89-214 סמסטר א' תשעה: הבדלים בין גרסאות בדף
חיים רוזנר (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
|||
| (4 גרסאות ביניים של 2 משתמשים אינן מוצגות) | |||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
'''[[89-214 מבנים אלגבריים]]''' | |||
=קישורים= | |||
* '''[[שיחה:89-214_סמסטר_א'_תשעה|שאלות ותשובות]]''' | |||
* '''[[89-214 מבנים אלגבריים סמסטר א תשעה/תרגילים|תרגילים]]''' | |||
* '''[[89-214 מבנים אלגבריים סמסטר א תשעה/מערכי תירגול|מערכי תירגול]]''' | |||
=הודעות כלליות= | =הודעות כלליות= | ||
ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים! | ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים! | ||
''' | '''' | ||
== ציוני תרגיל סופיים == | |||
מפורסמים בדף התרגילים. ערעורים יתקבלו עד יום חמישי, אצל שירה במייל. | |||
= השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו') = | = השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו') = | ||
| שורה 15: | שורה 27: | ||
כעת, נביט בקבוצה <math>H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}</math>. נראה כי <math>H</math> היא קבוצה מעוצמה <math>p^2</math>: נניח כי קיימים <math>(i,j)\neq(i',j')</math> עבורם <math>{a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}</math>. על ידי בידוד איברים, נקבל <math>a^{i-i'}=b^{j'-j}</math>, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים <math>e</math>, ובסתירה להנחה <math>(i,j)\neq(i',j')</math>. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת <math>H</math> היא <math>p^2</math>. | כעת, נביט בקבוצה <math>H=<a,b>=\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\}</math>. נראה כי <math>H</math> היא קבוצה מעוצמה <math>p^2</math>: נניח כי קיימים <math>(i,j)\neq(i',j')</math> עבורם <math>{a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}}</math>. על ידי בידוד איברים, נקבל <math>a^{i-i'}=b^{j'-j}</math>, והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים <math>e</math>, ובסתירה להנחה <math>(i,j)\neq(i',j')</math>. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת <math>H</math> היא <math>p^2</math>. | ||
ברור ש-<math>H\subseteq G</math>, ולפי שויון עוצמות סופיות, <math>H=G</math>. לכן כל איבר ב-<math>G</math> ניתן לרשום בתור <math>a^ib^j</math>. נבדוק האם <math>b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b</math>. | ברור ש-<math>H\subseteq G</math>, ולפי שויון עוצמות סופיות, <math>H=G</math>. לכן כל איבר ב-<math>G</math> ניתן לרשום בתור <math>a^ib^j</math>. '''(עד כאן היה בשיעור.)''' נבדוק האם <math>b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b</math>. | ||
ראשית, נזכיר כי <math>ab=ba</math>, כי <math>a\in Z(G)</math>. לכן <math>b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}</math>. נחזור על הטיעון <math>i</math> פעמים, ונקבל <math>b\cdot a^i=a^i\cdot b</math>. כמו כן, ברור כי <math>b\cdot b^j=b^j\cdot b</math>. ביחד, נקבל <math>b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b</math>, כנדרש. מצאנו אפוא כי <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את <math>b</math>. | ראשית, נזכיר כי <math>ab=ba</math>, כי <math>a\in Z(G)</math>. לכן <math>b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1}</math>. נחזור על הטיעון <math>i</math> פעמים, ונקבל <math>b\cdot a^i=a^i\cdot b</math>. כמו כן, ברור כי <math>b\cdot b^j=b^j\cdot b</math>. ביחד, נקבל <math>b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b</math>, כנדרש. מצאנו אפוא כי <math>b\in Z(G)</math>, ובסתירה לדרך שבה בחרנו את <math>b</math>. | ||
גרסה אחרונה מ־13:03, 23 במרץ 2015
קישורים
הודעות כלליות
ברוכים הבאים לקורס מבנים אלגברים!
'
ציוני תרגיל סופיים
מפורסמים בדף התרגילים. ערעורים יתקבלו עד יום חמישי, אצל שירה במייל.
השלמה לשיעור תרגיל בקבוצה 05 מיום כ"ח טבת (19 ינו')
תרגיל. תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה מסדר [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] ([math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני). הראו כי [math]\displaystyle{ |Z(G)|\neq p }[/math].
פתרון. נניח בשלילה כי [math]\displaystyle{ |Z(G)|=p }[/math]. מכיוון שזו חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית, כלומר קיים [math]\displaystyle{ a \in Z(G) }[/math] שיקיים [math]\displaystyle{ \lt a\gt =Z(G) }[/math]. בנוסף, משיקולי עוצמה, קיים איבר [math]\displaystyle{ b \in G-Z(G) }[/math]. ננסה להראות כי [math]\displaystyle{ b }[/math] הזה מתחלף עם כל איברי [math]\displaystyle{ G }[/math], ולכן [math]\displaystyle{ b\in Z(G) }[/math], ובסתירה לבחירת [math]\displaystyle{ b }[/math].
ראשית, נשים לב לכך שהסדר של [math]\displaystyle{ b }[/math] הוא [math]\displaystyle{ p }[/math]; אילו הסדר היה [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] אז [math]\displaystyle{ b }[/math] היה יוצר של כל [math]\displaystyle{ G }[/math], ואילו הסדר היה [math]\displaystyle{ 1 }[/math] אז הוא היה איבר היחידה. הסדר של [math]\displaystyle{ a }[/math] גם הוא [math]\displaystyle{ p }[/math], באופן ברור.
כעת, נביט בקבוצה [math]\displaystyle{ H=\lt a,b\gt =\{a^i b^j | 0 \le i,j \le p-1\} }[/math]. נראה כי [math]\displaystyle{ H }[/math] היא קבוצה מעוצמה [math]\displaystyle{ p^2 }[/math]: נניח כי קיימים [math]\displaystyle{ (i,j)\neq(i',j') }[/math] עבורם [math]\displaystyle{ {a^i}{b^j}={a^{i'}}{b^{j'}} }[/math]. על ידי בידוד איברים, נקבל [math]\displaystyle{ a^{i-i'}=b^{j'-j} }[/math], והאפשרות היחידה היא ששני ביטויים אלה שווים [math]\displaystyle{ e }[/math], ובסתירה להנחה [math]\displaystyle{ (i,j)\neq(i',j') }[/math]. אם כן, לא ספרנו כאן איבר אחד פעמיים, ומצאנו שעוצמת [math]\displaystyle{ H }[/math] היא [math]\displaystyle{ p^2 }[/math].
ברור ש-[math]\displaystyle{ H\subseteq G }[/math], ולפי שויון עוצמות סופיות, [math]\displaystyle{ H=G }[/math]. לכן כל איבר ב-[math]\displaystyle{ G }[/math] ניתן לרשום בתור [math]\displaystyle{ a^ib^j }[/math]. (עד כאן היה בשיעור.) נבדוק האם [math]\displaystyle{ b \cdot a^ib^j=a^ib^j \cdot b }[/math].
ראשית, נזכיר כי [math]\displaystyle{ ab=ba }[/math], כי [math]\displaystyle{ a\in Z(G) }[/math]. לכן [math]\displaystyle{ b\cdot a^i=b\cdot a\cdot a^{i-1}=a\cdot b\cdot a^{i-1} }[/math]. נחזור על הטיעון [math]\displaystyle{ i }[/math] פעמים, ונקבל [math]\displaystyle{ b\cdot a^i=a^i\cdot b }[/math]. כמו כן, ברור כי [math]\displaystyle{ b\cdot b^j=b^j\cdot b }[/math]. ביחד, נקבל [math]\displaystyle{ b\cdot a^ib^j=a^i\cdot b \cdot b^j = a^ib^j\cdot b }[/math], כנדרש. מצאנו אפוא כי [math]\displaystyle{ b\in Z(G) }[/math], ובסתירה לדרך שבה בחרנו את [math]\displaystyle{ b }[/math].
תרגיל. תהי [math]\displaystyle{ G }[/math] חבורה מסדר [math]\displaystyle{ p^2 }[/math] ([math]\displaystyle{ p }[/math] ראשוני). הראו כי היא חבורה אבלית.
פתרון. לפי התרגיל הקודם, [math]\displaystyle{ |Z(G)|\neq p }[/math]. לפי נוסחת המחלקות, [math]\displaystyle{ |Z(G)|\neq 1 }[/math] (הראנו בכיתה). לפי לגרנז', [math]\displaystyle{ |Z(G)| \mid p^2 }[/math], וביחד נקבל [math]\displaystyle{ |Z(G)|= p^2 }[/math]. אם כן, משויון עוצמת קבוצות סופיות, [math]\displaystyle{ Z(G)=G }[/math], ו-[math]\displaystyle{ G }[/math] אבלית.