אבל אין לי מושג איך להתקדם עם הביטוי שבתוך האינטגרלבגלל שהפונקציה רציפה על קטע סגור ונניח מתכנסת בו אזי היא מקבלת מינימום ומקסימום ושניהם חייבים להיות קטנים ממש מאחד (אחרת היא לא הייתה מתכנסת בהם) ולכן התנאי מתקיים.
דבר נוסף- אני רוצה לדוגמא לפתח את הפונקציה f(x) =x^-2 . אני יכול להשתמש בסכום של סדרה הנדסית אבל אז אני מקבל (1-x^2) בחזקת n, שזה לא ממש סימפטי. יש דרך לעשות את זה יפה יותר?
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס במ"ש בתנאי למעלה <math>|f(x)|<r<1</math> כל שצריך הוא מבחן הM
<math>|f(x)^n|<r^n</math>.
* על מנת להוכיח שהוא מתכנס עבור התנאי <math>|f(x)|<1</math> כל מה שצריך הוא להסתכל נקודתית על הטור <math>\sum |f^n(x)|=\sum a^n</math> כאשר <math>|f(x)|=a<1</math> וזה כמובן מתכנס.
* טריוויאלי שהוא יתבדר בכל מקום אחר.
* על מנת להוכיח שהוא לא מתכנס במ"ש אם לפונקציה לא היה מקסימום אבל הsup שלה היה אחד: ניקח סדרה <math>x_n</math> כך ש <math>f(x_n) \rightarrow 1</math> ולכן
<math>\lim_{k\rightarrow \infty} sup|S(x)-S_k(x)|>\lim_{k\rightarrow \infty} |S(x_{n_k})-S_n(x_{n_k)}| = \infty</math>
(נבחר את n_k על מנת שההפרשים ישאפו לאינסוף. אנחנו יודעים שזה מותר כי
<math>f(x_n)\rightarrow 1</math>)
==שאלה==
אם יש לי פונקציה ואני מפתח לה טור חזקות נניח עם רדיוס 1, איך אני מוודא לאחר הפיתוח שהפונקציה שווה לטור בקטע?
וגם פה שאלה 4 כוון כללי אם אפשר...http://moodle.technion.ac.il/file.php/1098/Exams/2004-2005-spring-test-a.pdf
===תשובה===
הוא שווה לפונקציה רק ברדיוס ההתכנסות. מה הכוונה איך אתה מוודה? אם פתחת נכון זה חייב להיות שווה - הצעדים שלמדנו לפיתוח פונקציה לטור חזקות הם צעדים בהם השיוון בסוף חייב להתקיים (למשל פונקציה קדומה ששווה בנקודה אחת לטור החזקות [עדיף לבדוק את הנקודה אפס כמובן]) לגבי השאלה הראשונה - השנייה כבר שאלו אותה, תסתכל בארכיון 17 אבל אתה גוזר את יודע שאם קיים טור חזקות המקדמים הם אלו של טיילור, למשל הפונקציה ומקבל <math>\frac{1-cosx}{x^2}</math> שזה שווה <math>\frac{1-\sum_{nf(0)=0}^{\infty}\frac{f(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}}{x^2}=\frac{-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{exp(-1)^n /x^{2n}}{2) sהיא שווה לטור החזקות רק באפס למרות שהטור מתכנס בכל הישר (2nהוא תמיד אפס כי כל הנגזרות באפס הן אפס)!}}{x^2}=-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{מה שאני שואל זה איך הייתי יודע להבחין שהם שווים רק באפס למרות שהטור מתכנס תמיד, רק שזה לא תמיד לערך הפונקציה? :אל תבלבל. הקטע עם הבדיקה בנקודה זה רק כאשר הוכחת שהפונקציה שלך היא קדומה של טור חזקות כלשהוא ועשית אינטגרציה איבר איבר. באופן כללי למדתם משפט אחד שמאפשר לכם להניח שטור החזקות עם מקדמי טיילור הוא אכן הפונקציה וזה כאשר הנגזרות חסומות (-1ראה את ההשלמה)^n x^{2. במקרים אחרים (n-1כמו זה שתארת)}}{אסור סתם להניח שיהיה שיוויון. כן, אבל בתכלס אם קיים טור חזקות המקדמים שווים למקדמי טיילורמה שאתה אומר זה להתייחס "כאילו" אנחנו לא יודעים את זה ולעבוד בשיטות אחרות כן? (2nבמקרה והנגזרות לא בהכרח חסומות)!}</math>
(עד כדי טעות):כן. יכול להיות שתשתמש בטריק כי אתה לא יודע להוכיח שהפונקציה שווה לטור חזקות, אבל גם יכול להיות שזה פשוט יהיה קל יותר מאשר לחשב את הנגזרות מכל סדר...
עכשיו צריך לעשות אינטגרציה איבר איבר לקבל את התוצאה הרצוייהסבבה תודה רבה
==שאלה==
והשאלה השנייה שליהמבחן ב15:30 נכון?כמה זמן הוא יארך??? כן, שעתיים
==שאלה==
האם יש אפשרות שמישהו יעלה למה הסיגמה של 2*(n+1)*3^n חלקי שורש שלישי של n! מתכנס?:אתה מתכוון ל<math>\sum \frac{2(n+1)3^n}{\sqrt[3]{n!}}</math>? תקח את מה שעשו בתרגיל חזרה היום בבקשההשורש הn-י ותקבל 3 חלקי אינסוף כלומר שואף לאפס (הרי <math>\sqrt[n]{n!}\rightarrow \infty</math>) ==התכנסות אינטגרלים==האם האינטגרלים הבאים מתכנסים???* <math>\int_{0}^{1} \frac{\theta}{\ln(\theta)}d\theta</math>.* <math>\int_0^1 \frac{dx}{\ln(x)}</math>* <math>\int_{r=0}^{r=1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr</math>.האם אפשר לומר באינטגרל השלישי ש-<math>\int_{0}^{1} \frac{\sin(r^2)}{r}dr \leq \int_{0}^{1} \frac{r^2}{r}dr = \int_0^1 rdr = 1/2</math>, ואז עפ"י השוואה??? ===תשובה===לא לשכוח לבדוק אם האינטגרל הוא אמיתי בכלל או לא. למשל השלישי הוא פשוט בעל אי רציפות סליקה באפס ולכן אינטגרבילי (גם מה שרשמת נכון אבל בלי קשר) בראשון ובשני הצד הבעייתי הינו 1. ניתן לבצע מבחן ההשוואה עם <math>\frac{1}{1-x}</math>
==שאלה==
מישהו יודע מה המבנה של המבחן, אורך?
תומר - אני יודע ... נתונה פונקציה f(שאלת מי יודע :x) בקטע [a,b] ונתון שהיא חסומה על ידי M...יופי, אתה יכול לפרט?
לאאאאאאאאאאאאאאאאאאאאא! :) די כבר עם הדברים השוליים האלו ! מה משנה מה מבנה המבחן ! התעסקו בלהתכונן ולא בחישובים טקטיים של מספר שאלות ...אתם צריכים להבין שאנחנו לא מורידים חומר לפי המבנה,כי איננו יודעים לפי מספר השאלות מה יהיה במבחן......צריך להוכיח שאם f אינטגרבילית זה רק עוזר להגיע רגועים יותר,ובכל מוסד כלשהו נהוג לכל הפחות לפרסם את מבנה המבחן...גורר ש-f^2 אינטגרבילית.אם אתם לא מוכנים לפרסם היום,אז לכל הפחות בבקשה תפרסמו אותו ביום שלישי בלילה
חסימות זה לא בעיה, אבל הסתבכתי עם התנאי השני אני יכול להשתמש במשפט שאם הפונקציות f,g אינטגרביליות בקטע כלשהו אז גם f כפול g אנטגרבילית שם, כאשר במקרה הזה g=f? :(לא ארז/תומר - שאלות ) ענו כבר על מבנה המבחן הפנו לרוני או מיכאל השאלה הזאת... אני לא נכנס לפרטים שהם פשוט זניחים לדעתי אי אפשר להשתמש במשפט, למרות שהוא נכון, כי אז התרגיל טריוויאלי. אף אחד לא רוצה להכשיל או לתת מבחן קשה בכוונה :הנה ההוכחה- והמבנה יהי אפסילון גדול מאפס. בכל קטע g(x1)-g(x2)=(f(x1)+f(x2))*(f(x1)-f(x2)<2M*W כאשר W היא התנודה של המבחן לא יגיד לכם כלום f בקטע. (g מוגדרת כ f בריבוע). מאינטגרביליות f קיימות חלוקה עבורה סכום התנודות קטן מאפסילון חלקי 2M. ועבור אותה חלוקה בפונקציה g סכום התנודות יהיה קטן מאפסילון. תומר - ומה עם מידת נקודות אי רציפות ? אם אתם יודעים שהפונקציה אינטגרבילית זה אומר שמידת קבוצת נקודות האי רציפות שלה היא אפס . מה עם נקודות האי רציפות של הפונקציה בריבוע ? האם היא מוכלת בזו של הפונקציה המקורית ? ואם כן מה זה אומר על מידתה ? .. עד כאן .
==שאלה==
צריך להפריך: אם (fnלהוכיח שהטור הבא מתכנס במ"ש. f(x) היא סדרה מונטונית = sum from 0 to infinity of (הסדרה עצמה מונוטונית, לא הפונק', כלומר מונוטונית לפי ne^-nx) של פונקציות רציפות המתכנסות נקודתית לפונק' f* cos(xnx) בקטע I. אזי f(x) מונוטונית.יש למישהו דוגמה להפרכה?s
: [לא תומר/ארז] אולי הסדרה x^2 + 1/n המתכנסת נקודתית לx^2?:::איך זה מפריך? פונק' הגבול היא x^2, מונוטונית.:::: קח את I להיות [1-בכל קטע (a,1infinity] וזה לאכאשר a>0
נכון, כל סדרה קבועה של פונקציה שאינה מונוטונית גם תקיים את זה (בדוגמא הזו פשוט מזיזים את כל הפונקציה למטהניסיתי עם מבחן ה- m ולא הצלחתי.)מישהו?אפשר להשוות עם e^-n במבחן הM לא?
==שאלונת.==נניח והגדרנו את G:(xלא ארז/תומר) להיות האינטגרל של f מ0 ועד xאני חושב שצריך להשוות עם e^-an ...
האם זה מוגדר היטב עבור עם e^-n וזה עובד. עכשיו בסעיף הבא הם רוצים להוכיח/להפריך שf(x<0? כלומר) שזה הסכום הוא פונקציה רציפה ב(o, infinity). הבעיה זה שווה למינוס האינטגרל כאשר מחליפים את הגבולות, אבל האם בפונק' זו, ובכלל כשאני מגדירה פונק' קדומה לפונקציה אחרת (במידה והיא אינטגרבילית למשל בכל שזה קטע סגור), מותר לי להכניס X שקטן מ0פתוח ולא סופי.. עדין אפשר להשתמש במשפט על טור של פונקציות רציפות המתכנס במ"ש?
תומר - בעצם :תמיד משתמשים באותו טריק (לא התעמקתי בשאלה, מקווה שרלוונטי) אם לוקחים איזושהיא נקודה קבועה c בקטע , ומגדירים אינטגרל מסויים של פונקציה רציפה מ c כגבול תחתון , ל - x כגבול עליון - נקבל , שהפונקציה הזו ההתכנסות היא קדומה של הפונקציה באיטגרנד ! (הסתכלו במ"ש על ההוכחה ותראו שאפשר לעשות התאמה כזו ...)::כל תת קטע סגור וסופי אז לא ממש הבנתייוצא שפונקצית הגבול רציפה בכל נקודה בלי שתהיה התכנסות במ"ש על הקטע האינסופי/פתוח כולו.. כן מותר להציב x<0?תומר - מותר להציב כל x - בין היתר קטן מ c
== תרגיל 11 ==
מישהו יכול לכתוב שוב את הלינקים לתרגילים שבתרגיל 11, הלינקים לא עובדים לי.
השאלה היא אם f אינטגרבילית גם בשליליים:ארכיון 16.. אם כן, האינטגרל מאפס עד x שלילי הוא פשוט מינוס האינטגרל מx עד 0 (כמו שאמרת) ולכן זה בוודאי מוגדר היטב.
==שאלה==מתי יפורסמו ציוני התרגיל והבוחן (אני יודע שיש לנו אותם, הכוונה עם פקטור, וציוני תרגיל 8/10 אם אני לא טועה) והאחוזים מהציון הסופי? מצטרף!! תומר - שאלת וענית בעצמך ! יפורסם בשעות הקרובות . אני הוספתי שאפשר למצוא קדומה לפונקציה רציפה כאשר האינטגרל מהמשפט היסודי של החוודא מוגדר גם כאשר ה-x כגבול עליון , בעצם קטן יותר מהגבול התחתון עצמי עוד בודק תרגילים שהוגשו באיחור(! כמובן כאשר הגבול התחתון זו ) . סבלנות . נקודה פנימית בקטע כך שיש סביבה שלה שמוכלת כולה בקטע !יש חדש?
==שאלה==
לא צריך לדעת לשנן משפטים לפי נוסח מדויקאוקי, נכון? לא יבקשו מאיתנו 'לצטט במדויק את המשפט היסודי של החדונניח ויש לי סדרת פונקציות, ואני צריכה לבדוק לאילו ערכי אלפא הסדרה מתכנסת במ"אש ב0,אינסוף (חצי סגור) וב[0,1].קודם כל בדקתי את 0 אינסוף, והגעתי לזה שעבור אלפא קטן מ2 ==> הסדרה מתכנסת במש.התחום השני, [0,1], מוכל בתחום הראשון - ונניח שהגעתי לזה שהסדרה מתכנסת במש בתחום זה עבור אלפא גדול מ2-.'מכיוון שהתחום מוכל, זה אומר לי גם שבפרט הסדרה מתכנסת במש גם עבור אלפא קטן מ2, וביחד - עם שתי המסקנות האלה - מתכנס לכל אלפא?
תומר - לגבי הוכחת המשפטים עצמם - לזה כבר התייחסו המרצים ===תשובה===לכאורה כן, אני לא מבין מה השאלה. אבל נוסח משפט - הרי ברור שחייבים לדעת ! אחרת איך תדעו האם בכלל אתם יכולים להשתמש במשפט ?::ואם אנחנו יודעים באופן כללי? צריך לדעת ממש באופן מדויק כל משפט ומשפט?שאם זה מתכנס במ"ש לכל אלפא גדול ממינוס 2 או קטן משתים בפרט זה מתכנס לכל אלפא.השאלה האמיתי היא אם החישובים שלך נכונים. תומר :השאלה היא כזו - לא יודע מה הוכחתי שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ"כלליש ב0,infinity. רק רציתי לוודא שזה אומר שעבור אלפא קטן מ2 זה מתכנס במ" - או שיודעים מה טענת המשפט או שלא יודעים ש גם ב[0,1]. לדוגמא - זה נכון? ::הדגש הוא על הקטע הסגור? אם יש הבדל התכנסות באפס אז כן, אם באיזה משפט פונקציה צריכה להיות רציפה לא אז לא:::כן, או שצריך לדרוש גזירה שזה תנאי חזק יותר מדובר על קטעים סגורים. תודה:) אני טועה או למשל בתנאי דיני להתכנסות במידה שווה בקטע שבהתחלת ההרצאה האחרונה רוני אמר שבטווח שבין רדיוס ההתכנסות לבין המינוס שלו(לא כולל הוא עצמו)- הקטע צריך להיות סגור או שלא חייבים שיהיה הפונקציה מתכנסת, ואח"כ הוא אמר שהיא גם מתכנסת במ"ש בכל קטע סגור שמוכל בקטע הזה... למשל . אם .?:זה נכון לגבי טור חזקות, אני לא נזכור נוסח של משפט בטוח איך נדע שמותר להשתמש בו זה קשור פה. ::יש עוד מקום עם רדיוס התכנסות חוץ מטור חזקות???ושאלתי כי זה נראה לי מוזר להוכיח משהו ואז להוכיח משהו ותר חזק במקום להוכיח ביחד. למה פה? איפה עוד אני יכול לכתוב??? :::לא פה בפורום, התכוונתי פה בשאלה הזו... רדיוס התכנסות זה מושג של טור חזקות, וכאן מדובר על סדרת פונקציות.
==שאלה==
מצטער על הבורות רגע לפני המבחן- מה זה גזירה איבר-איבר? ואינטגרציה איבר איבר? בבקשה שלא יהיה מסובך....
===תשובה===
נניח ויש לך טור מתכנס <math>g=\sum f_n</math>. השאלה היא מהי הנגזרת של g. אם מותר לגזור איבר-איבר אזי <math>g' = \sum f_n'</math>. שים לב שזה לא תמיד נכון, רק כאשר המשפטים מאפשרים לגזור איבר-איבר.
אינטגרציה זה דומה <math>\int g = \sum \int f_n</math>
==שאלה==
אם טור חזקות מתכנס גם בR וגם בR-, זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[0,R] וב[-R,0] ואז זה אומר שהוא מתכנס במ"ש ב[-R,R]?
===תשובה===
כן. באופן כללי אם טור מתכנס במ"ש בשני קטעים סגורים צמודים הוא מתכנס במ"ש באיחוד הקטעים. כי מהירות ההתכנסות עבור אפסילון היא המקסימום בין שני הn_0 של שני הקטעים.
== :)==
שיהיה בהצלחה לכולם! לא פחות מ100 :)
תומר - מצטרף ! שיהיה בהצלחה לכולכם - במבחן הזה ובכל אלו אחריו :)
:תודה, ותודה לכם על סמסטר נפלא (עד כמה שהיה אפשר. אינפי, אתם יודעים). תודה על התרגולים המצויינים, אפילו שהיו יותר מידי אנשים בכיתה... ותודה על ההשקעה בנו ועל כל העזרה (האתר, וכל דבר אחר). אולי תהיו מתרגלים שלנו באינפי 3?
:ושיהיה בהצלחה לכולם!
==לארז ולתומר==
רגע אחרי המבחן, וכמה ימים לפני שהאתר יתחיל לשמש, כנראה, תיכוניסטים תמימים שצעירים מאתנו בשנה, ואתם אורזים את הכל בשבילם, רציתי לומר לכם, לשניכם במ"ש, ת-ו-ד-ה ר-ב-ה!! על כל ההשקעה, הזמן, הרצון והכוח שהיה לכם להתמודד עם שתי קבוצות רועשות כמו שלנו, ועוד בקורס קשה כמו אינפי 2! שיהיה לכולנו המון בהצלחה בהמשך!
מצטרף בהחלט, המון תודה לשניכם, ואולי נתראה בהמשך...
:מצטרפת.. ממש תודה על הכול! מה נעשה בלי Math-wiki..
מצטרף! זה לא מובן מאליו... ועם זאת, מתי נדע כמה פקטור יהיה(בטוח יהיה...!!)
::תודה רבה על כל האיחולים - המתרגלים. (בלי קשר, אני אפרסם עוד כמה דקות פתרון למבחן בדף הקורס)
אני מסכים לגמרי עם כל השאר. אתם באמת השקעתם את כל כולכם בנו ובהצלחה שלנו. באמת רואים שאכפת לכם מאיתנו למרות כל הקיטורים, בקשות לדחיות, התחננויות ולפעמים אף בכי P=
אני רק לא מבין משהו אחד. ניסיתי להבין מה הייתה התועלת בשיעורי חזרה ובתרגולים הנוספים שעשיתם, ואני לא מוצא בהם תועלת למבחן... לא עשינו אפילו תרגיל אחד שהיה אפילו דומה לשאלות שהיו במבחן (אני לא מתכוון לשאלות בדיוק כמו שהיו במבחן, אבל לפחות בסגנון ובנושאים)... כאילו שמתם דגש בשאלות לא דומות למבחן בשביל מה? הרי ראיתם את המבחן כבר... לי אישית היה די קשה להגיע לבר אילן,לתירגולים, באותו היום אבל הגעתי בכל זאת כי חשוב לי להצליח במבחנים (כמו לכולנו), אבל בתכלס שאני מסתכל על היעילות שלהם לאחר המבחן לא עזר בכלל, אלא להיפך.
כל מה שאני מנסה להגיד, זה שבתרגולי חזרה לפני מבחן, תעזרו קצת יותר בכך שתתרגלו אותנו נכון, ולא לבלבל לנו את השכל עם שאלות לא קשורות בכלל... אחר כך מתלוננים שאנחנו לא מקבלים ציונים נורמלים ואתם נאלצים לעשות פקטור סתם!
תודה על הכול (וזה בשיא הכנות) כי באמת השקעתם בנו
===תשובה===
אני אענה לשאלה שלך בשני מישורים
* הראשון והחשוב יותר: מטרתנו הראשונה והעיקרית כמורים הינה ללמד אתכם מתמטיקה ו'''לא''' להכין אתכם למבחן. הכנה למבחן הינה משנית (אמנם חשובה גם כן). קשה להגיע לבר אילן גם במהלך הסמסטר, אך אתם מגיעים על מנת ללמוד. הסיבה שאנו רואים את המבחן קודם לכן היא בעיקר על מנת לוודא איכות שלו (שאין טעויות, רמה סבירה וכדומה), עלינו להעביר שיעורי חזרה כאילו לא ראינו את המבחן.
*שנית, אני אפריך לחלוטין את הטענות שהעלאת:
**שיעור ההשלמה היה חלק מחומר הקורס וכלל שאלה שהופיעה כלשונה במבחן! (הוא היה לפני שראינו את המבחן). אז כבר 20 נקודות מתנה על שיעור ההשלמה והחומר שהועלאה לאתר (אני לא העברתי את השאלה פרונטלית אבל תומר כן). אמרנו לכם לקרוא את שיעור ההשלמה.
**שיעור החזרה כלל שאלה כמעט זהה לחלוטין לשאלה 3 מהמבחן (אני העברתי אותה ותומר לא).
**יום או יומיים לפני המבחן עניתי באתר על שאלה דומה לשאלה 2 במבחן, והדגשתי דברים שלא היו בשאלה המקורית כי ידעתי שזה יעזור למבחן.
**שאר השאלות, בוודאי היו דומות והתעסקו בנושאים דומים...
מעבר לכך, תודה על ההכרה בעבודה שלנו. תאמינו לנו שמה שעכשיו נראה לכם לא כיף, בעתיד אתם תראו כאתגר שהצלחתם בו. החיים הם לא מיטת שושנים, ומי היה רוצה לישון במיטת שושנים בכלל? זה דוקר!
:זה לא רק דוקר, זה גם צמיגי :P
::מתי יעלו ציוני תרגיל?
:::אנחנו נעלה אותם היום
==יש לי שאלה==
האם בשאלה 4ב במבחן היה אפשר להגיד שההתכנסות היא ל0 כי תנאי הכרחי להתכנסות הטור היא שאיפת האיבר הכללי לאפס
(הוכחה של התכנסות לאפס לא התכנסות במש)?
===תשובה===
כן, זה מוכיח בהחלט התכנסות נקודתית לאפס (ולא במ"ש כפי שציינת)
==שאלה==
למה מופיע לי ציון 0 בתרגיל מספר 2 אם הגשתי אותו? :S
איך מראים שהטור מ-n=1 עד אינסוף של sin(nx) מתבדר:זו שאלה פילוסופית?
תומר - האם האיבר הכללי בטור , עבור x קבוע (וכמובן שונה מכפולות של פאי ...) שואף לאפס ? זו שאלה שמזכירה אינפי 1 . האם הגבול של הסידרה sinnx שואף לאפס ? וביתר כלליות - האם בכלל קיים גבול לסידרה זו ? ==הודעה==
חישבו על זה קצת - יש ציונים!!== מבחן == היה פקטור במבחן? ואם אראה שבעייתי - אצרף פיתרון . נסו להשתמש בנוסחאות טריגונומטריות : כן של כמה?
sin(n+1)x-sin(n-1)x=2cos(nx)*sinx (הפרש סינוסים מצטרף לשאלה...) , ובסינוס זווית כפולה : sin2nx=2sinnx*cosnx מאוד חשוב לנו לדעת האם להגיש ערעור או שלא.... והאם לגשת למועד ב או לאבקיצור ממש חשוב לנו לעת האם היה פקטור...
==עוד תרגיל==תהי סדרת פונקציות מונוטוניות מתכנסת. הוכח/הפרך: פונקצית הגבול הינה מונוטוניתתשאלו את המרצים, אנחנו (המתרגלים) לא יודעים.