בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
 
(147 גרסאות ביניים של 23 משתמשים אינן מוצגות)
שורה 13: שורה 13:
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4
'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 4| ארכיון 4]]''' - תרגיל 4


'''[[בדידה לתיכוניסטים תש"ע - שאלות ותשובות - ארכיון 5| ארכיון 5]]''' - לקראת המבחן


=שאלות=


==שאלה על אחת השאלות פה==
מה זה: "מספר ה'''יחסים''' על קבוצה בעלת n איברים"? מה הכוונה?
:מספר היחסים מA לA (למשל "קטן מ" בקבוצה של מספרים)


==שאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'==
=שאלות=
אני לא מאמין, כתבתי עכשיו עשרות שורות של הפתרון שלי כדי לשאול אם הוא נכון, אבל זה נמחק לי =[. אז פשוט אשאל, אם אפשר, בבקשה, פתרון נכון לשאלה 3 סעיף ב', איזה פונקציה חח"ע ועל אפשר לעשות? זו שאלה קשה אז אני בטוח שיש עוד הרבה שירצו גם פתרון. תודה!!
==המבחן===
:אני גם בדיוק עושה אותה אבל יש לי דרך תיאורטית שאני לא בטוח שהיא נכונה. הרי יודעים שK בין 2 ל2 בחזקת ג, אם מראים שבשני מקרי הקצה של K הוא שווה ל2 בחזקת ג זה לא מספיק כדי להוכיח שוויון תמידי? זה קצת מוזר שלסעיף הזהיש 5 נקודות ולסעיף הראשון יש 10, הוא הרבה יותר קל
באיזה בניין וחדר יהיה המועד ב' בבדידה?
 
==שאלה 2 מועד ב' 2008==
יש לי פתרון אבל אשמח מאם מישהו (עדיף מתרגל) ייתן את הפתרון כדי שאני אהיה בטוח, אני אנסה לכתוב את הפתרון שלי כאן: <math>(-1)^n*{1519-101n \choose 20}</math><math>{1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}</math>
שיאללה אני לא מאמין שהצלחתי לכתוב את זה
:אני לא מתרגל, יצא לי דומה לשלך רק שהכנסתי את הגורם הראשון לתוך הסכום, וגם נראה לי שצריך להוסיף כמה פעמים כל חיתוך של קבוצות מופיע, למשל יש 2 מתוך 20 פעמים חיתוך 2 Ai ים (אם עשית את זה בעיקרון הכלה והדחה וצריך לצאת בערך כמו שלך רק עם i מתוך 20 בתוך הסכום
::כן כן שמתי לב לזה עכשיו, כתבתי את החלק של הכמה יש מתוך בדף אבל התלהבתי כל כך שהצלחתי לכתוב את זה באתר ששכחתי להוסיף, התוצאה שלי היא כזאת:
<math>((-1)^n*{1519-101n \choose 20}*{20 \choose n})</math><math>{1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}</math>
האמת שעכשיו אני לא בטוח אם זה צריך להיות <math>{1519-101n \choose 20}</math> או <math>{1519-101n \choose 20-n}</math>


==איך להוכיח (2008 מועד ב' שאלה 1 א')==
==הפגישה==
האם אפשר להוכיח ככה, או שיש דרך אחרת?
באיזה שעה הפגישה והיכן?
נניח <math>f(x1,u1)=f(x2,u2)</math> וכן <math>f(x1,u1)={v1 (muchal-be) u1 | x1 (shayach-le) v1}, f(x2,u2)=cmo-x1,u1</math> ולכן לכל V1, V2 שמוכלים בU1, U2 מתקיים V1=V2 ולכן U1=U2 וגם x1=x2? משהו לא נכון בהוכחה הזאת נכון? אז איך מוכיחים? תודה!
==פקטור==
היה פקטור במבחן?


==שאלות 2א+ב מועד ב 2009==
===תשובה===
שלום רב,
כן
כיצד עליי לנמק בפתרון השאלה 2א? התחלתי את הפתרון כך:


"ישנם <math>n</math> מספרים בקבוצה ולכן סך כל האפשרויות לתמורות שונות הוא <math>n!</math>. כמו כן קיבלנו שתי אפשרויות:
==חלוקת הציון==
 
כיצד מחלקים את הציון? כמו בלינארית או שהבוחן ייחשב לכולם? ואם כן באיזה אופן?
1. <math>n</math> לפני <math>n-1</math>
תודה מראש, גל.
==ציונים==
מישהו יודע מתי יהיו ציונים?
==שאלה חשובה ממבחן==
בכמה דרכים ניתן לחלק 40 עטים ממוספרים <math>(1,2,...,40)</math> בין 30 סטודנטים?


2. <math>n</math> אחרי <math>n-1</math>"
לא הבנתי את השאלה:
 
*האם צריך לחלק את כל ה-40, כך שיהיו 10 סטודנטים שיקבלו 2 עטים? או לחלק רק 30 עטים?
השאלה שלי היא איך אני מנמק לאחר מכן שקיימות <math>0.5n!</math> תמורות כנדרש:
*האם מותר שחלק מהסטודנטים יקבלו 0 עטים? למשל - כל העטים לסטודנט אחד?


1. "...לכן לכל תמורה שתי אפשרויות ולכן בסה"כ יש <math>0.5n!</math> תמורות שעונות לתנאי זה".
אגב, תשובה סופית של השאלה תעזור לי מאוד, בשביל לבדוק את עצמי.


2. "כעת נגדיר <math>A</math> קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 1, <math>B</math> קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 2. כמו כן נגדיר פונקציה <math>f:A->B</math> ע"י לכל <math>x</math> ב-<math>A</math> יתקיים ש<math>f(x)=y</math>כאשר <math>y</math> היא התמורה בה איברי <math>x</math> מופיעים בסדר הפוך (כלומר התמורה <math>1,2</math> תהפוך ל-<math>2,1</math>). פונקציה זו חח"ע ועל ולכן <math>|A|=|B|</math> ומכיוון שהחיתוך ביניהם זר הרי שאפשר לומר ש-<math>|A|+|B|=2|A|=|C|</math> (כאשר <math>C</math> היא קבוצת כל התמורות). נציב <math>|C|=n!</math> ונקבל את העוצמה הדרושה של <math>A</math>...".
===תשובה (לא מתרגל)===
כל האפשרויות הללו תופסות. אני הייתי פותר את השאלה כך: עבור כל עט יש שלושים אפשרויות, ולכן בסה"כ יש <math>30^{40}</math> אפשרויות. האם זה פתרון נכון?


הבעיה היא שדרך 1 נקראית לי לא מפורטת מספיק ודרך 2 היא די ארוכה. בסעיף א זה עוד נסבל אבל בסעיף ב זה בכלל נורא כי כבר קיימות 6 אפשרויות (ואז עליי לבנות 6 פונקציות) אז איך עליי לנמק את מה שאמרתי?
:אני מניח שהכוונה ל40 עטים ספציפיים, כלומר לא יכול להיות שעט מספר 2 יהיה אצל שני תלמידים.
תודה מראש, גל.


===תשובה===
::נו?תסתכל על זה כך - לעט 1 יש 30 אפשרויות (תלמיד 1 עד תלמיד 30) וגם לעט 2 יש 30 אפשרויות וגם ... וגם לעט 40 יש 30 אפשרויות. ולכן בסה"כ התשובה שציינתי מתקיימת
אני לא מתרגל אך יש לי את הפתרון שאדם כתב באחד התרגולים שלו. כמו שאמרת, יש סך הכל <math>n!</math> אפשרויות לסדר את המספרים. ניתן לחלק מספר זה של אפשרויות ל2 חלקים: חלק ראשון הוא האפשרויות ש<math>n-1</math> מופיע לפני <math>n</math> והחלק השני הוא ההפוך- <math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, ניתן לראות כי 2 חלקים אלה הם שווים, נניח אתה בודק את מספר האפשרויות בהן <math>n-1</math> מופיע לפני <math>n</math>, אז מספר האפשרויות ההפוך הוא אותו מספר כיוון שהפעם החלפת בכל אפשרות בין <math>n</math> ל<math>n-1</math>, ולכן התוצאה היא <math>0.5n!</math>. בסעיף ב' אתה משתמש בתוצאה של סעיף א' ואתה יודע שהיא מתחלקת ל-3 אפשרויות ובאותו אופן כמו בסעיף א' גם 3 אפשרויות אלה הן שוות ולכן בסך הכל התוצאה היא <math>1/6n!</math>. אני שוב אומר שאני לא מתרגל אבל זאת הדרך בה אדם פתר את התרגיל הזה


==שאלה קצרצרה נוספת==
:::צודק, טעות שלי.
מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים, זה בעצם מספר הפונקציות מA לA, כלומר n בחזקת n? או משהו אחר? תודה!


===תשובה===
==הוכחת יחס בפרט==
מספר היחסים על קבוצה A בת n איברים היא הגודל של <math>P(A \times A)</math>, שהיינו <math>2^{n^2}</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
אם נתונה קבוצה B סופית ודי קטנה (כ-5 איברים) ואומרים יהי R יחס על B, הוכיחו ש-R יחס סדר חלקי (או שקילות, לא משנה). האם אני יכולה לכתוב בצורה מפורשת את R ופשוט לכתוב בצורה מפורשת למה היא טרנזטיבית, רפלקסיבית ואנטי סימטרית (או סימטרית), או שאני חייבת לעשות את זה באופן כללי ולא מפורש?
==2007 מועד ב'==
קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=278200810428508.pdf


==שאלה קצרה מאוד על עוצמות==
בשאלה 1 צריך לרשום בצורת CNF ו-DNF שתי פונקציות שהן ביטוי לוגי. אין לי מושג על מה מדובר, אבל זה לא בחומר - נכון?
קבוצת כל הפונקציות מהטבעיים לקבוצת תת הקבוצות של הטבעיים, מהי עוצמתה? לפי החישוב שלי, הקבוצה שווה לP)N( בחזקת N, כלומר העוצמה שווה ל-א בחזקת א0. אך מהי העוצמה א בחזקת א0? א? או יותר, 2 בחזקת א? איך אפשר לדעת את זה? תודה רבה!


===תשובה===
שאלה 2 על דטרמיננטות - אני אמורה לדעת לפתור אותה ושאלה דומה יכולה להופיע במבחן מועד ב'? (אני עם אפי, למדנו דטרמיננטות שיעור אחד)
ישנן כמה נוסחאות לגבי עוצמות אינסופיות שצריך לדעת. אחת מהן היא שאם <math>k</math> אינסופית ו<math>\lambda<k</math> אזי <math>k^\lambda=k</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:29, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


==3 שאלות על הרכבת פונקציות==
בשאלה 4-ג',ד' ובשאלה 5 צריך להסביר משהו או רק לתת תשובה סופית?
-אם <math>g*f=Id</math> אז <math>g(f(x))=x</math> או ש <math>f(g(x))=x</math>? כי ניתקלתי בבעיה שקשורה לזה (השאלה השניה).
==מבחן 2007 מועד א'==
-אפשר להגיד ש אם F חחע אז F הפיכה משמאל ואם F על אז היא הפיכה מימין, נכון?
קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=208200823203518.pdf
-איך מוכיחים את מה שצריך להוכיח בשאלה 2 במבחן 2007 מועד א' (http://math-wiki.com/images/4/4f/BdidaExamMoedA2007.pdf) ?
:ב-א', הוכחתי את הכיוון משמאל לימין, ע"י כך שאם g1*f=g2*f אז בגלל ש'''f הפיכה מימין''' אז נרכיב את f-1 מימין ואז g1=g2. בכיוון השני נתקעתי.
:ב-ב', לא הצלחתי בכלל. התחלתי ככה: צריך להוכיח שf חחע, כלומר או שנוכיח שאם f(a1)=f(a2) אז a1=a2 או שנוכיח שהיא הפיכה משמאל (לא בטוח מה עדיף). הפונקציה הזאת שמסומנת בסימון של קבוצה ריקה היא על ולכן והפיכה מימין, ולכן O*h=Id ולכן (ופה נתקעתי, לא הייתי בטוח <math>O(h(x))=x</math> ולכן (?) <math>h(x)*f=x</math> ופה יש משהו לא הגיוני. אפשר עזרה? תודה!


===תשובה===
בחלק II שאלה 3 (שצריך להוכיח באינדוקציה), הבדיקה עבור n=1 יצאה לא נכונה! יש טעות בתרגיל או שאני טועה?
אם <math>g*f=Id</math> אז <math>g(f(x))=x</math>.


בקשר לשאלה במבחן הנ"ל, הפיתרון הפשוט (לדעתי) של הסעיף הוא כדלקמן:
בבקשה תענו!


כיוון אחד
דרך אגב, כל חלק III הוא לא בחומר, נכון?


1) אם <math>f</math> חח"ע אזי היא הפיכה מימין ע"י איזושהי פונקציה שנסמנה <math>h : B \rightarrow A</math>.  
אה ועוד משהו: יש למישהו פתרונות של המבחן הזה? או לפחות פתרונות סופיים? אם מישהו פתר אותו, אז שיכתוב פה ונשווה :).


2) כעת, לכל פונקציה <math>\psi \in C^A</math> יש מקור <math>g=\psi \circ h \in C^B</math> לפי פונקציה <math>\Phi</math>, כי <math>\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi</math> ולכן <math>\Phi</math> על.
במיוחד חשובה לי השאלה בקומבינטוריקה: 1-ב', יצא לי 208.


כיוון שני
==בקשה לפקטור==
המבחן היה ברמה קשה מאוד אז נשמח לקבל פקטור. תודה!
  אני בטוח שבגלל שביקשת יהיה פקטור :) (לא שאני מתנגד )
::מצטרפת!
::מצתרף, וזה בלי קשר לבעיות הרבות שהיו, הפסקת חשמל, בעיות בתופס, ועוד.. או לפחות שיקימו מועד מיוחד כדי שהמועד ב' לא תיהיה ההזדמנות האחרונה, זה די מלחיץ, וגם באמת שהתנאים והרמה לא היו בסדר, בהצלחה לכל מי שהולך למועד ב'


1) אם <math>f</math> לא חח"ע אז קיימים <math>a_1,a_2 \in A</math> שונים כך ש<math>f(a_1)=f(a_2)</math>.
==שאלות על הפתרון==
בשאלה של התמורות, קבעתם את A להיות הקבוצה שבה איבר זוגי מסויים מופיע במקומו, ואז חישבתם את הסכום של כל הקבוצות האלו. אבל זה בעצם החיתוך של המשלימים, אז צריך לעשות את סך כל האפשרויות פחות הסכום שיצא, לא?
ולגבי השאלה עם השוויון בין הסיגמות, אתם יכולים לכתוב את הפיתרון? (הוא לא מופיע). תודה!


2) לכן לכל <math>g \in C^B</math>, הפונקציה <math>\Phi(g)=g \circ f</math> מקיימת <math>g \circ f(a_1)=g \circ f(a_2)</math>.
==פתרון המבחן==
שלום. אתם יכולים בבקשה לפרסם את הפתרון של המבחן? תודה!
==הצלחה במועד ב'==
שלום. אני נבחנתי במועד א' ונראה לי שנכשלתי ככה שגם בסופי יהיה לי ציון נכשל. אבל זה בכלל לא אומר שבמהלך כל הקורס ישבתי עם פה פעור ולא הבנתי מילה. עכשיו אני צריכה לגשת למועד ב', ובו אני רוצה להצליח. לא להצליח 80, אלא להצליח 100 לפחות. אני מוכנה לחרוש בשביל זה כמה שצריך, ואפילו יותר. אבל אני רוצה שהחרישה תהיה יעילה כמה שאפשר. אז מתרגלים, בתור מי שהצליחו באיזה קורס או שניים, בבקשה תספרו מנסיונכם, מהי הדרך הכי אפקטיבית ללמוד למבחן? מה ייתן לי את מירב הסיכויים לקבל 100?


3) אולם, קיימות הפונקציות <math>h \in C^A</math> כך ש<math>h(a_1) \neq h(a_2)</math>, כי <math>C</math> מכילה לפחות שני איברים, וכתצואה מכך <math>\Phi</math> איננה על.


[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
תודה מראש!
====אם F חחע אז היא הפיכה '''משמאל''', לא מימין, לא?====


==שאלה (קצת מוזרה, אבל מבלבלת) על איחוד קבוצות==
נניח שX שייך לA חיתוך B חיתוך C. אני יכול להגיד בוודאות ש X שייך ל
:(AחיתוךBחיתוךC) איחוד (AחיתוךBחיתוךC'(משלים)) איחוד (AחיתוךB'חיתוךC') איחוד (A'חיתוךB'חיתוךC)? האם זה נכון בטוח בגלל שאחד מהגורמים באיחוד הוא A חיתוך B חיתוך C? תודה!


===תשובה===
אני עדיין מחכה לתשובה, בבקשה...
כן. ניתן לומר זאת בודאות כי אחד הגורמים באיחוד הוא הוא A חיתוך B חיתוך C.
:אני לא בטוח שהם עוד עוכבים אחרי הדף הזה, אבל אולי אם תשאל את השאלה בדף השיחה של אחד המתרגלים הם יענו לך (למשל [[שיחת משתמש:ארז שיינר]] ו[[שיחת משתמש:Adam Chapman]]. את רשימת כל מפעילי המערכת (רובם מתרגלים) תמצא [http://www.math-wiki.com/index.php?title=%D7%9E%D7%99%D7%95%D7%97%D7%93%3A%D7%A8%D7%A9%D7%99%D7%9E%D7%AA_%D7%9E%D7%A9%D7%AA%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%9D&username=&group=sysop&limit=50 כאן]). [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 00:36, 10 בספטמבר 2010 (IDT)


[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 10:49, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
::תודה לך :)
:תודה רבה אני מאוד מעריך את כל העזרה שלך!!
 
==עזרה (מבחן 2009 מועד ב' שאלה 7 ב'2 .)==
הוכחתי את 1, ע"י חילוק למקרים, אם C=100 אז A וB יכולים להיות מ1 עד 99, 99 בריבוע אפשרויות, אם C=98 אז יש 98 בריבוע אפשרויות וכך הלאה ומקבלים את הסכום הדרוש. אבל לא משנה איך אני מנסה להסתכל על זה, אני לא רואה איך העוצמה של S שווה לתוצאה שכתובה ב2. אפשר עזרה לפני המבחן? תודה רבה!!


===תשובה===
===תשובה===
את חלק ב' מוכיחים באופן קומבינטורי. כשיש לנו שלישיה סדורה <math>(a,b,c)</math> כך ש<math>a<b \wedge a<c</math> אז קורה אחד (ואחד בלבד) משלושת הדברים הבאים:1) <math>b=c</math> או 2) <math>b<c</math> או 3) <math>b>c</math>. כל המקרים ב1) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת שני איברים מתוך 100, הצבת הקטן מבין השניים באינדקס הראשון והצבת הגדול מבין השניים באינדקסים השני והשלישי; כל המקרים ב2) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטן ביותר באינדקס הראשון, הצבת האמצעי באינדקס השני והצבת הגדול ביותר באינדקס השלישי; כל המקרים ב3) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטןביותר באינדקס הראשון, הצבת הגדול ביותר באינדקס השני והצבת האמצעי באינדקס השלישי. עקב כך, מקבלים את הנוסחה הרשומה בטופס המבחן בסעיף ב'.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 10:46, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
*קודם כל יש לוודא שיש לך את כל החומר מההרצאות ושאת מבינה כל דבר ודבר שנעשה בהרצאה (אחר כך כנ"ל לגבי התרגילים)
:תודה
*יש לעבור על מבחן מועד א' ולוודא שאת מבינה בדיוק איפה טעית, ואיך היית מקבלת 100 אם היית נגשת אליו.
 
*יש לפתור את כל תרגילי השנה ומבחנים משנים קודמות, דבר ראשון מבלי להסתכל בפתרונות, ולאחר מכן לוודא שפתרת נכון
==איחוד או חיתוך==
*תנסי לקבוע שעת קבלה עם המתרגל שלך או מתרגל אחר בקורס שלך (עדיף באמצעות המייל, לא כולם עוקבים אחרי הדף הזה בשלב זה, כמו שאור ציין).
סליחה שאני שואלת המון שאלות..
*אני אציין שמה שאמרתי הוא כללי מכיוון שאיני מתרגל בדידה ולכן איני יכול לכוון יותר למקצוע הזה. הכוונה נוספת תוכלי לקבל ממתרגלי בדידה.


איך מוכיחים שאם X מוכלת ב-A חיתוך B אז X מוכלת ב-A וגם X מוכלת ב-B? (במיוחד צריך לשים לב שההוכחה לא מתאימה גם לאיחוד במקום חיתוך, בשונה מההוכחה אצלי במחברת)
בהצלחה,  


שוב, תודה מראש!
[[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 00:52, 10 בספטמבר 2010 (IDT)


===שאלות זה טוב===
::תודה רבה!!
אם <math>X \subseteq A \bigcap B</math> אז לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A \bigcap B</math>, דהיינו <math>x \in A</math> וגם <math>x \in B</math>. מכיוון שלכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> אז <math>X \subseteq A</math>, ומכיוון שלכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in B</math> אז <math>X \subseteq B</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
::מבין הדברים שכתבת, משנה מה אעשה קודם ומה אחר כך? ובשביל מה שעת קבלה?


:::שעת קבלה לשאול שאלות (אם יש) וגם להתייעץ לגבי הלימודים ספציפית לקורס. לגבי הסדר, אני חושב שנוח לעבוד לפי נושאים הרצאה-תרגול-תרגיל בית (כלומר להבין את ההרצאה בנושא ואז את התרגול בנושא ואז תרגיל בית בנושא ואז לעבור לנושא הבא). אחרי שיש שליטה בחומר עוברים למבחנים ודברים דומים.


:תודה רבה, אבל: אם <math>X \subseteq A \bigcup B</math> אז לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A \bigcup B</math>, דהיינו <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> ואז*** <math>X \subseteq A</math>, או <math>x \in B</math> ואז*** <math>X \subseteq B</math>.
==עוד 2 שאלות קצרות ואחרונות בהחלט!==
:מה שמסומן ב-*** כמובן לא נכון, אבל איך מסבירים את זה שהדבר נכון רק עבור חיתוך ולא איחוד?
יש לי עוד 2 שאלות קצרות שאפשר לענות עליהם עם תשובה סופית בלבד.
:האם <math>P(AxB)=P(A)xP(B)</math>?
:נניח A=}1,2,3,{. מספר היחסים על A הוא 2 בחזקת 9 (לפי תשובה לשאלה קודמת), נכון? ומספר יחסים השקילות על A, איך מחשבים את זה? מחשבים אז זה בצורה אחרת, על ידי מספר מחלקות השקילות האפשריות נכון? המחלקות האפשריות הן 1,2,3; 12,3; 1,23; 2,13; 123; כלומר 5? או שיש לי טעות? תודה!


::כל <math>x\in X</math> מקיים <math>x\in A</math> '''-או-''' <math>x\in B</math>. בפרט, מאד ייתכן שקיים <math>x\in X</math> כך ש<math>x\notin A</math>. אתה שינית לוגית את המשפט - במקום לומר 'כל איבר שייך לA או B' אמרת 'כל האיברים שייכים לA או כל האיברים שייכים לB'. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:18, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
===תשובה===
 
התשובה היא לא. <math>P(A \times B) = P(A) \times P(B)</math> זה שקר ברוב המקרים. אם <math>A=\{1,2\}</math> ו<math>B=\{3,4\}</math> אז <math>\{(1,3),(2,4)\} \in P(A \times B) \setminus P(A) \times P(B)</math>. הכי טוב להבין זאת דרך עוצמות. <math>|P(A \times
:::באמת שיניתי לוגית את המשפט בלי לשים לב! אם כך, רק אם '''''לכל''''' <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> אז <math>X \subseteq A</math>, ובאיחוד זה לא לכל x. הבנתי, תודה לכם!
B)|=2^{|A| \cdot |B|}, |P(A) \times P(B)|=2^{|A|+|B|}</math>.
 
==הוכחה טריוויאלית==
מהי הדרך הנכונה ביותר להוכיח שאם <math>P(A)</math> מוכל (או שווה) ב(ל)-<math>P(B)</math> אז A מוכל (או שווה) ב(ל)-B?


(פשוט ההוכחה אצלי במחברת לא ברורה לי)
{{התנגשות}}לא. נניח בשלילה שזה נכון, אזי:
{|
{{equation|l=<math>|\mathcal P(A\times B)|</math>|r=<math>2^{|A|\cdot|B|}</math>}}
{{equation|o=<math>\not=</math>|r=<math>2^{|A|+|B|}</math>|c=קיימות <math>A</math> ו-<math>B</math> כך ש:}}
{{equation|r=<math>2^{|A|}\cdot2^{|B|}</math>}}
{{equation|r=<math>|\mathcal P(A)\times\mathcal P(B)|</math>}}
|}


===תשובה===
בסתירה לכך שאם שתי קבוצות שוות אז עוצמתן שווה. [[משתמש:אור שחף|אור שחף]], [[שיחת משתמש:אור שחף|שיחה]], 14:38, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
אם <math>P(A) \subseteq P(B)</math> אז לכל <math>X \in P(A)</math> מתקיים <math>X \in P(B)</math>.
:תודה! ובקשר לשאלה השנייה, עם מספר היחסים על A, צדקתי או שיש לי טעות? תודה
בפרט, <math>A \in P(A)</math> ולכן <math>A \in P(B)</math>, כלומר <math>A \subseteq B</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:57, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
::לא משנה כבר, בהצלחה!
:אהה, תודה!


==יחסים==
==2 שאלות, אם מתרגל עדיין נמצא פה..==
האם האיבר הקטן ביותר הוא תמיד המינימלי היחיד? (כשהוא קיים)
-אם יש נוסחת נסיגה לא הומוגנית, שהאיבר החופשי שלה, במקום להיות מחובר מהצורה <math>a^n*q(n)</math> הוא פשוט מספר ללא n, לדוגמה 4, (כלומר: נוסחת נסיגה לדוגמה תהיה an=an-1+an-2+4) מה מציבים בנוסחת הנסיגה? פשוט k ללא n? או 4 בחזקת n כפול k? כי אם מציבים ביטוי ללא n, יש בעיה שהיא- מה להציב בan-1 וכו'.
-אם אפשר עזרה נוספת בנוגע[http://math-wiki.com/index.php/%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA#.D7.91.D7.A2.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.A2.D7.A0.D7.A7.D7.99.D7.95.D7.AA_.D7.A2.D7.9D_.D7.94.D7.A8.D7.9B.D7.91.D7.AA_.D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.AA..._-.D7.A2.D7.96.D7.A8.D7.94_.D7.91.D7.91.D7.A7.D7.A9.D7.94..- לשאלה הנל], תודה


===תשובה===
===תשובה===
כן [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:32, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
אם משוואת ההפרשים היא משהו בסגנון <math>f(n+k)=a_1 f(n+k-1)+\dots+a_k f(n)+c</math> כאשר c הוא קבוע (דהיינו מספר שלא תלוי בn) אז מחפשים פיתרון פרטי של משוואת ההפרשים שיהיה פונקציה קבועה, למשל <math>h(n)=b</math> ואז פותרים את המשוואה<math>b=a_1 b+\dots+a_k b+c</math> ומקבלים פיתרון <math>b=\frac{c}{1-(a_1+\dots+a_k)}</math> וממשיכים באלגוריתם לפיתרון נוסחת הנסיגה כרגיל. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:55, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
:תודה!
:תודה!


==שאלה==
===עוד אפשרות===
לקחתי את הש.ב שלי מבניין 216(תרגיל 4 ו-5) ובתרגיל 5 עשיתי הכל נכון חוץ משאלה 4 ד' ו-ה' חוץ מזה הכל כתוב ומסומן ב-וי(כאילו שזה נכון) וקיבלתי 88, שזה אומר שירדו לי 12 נקודות על 2 סעיפים(היו 6 סעיפים בשאלה הזו, א-ו) בחישוב קל זה יוצא קצת לא הגיוני כי יש 7 שאלות, עכשיו מכיוון שנגמר הקורס, למי אני יכול לפנות(תענו לי את התשובה בהנחה שזה חשוב לי אפילו שזה 5-8 נק'), כמובן שאני מאוד אעדיף תשובה של מתרגל... בכל מקרה תודה מראש!
אם לא בא לך לזכור את כל המקרים אפשר להפוך את 4 ל- <math>(1^n)*4</math>
 
===תשובה===
מתן נקודות זה די סובייקטיבי. ייתכן שהיא הורידה לך בנקודות אחרות על אף שהיא סימנה וי. ייתכן שהיא חילקה את הנקודות בין הסעיפים אחרת משהיית מצפה. אני לא חושב שיש על מה לערער, אלא אם מצאת ממש טעות בבדיקה. אני גם לא משוכנע שיש למי. אתה יכול לעבור שוב על התרגיל ולראות אם היא לא העירה לך עוד הערות היכנשהו על התרגיל מעבר לוי-ים שהיא סימנה [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:48, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
 
קודם כל היא\הוא לא העיר\ה בכלל וזה לכשעצמו רע מאוד(אני לא יודע מה ואיפה הבעיות שלי), אני מודע לזה שיש להם הרבה עומס לבדוק את של כולם, אבל אם הם כבר עושים את זה אז לא לעשות את זה בחאפריות ובזלזול, שייזכרו שיש תלמיד מאחורי קובץ הדפים הללו ומאחורי מספר תעודת הזהות. בכל זאת לא ראיתי שום טעות(חוץ מבסעיפים הללו) והשוויתי עם הפתרונות. אגב לגבי חלוקת הנקודות, זה בסדר שתיהיה סטייה קטנ לגבי סעיף\שאלה, אבל לא סטייה של כמה עשרות נקודות. למשל מחר אני אעשה קורס אחר ייתנו 8 שאלות בתרגיל ואני לא אצליח שאלה מסויימת בגלל הקושי, ובודק\בודקת יוריד\תוריד לי 30 נק' זה הרי לא פורפורציונלי בכלל, וזאת הטענה שאני מנסה להסביר.
 
==קבוצת מנה==
לא הבנתי משהו, אז אתן דוגמה ואשאל עליה וזה יעזור לי להבין:
 
נניח ש-R הוא יחס מודולו 2 על N (כל המספרים <math>(a,b)\in NxN</math> כך ש-2 מחלק את a-b).
 
אז קבוצת המנה היא <math>\{1,2\}</math> או <math>\{[1]_R,[2]_R\}</math> ? כלומר, קבוצת המנה מוכלת בקבוצה <math>\{1,2,3\}</math> למשל?
 
תודה מראש!


==שאלה לסיום==
למדנו את הכלל-a כפול b= למקסימום של הערכים.
האם אפשר להסיק:
תהי k עוצמה. מכפלת k בעצמה שווה לk?
===תשובה===
===תשובה===
זה יהיה לא נכון לומר ש<math>\{[1]_R,[2]_R\}</math> מוכלת ב<math>\{1,2,3\}</math> משום ש<math>[1]_R =\{1,3,5,7,\dots\} \neq 1</math>. מחלקת שקילות של איבר איננה שווה לאיבר עצמו אלא לקבוצה כל האיברים השקולים לו. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:19, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
ראשית להבהיר, למדנו את המשפט הזה לגבי עוצמות אינסופיות, עבור סופיות כמובן שזה לא עובד.
 
ושנית המכפלה תהיה שווה ל-k רק אם העוצמה קטנה או שווה ל-k
:אגב, לשאלתך הראשונה, קבוצת המנה היא <math>\{[1]_R,[2]_R\}</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:30, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
::תודה!
 
==שאלה==
איך מחשבים כמה פונקציות חחעיות וכמה על יש מקבוצה סופית A לק' סופית B? למה? תודה


===תשובה===
==שיבוצי הכיתות==
חח"ע: כל איבר במקור חייב ללכת לאיבר אחר בטווח. נניח מספר האיברים בB הוא n ומספר האיברים בA הוא m. לכן לאיבר הראשון במקור יש n אפשרויות לתמונות. האיבר הבא במקור חייב להשלח למשהו שונה ולכן יש לו n-1 אפשרויות. ככה לm איברים וסה"כ נקבל <math>n(n-1)\cdots (n-(m-1))=\frac{n!}{(n-m)!}</math>


שימו לב שברור מתנאי השאלה ש<math>n\geq m</math> אחרת לא יכול להיות פונקציה חח"ע
בניין 605


==שאלה==
הקבוצה של אפי: <br>
צריך לעשות נוסחת נסיגה למספר תת הקבוצות של 1 עד N שמכילות 2 מספרים עוקבים. האם זה נכון להגיד שבגלל שמספר תת הקבוצות שלא מכילות שני מספרים עוקבים (כמו בשאלה שבאלגוריתם שפירסמתם) היא <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math> אז מספר תת הקבוצות שכן מכילות היא
חדר 101: מסטודנט אבני תומר עד מלמד שירן <br>
<math>f(n)=f(n)-(f(n-1)+f(n-2))</math>? זה נראה נכון, כי f(n) הוא המספר הכולל, פחות התת קבוצות שלא מכילות, אך גם משהו בזה נראה לא נכון, כי עם מצמצמים את הFN זה יוצא ש <math>f(n-1) = -f(n-2)</math>. יש פה טעות? תודה!
חדר 102: מסטודנט מרזוק חופית עד שרקנסקי אלה <br>


===תשובה===
הקבוצה של שי: <br>
אני לא כל כך מבין מה אתה מנסה לעשות. אם הגעת למסקנה שמשוואת ההפרשים היא <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math> אז מכיוון שהיא הומוגנית אתה צריך לעבור ישר למשוואה האופיינית <math>p(x)=x^2-x-1=0</math>, למצוא לה פיתרונות (כולל ריבוב, אע"פ שפה אין כאלו) <math>x_1,x_2</math>.
חדר 103: מסטודנט אבוטבול עומר עד כרמל רום <br>
לאחר-מכן, לכתוב <math>f(n)=a x_1^n+b x_2^n</math> ואחרי שמציבים את שני ערכי ההתחלה מקבלים את ערכי <math>a</math> ו<math>b</math> ובא לציון גואל. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:22, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
חדר 104: מסטודנט לביא גל עד שרעבי רועי
:מה? לא, לא הבנת אותי נכון. אני לא צריך לפתור את נוסחת הנסיגה. אני צריך למצוא נוסחת נסיגה חדשה, נוסחת נסיגה למספר תת הקבוצות ש-כן- מכילות שני מספרים עוקבים. אז אני שואל אם אפשר להשתמש בנוסחה לתת הקבוצות ש-לא- מכילות שני מספרים עוקבים, שאותה אני יודע, ע"י <math>f(n)=f(n)-[the-solution-to-the-other-question]</math> כלומר <math>f(n)=f(n)-f(n-1)-f(n-2)</math>. האם אפשר לעשות את זה? אם לא, יש דרך אחרת לפתור את השאלה בעזרת הפתרון לשאלה הקודמת בלי לפתור את השאלה הזאת מחדש אם נוסחת נסיגה בהתעלמות מהפתרון הקודם? תודה!


===תשובה2===
==חוקי עוצמות==
אתה לא יכול להשתמש בסימון <math>f(n)</math> לייצוג שני דברים שונים. אתה יכול לסמן כ<math>h(n)</math> את מספר תת-הקבוצות של 1 עד n (אתה יכול להסיק מיד ש<math>h(n)=2^n</math> ולסמן כ<math>g(n)</math> את מספר תת הקבוצות שמכילות שני מספרים עוקבים, ולהסיק ש<math>g(n)=h(n)-f(n)</math>. אם אתה מעוניין במשוואת הפרשים, אז אתה יכול להציב במשוואת ההפרשים של <math>f(n)</math> ולקבל <math>h(n)-g(n)=h(n-1)-g(n-1)+h(n-2)-g(n-2)</math>, לבודד את <math>g(n)</math> ולקבל כך משוואת הפרשים חדשה. אני מקווה שזה עונה יותר טוב על השאלה [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:15, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
אחד החוקים שכתוב לי במחברת הוא שעבור עוצמות a,b,d מתקיים: אם <math>a<b</math> אז <math>a^d<b^d</math>. השאלה היא מהן העוצמות a,b,d, האם זה גם עבור עוצמות סופיות?


==פתרון למבחן 2009 מועד ב' שאלה 7 א'==
השאלה היא בהמשך לדוגמה נגדית שמישהו נתן: <math>2<3</math> אבל 2 בחזקת א0 שווה 3 בחזקת א0.
הפתרון של נוסחת הנסיגה <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math> זה פתרון נכון? תודה!


===תשובה===
===תשובה===
איפה אתה רואה בשאלה רקורסיה או נוסחאת נסיגה?
כנראה זה קטן שווה, גם אם d=0 יש שוויון
:מישהו אמר שאסור לפתור את השאלה בעזרת נוסחת נסיגה? [התשובה הסופית שלי הייתה הפתרון לנוסחת הנסיגה ולא הנוסחה עצמה!]
:כן, כנראה. תודה. בכל מקרה, תשובה חד משמעית ממתרגל תעזור. אולי אפשר ממש להגיד מתי קורה השוויון, ואז להגביל a,b,d כך שהוא לא יקרה אף פעם?
::אני לא מתרגל, אבל לפי דעתי אם זה גדול ממש זה לא תורם יותר מדי, לעומת זאת אם זה גדול שווה זה מראה על קיום פונ' חחע מצד אחד ופונ' על מצד שני.


===תשובה2===
===תשובת מתרגל===
ראשית, נוסחת הנסיגה שלך לא נכונה.
אני כן מתרגל, והאמת היא שאם קבוצות מקיימות <math>|A| \leq |B|</math> אם ורק אם קיימת פונקצייה על מB ל A שזה קורה אם ורק אם יש פונקצייה חח"ע מA לB. המשמעות של <math>|A| < |B|</math> היא שקיימת פונקצייה על מB לA אך לא קיימת פונקצייה על מA לB, שזה קורה אם ורק אם קיימת פונקצייה חח"ע מA לB אך לא קיימת פונקצייה חח"ע מB לA.
שנית, אתה באמת לא נדרש לתת נוסחת נסיגה כי אם נוסחה ישירה.
בהצלחה במבחן היום! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:28, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
כעיקרון אם אתה עולה על נוסחת נסיגה נכונה אז אתה יכול לפי האלגוריתם המוכר לפתח נוסחה ישירה,
אך זה ארוך ומיותר.


הפיתרון הנכון באלה הזו הוא לשים לב לרמז: תחילה שמים את הכדורים הלבנים. אח"כ צריך לבחור m רווחים מתוך n+1 הרווחים שבין כל שני כדורים לבנים (כולל זה שלפני הכדור הראשון וזה שאחרי האחרון) ולשים בכל אחד מהרווחים הנבחרים כדור שחור אחד. התשובה היא אם כן m מתוך n+1.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 14:37, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
::תודה רבה, אבל למה נוסחת הנסיגה לא נכונה? הרי אם שמים כדור לבן בהתחלה, אחריו יש f(n-1) אפשרויות חוקיות, ואם שמים כדור שחור, אחריו חייב לבוא כדור לבן ולכן יש אחריו f(n-2) אפשרויות חוקיות, סה"כ <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math> לא?


:::למדנו איך עושים רקורסיה שתלוייה במשתנה אחד (n), אך בתרגיל זה יש לך 2 משתנים, n וm ולכן נוסחה של רקורסיה פשוטה שתלוייה רק בn אינה מתאימה פה (אני תלמיד לא מתרגל)
:טעות שלי, החוק באמת כתוב עם שווה גם במחברת.


===תשובה3===
==מתי המבחן?==
נוסחת הנסיגה איננה נכונה משום שאם שמים כדור שחור אז אחריו מגיע כדור לבן, אך מה שנשאר זה לא <math>f(n-2)</math>  אפשרויות חוקיות משום שאפשרות חוקית (במקרה שאתה מנסה להציג פה) כוללת m כדורים שחורים בעוד שהשתמשת כבר בכדור שחור אחד ונשארו לך רק m-1 להמשך. מי שענה לך צודק, שהיית יכול "לשפץ" את נוסחת הנסיגה שלך שתהייה תלויה בשני משתנים ולא אחד ואז אוליי היא הייתה יוצאת נכונה (אתה מאפשר חופש רק במספר הלבנים ולא בשחורים בנסיגה שלך), אולם אז היית מקבל נוסחה שמאוד קשה לפתח ממנה נוסחה מפורשת. עדיף שתשתמש בפיתרון שכתבתי לך למעלה;) [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:26, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
בשלוש וחצי או ארבע? האם התשובה היא ב100 אחוז? תודה!
:הבנתי את זה לבד, אבל ממש תודה רבה על כל העזרה!
: בארבע, זה הרי מה שנכתב כאן ובמערכת המידע האישי...
ואיפה?
:שוב, מערכת מידע אישי ולפי מספר קורס 88195 (ולאחר מכן 08 עבור אפי 11 עבור שי) תוכל לראות באיזה חדר אתה משובץ


==פתרונות למבחנים==
==שאלה 1, סעיף 4 בדף רקורסיה==
האם אפשר להעלות פתרונות לשאלות 2 ו3 במבחן של 2009 מועד ב'?
שלום רב,
 
ואולי גם את הפתרונות של שאר המבחנים שמצויים באתר?
 
תודה מראש


==שאלה 4 במבחן תשס"ח מועד ב==
אם מבקשים ממני את מספר תתי הקבוצות של <math>\{1,...,n\}</math> שבהן יש מספרים עוקבים (ביחס רקורסיה), האם מותר לי לפתור כך:
אפשר אולי רמז לשאלה?
<br> תודה


===פיתרון (סורי. רציתי לתת רמז אך אז יצאו לי רק שטויות)===
"
קח חלוקה של n תלמידים לקבוצות. קח את הקבוצה המכילה את התלמיד הn-י. אם היא בגודל שלוש ומעלה אז כשומרידים את n נשארים עם חלוקה חוקית של n-1 תלמידים. אם היא בגודל 2 אז היא מכילה עוד איבר אחד k בין 1 לn-1 ושאר החלוקה היא חלוקה חוקית של n-2 התלמידים בין 1 לn-1 לא כולל k. לכן <math>f(n)=f(n-1)+(n-1) f(n-2)</math> [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 14:59, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
עפ"י הסעיף הקודם (סעיף 3) קיבלנו שמספר האפשרויות לתתי הקבוצות של הקבוצה הנתונה בהן אין מספרים עוקבים בכלל הוא <math>f(n)=f(n-1)+f(n-2)</math>. מכיוון שלכל תת קבוצה יש שתי אפשרויות (שתכיל עוקבים או שלא תכיל עוקביים) ויש בסה"כ <math>2^n</math> תתי קבוצות אז נגדיר <math>g(n)</math> להיות מספר הקבוצות בהן יש מספרים עוקבים ולכן <math>g(n)=2^n-f(n)=2^n-f(n-1)-f(n-2)</math>?"
:תודה,נראה לי הבנתי את הרעיון,אבל אמרת אם היא בגודל 3, לא התכוונת לגודל 1 ואז פשוט מורידים את הקבוצה שכוללת את n בלבד?הרי חלוקה עם קבוצה בת 3 איברים איננה חלוקה חוקית.
::אם הבנתי את השאלה נכון (וייתכן שלא) אז חלוקה חוקית היא חלוקת התלמידים לקבוצות בנות 2 ומעלה תלמידים אז חלוקה שכוללת קבוצה בת תלמיד אחד היא איננה חוקית. ייתכן ואני זוכר לא נכון את השאלה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:33, 3 בספטמבר 2010 (IDT)


===פיתרון מתוקן===
אם לא, איך אני יכול לפתור? תודה, גל.
אני מצטער. זכרתי את השאלה לא נכון. מדובר בחלוקה באמת לקבוצות שגודלן לכל היותר שני תלמידים בכל אחת. במקרה כזה באמת בוחרים את קבוצתו של התלמיד הn-י. אם היא בגודל אחד אז בלעדיה נשארים עם חלוקה לקבוצות חוקית של קבוצה בת n-1 תלמידים, ואם היא בגודל 2 אז יש לו בן זוג לקבוצה, נסמנו k. מה שנשאר בלי הקבוצה הזו זו חלוקה חוקית של המספרים 1 עד n-1 להוציא k (קבוצה בת n-2 איברים). יכולים להיות n-1 בני-זוג פוטנציאליים שונים לn בקבוצה בת שני איברים שעבור כל אחד יש <math>f(n-2)</math> חלוקות אפשריות שונות, ולכן מקבלים בסופו של דבר את הנוסחה  <math>f(n)=f(n-1)+(n-1) f(n-2)</math>  שבאופן משונה זהה למה שיצא לי קודם אע"פ שזכרתי לא נכון את השאלה. מזל שהיינו צריכים לתת בשאלה הזו רק את התשובה הסופית. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:24, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
==תרגיל 2==
:תודה רבה!
איפה התשובות של שאלות 8,9? (http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf)


==עזרה/האם הפתרון שלי נכון במבחן 2009 ב' שאלה 6==
==אפשר עזרה בשאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'?==
אני יכול להגיד ככה? יהי a,b שייך לA, יש 2 אפשרויות, aRb או aR'b, יהי c שייך לA, אם bRc אז aRc, אם bR'c אז aR'c וכך הלאה, ולכן אם x "נמצא ביחס" R כלומר קיים y כך של yRc אזי aRc ולכן c שייך ל [a]R ולכן <math>A/R = {[a]_R}</math>? תודה!
אני כבר ממש מיואש, כל פונקציה שאני בונה יוצאת לא חחע ולא על! זאת שאלה ממש קשה, אבל גם ממש חשובה למבחן, אז אפשר, בבקשה, פתרון או הכוונה? תודה!
 
:למה הכוונה ב"אם bRc אז aRc, אם bR'c אז aR'c וכך הלאה"? זה לא היקש לוגי תקין ממה שטענת קודם " aRb או aR'b". אם אתה בוחר להמשיך את העובדה " aRb או aR'b" הלאה אז אתה צריך לטפל במקרה שaRb ובמקרה שaR'b בנפרד. מה שיפה הוא שאם קיימים שני איברים שונים כך שaRb אז גם bRa כי R יחס שקילות. לכן אם קיימים שני איברים שונים כך ש aR'b אז גם bR'a. אולם,מכיוון שהיחס המשלים הוא טרנזיטיבי, מקבלים שbR'b וזו סתירה לbRb (זכור שR יחס שקילות ולכן רפלקסיבי). לכן לא קיימים שני איברים שונים שעבורם aR'b ולכן היחס המשלים הוא ריק, כלומר R הוא היחס המלא על A ולכן קיימת רק מחלקת שקילות אחת והיא כל A.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 15:21, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
::גם אם הפתרון שלך נכון (אפילו שלא הבנתי אותו), גם הפתרון שלי יכול להיות נכון, זה לא בסדר סתם לסתור את מה שאני רשמתי. הרי כמו שרשמתי, אם bRC, מכיוון שaRb, אז aRc (טרנזטיביות...). אם bR'C ומכיוון שגם aR'b אז aR'c (שוב טרנזטיביות...). אתה יכול גם להסביר את הפתרון שלך? למה אם aR'b אז bR'a ? לא נתון שR' סימטרי! למה bR'b זו סתירה? למה אם R הוא היחס המלא אז A/R=1? תודה


===תשובה===
===תשובה===
אני מתנצל אם פגעתי בך. הפיתרון שלך לא נכון משום שנראה (לפחות ממה שאני מבין) שאתה משתמש בכך שהתנאים aRb וaR'b מתקיימים בו זמנית, שזה פשוט לא נכון, זו הנחת סתירה. אתה לא יכול לומר ש"אם bRC, מכיוון שaRb, אז aRc" משום שaRb הוא לא משפט בעל ערך אמת בהכרח, רק "aRb או aR'b" הוא משפט בעל ערך אמת.
בשאלה הזו לא מצפים ממך לבנות פונקציה כי אם להשתמש בחוקים אלמנטריים שאתה יודע בחשבון עוצמות.
 
ההוכחה שמצופה מכם היא כזו:
אנסה לתת את הפיתרון באופן מסודר:
 
1) נניח בשלילה כי קיימות לפחות שתי מחלקות שקילות.
 
2) עקב-כך קיימים שני איברים שונים, a וb, ממחלקות שקילות שונות.
 
3) מכיוון שהם ממחלקות שקילות שונות אז לaRb יש ערך שקר.
 
4) מכיוון שלaRb ערך שקר אז לaR'b יש ערך אמת.
 
5) מאידך, משום שR יחס שקילות אז R סימטרי, ולכן לו bRa היה אמת אז גם aRb היה אמת. אולם aRb הוא שקר ולכן bRa הוא שקר.
 
6) מכיוון שbRa הוא שקר אז bR'a הוא אמת.
 
7) כעת, מתקיימים bR'a וגם aR'b בעוד שהיחס המשלים הוא טרנזיטיבי, ולכן aR'a הוא אמת.
 
8) אולם לaRa יש ערך אמת משום שR יחס שקילות ולכן רפלקסיבי.
 
9) מכיוון שaRa הוא אמת אז aR'a הוא שקר, בסתירה לשלב 7.


10) מכיוון שקיבלנו סתירה מסתמן שההנחה שלנו לא יכולה להיות נכונה ולכן מספר מחלקות השקילות איננו יכול להיות 2 ומעלה ולכן הוא 1.
מצד אחד <math>2^\lambda>\lambda</math> ולכן <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math>.
מאידך, <math>2 \leq k \leq 2^\lambda</math> ולכן <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math> ולכן <math>k^\lambda=2^\lambda</math>.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:33, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:אני פשוט לא מאמין, סתם ישבתי לי ובניתי פונקציות..
:בכל מקרה, לא הבנתי אף אחד מהשלבים שעשית! קראתי שוב לאט, ובטוח גם אם הפתרון שלך נכון אז חסר בו פירוט הכרחי באיזשהו מקום- איך אתה יודע שK בחזקת גימל שווה ל2 בחזקת גימל?
::כי <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda</math>


מקווה שזה עוזר. אבל שמע, בכנות, אם אני (או כל איש סגל אחר) אומר לך שהפיתרון שלך איננו נכון זה לא משום שאני (או כל איש סגל אחר) רע. אם אני אומר לך שהפיתרון שלך איננו נכון אז הוא כנראה לא נכון, אלא אם אני הייתי באותו רגע תחת השפעת עייפות מצטברת או אלכוהול. אני ממליץ לך בחום לקבל הערות ולא להתגונן [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 22:54, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
:ממש לא נפגעתי, אם כבר להפך, סליחה על הטרחה ותודה על העזרה


==פרטים לגבי המבחן שנשלחו במייל==
::לימדו אתכם בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל <math>\lambda<k</math> מתקיים <math>k^\lambda=k</math>. גם לימדו אתכם בהרצאה שאם עוצמה k קטנה מקיימת <math>\gamma \leq k \leq \gamma</math> אז <math>k=\gamma</math>. אלו הם שני החוקים שהשתמשתי בהם בהוכחה הנ"ל. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:48, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:::לא!!! התכוונתי לאיך אתה יודע את כל אחד מ2 השלבים האלה! ברור לי שאם אתה יודע שאחד גדול מהשני והשני גדול מהראשון אז על פי קנטור ברנשטיין יש שוויון!!את התוצאה <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda</math> פשוט המצאת. כמו כן פשוט כתבת שאם<math>2^\lambda>\lambda</math> אז <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math> וש <math>2^\lambda>\lambda</math> אז <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math>בלי להסביר! מאיפה הבנת את הדברים האלה?? אתה יכול להסביר בבקשה למה K בחזקת גימל גדול מ2 בחזקת גימל ולמה להפך?? תודה


הבחינה בקורס "מתמטיקה בדידה" תתקיים ביום ראשון 5/9/2010, לכל הקבוצות.


חדרי הבחינה:
:::לימדו בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל <math>\lambda<k</math> מתקיים <math>k^\lambda=k</math>. במשפט הזה תחליף את k ב-<math>2^\lambda</math> (אינסופי כי <math>\lambda</math> אינסופית נתון). ידוע ש- <math>\lambda<2^\lambda</math> לפי קנטור. לכן לפי המשפט הזה, <math>(2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math>.


8819508 של ד"ר אפי כהן ב- 605/101, 605/102
:::חוץ מזה, ידוע שכאשר a,b,c עוצמות: אם a<b, אז <math>a^c<b^c</math> ולכן אם נתון <math>2 \leq k \leq 2^\lambda</math> אז <math>2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda</math> (העלינו הכל בחזקת <math>\lambda</math> והשיוויון ממה שהוכחנו קודם). זהו עכשיו לפי קנטור ברנשטיין מ.ש.ל. אגב אני לא מתרגלת אבל מקווה שעזרתי.
::::תודה על העזרה, אדם, אני ממש לא רוצה להעליב, אבל אי אפשר להבין כשישר כותבים תוצאה. אבל נראה לי שיש פה טעות, כי למשל למשפט אם a<b, אז <math>a^c<b^c</math> אני יכול לתת דוגמה נגדית. ודבר שני, אני ממש לא זוכר שלמדנו בהרצאה את מה שאת ואדם אמרתם שלמדנו. תודה


8819511 של ד"ר שי סרוסי ב- 605/103, 605/104
:::::איזו דוגמה נגדית? (שים לב ש-c זו עוצמה, לא משלים. הסימונים שהשתמשתי בהם הם לא משהו..) אם אתה עם אפי, אז החוק הזה כתוב לך בעמוד האחרון שלפני קומבינטוריקה (מצחיק, הרגע שמתי לב שכל התרגיל הזה הוא חוק מספר 8 שכתוב שם במדוייק).
:::::את מה שאדם כתב אין לי במחברת. בכלל, בקושי יש חוקים שלמדנו על עוצמות כלשהן (כשלא ידוע מהי העוצמה). אם הייתה רשימה של כל החוקים האלו זה היה כ-ל-כ-ך עוזר!
::::::למשל, 2 בחזקת א0 שווה ל3 בחזקת א0, לא?
:::::::וואלה, נראה לי שאתה צודק... אז אולי החוק הזה הוא אם a,b,c עוצמות אינסופיות? לא יודעת. יש איזה מתרגל שיכול לעזור פה?


בהצלחה.
===תשובת מתרגל (אע"פ שהתשובת המתרגל כבר רשומה למעלה)===
:אם אני בקבוצה של אפי, איך אני יודע אם אני ב101 או 102? או שזה לא משנה?
אני מתרגל, ואין לי מושג מי היה המתרגל או המרצה שלכם, חברה, אך נדמה לי שלא רשמתם במחברתכם את כל מה שנאמר בהרצאות או בתרגולים. אני נתתי את רשימת החוקים של חשבון עוצמות גם בתרגול שלי וגם בתרגול העזר של הקורס. שני החוקים שרשמתי למעלה (בפרט הראשון) הם נכונים ונוסחם הוא בדיוק מה שניסחתי לכם למעלה. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:31, 5 בספטמבר 2010 (IDT)
::לפי שמות משפחה, יתפרסם בהמשך דרך מערכת מידע אישי...


'''באיזו שעה המבחן?'''
==בעיות ענקיות עם הרכבת פונקציות... -עזרה בבקשה..-==
: 16:00
זהו המשך לשאלה ששאלתי קודם, [http://math-wiki.com/index.php/%D7%91%D7%93%D7%99%D7%93%D7%94_%D7%9C%D7%AA%D7%99%D7%9B%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%A1%D7%98%D7%99%D7%9D_%D7%AA%D7%A9%22%D7%A2_-_%D7%A9%D7%90%D7%9C%D7%95%D7%AA_%D7%95%D7%AA%D7%A9%D7%95%D7%91%D7%95%D7%AA#3_.D7.A9.D7.90.D7.9C.D7.95.D7.AA_.D7.A2.D7.9C_.D7.94.D7.A8.D7.9B.D7.91.D7.AA_.D7.A4.D7.95.D7.A0.D7.A7.D7.A6.D7.99.D7.95.D7.AA השאלה]. אני ממש, ממש תקוע, בסעיף א' כיוון שמאלה, ובסעיף ב' שני הכיוונים (אדם, כנראה שלא הבנתי את הפתרון שלך). למשל ב-ב', אם f חחע, אז לפי מה שהבנתי (וגם בדקתי את זה!) היא הפיכה '''משמאל''' ולא מימין. לכן קיימת פו' כך ש hf=id. אבל זה ממש בעייתי ולא עוזר לפתור את הבעיה, כי צריך להוכיח שלכל תמונה של פי, כלומר לכל gf, קיים מקור g, אבל איך אפשר להוכיח את זה, הרי גם אם נרכיב את ההופכי של f משמאל, יצא hgf, שזה לא נותן כלום! מה עושים? (אם אפשר תשובה מפורטת גם לזה וגם לסעיפים\כיוונים האחרים) תודה רבה!
 
==קצת סדר במושגים (חלוקה מחלקת שקילות וכו')==
אז ככה: נניח ש <math>A={1,2,3,4,5,6}</math>. חלוקה של A זה נגיד A1=1,2, A2=3,4,5, A3=6. קוראים לזה חלוקה, נכון?
ואז מחלקת שקילות זה אחד מהקבוצות Ai, נכון? כלומר A1, A2, A3 הן כולן מחלקות שקילות?
ואז איך קוראים לקבוצה <math>[a]R</math>? ואיך קוראים לקבוצה <math>A/R</math>? וגם מה הקבוצה האחרונה אומרת? תודה!


===תשובה===
===תשובה===
<math>A/R</math> היא קבוצת מחלקות השקילות. כך היא נקראת ופשוטה כמשמעה. במקר שלך, משום שחילקת כבר למחלקות שקילות אז אתה מקבל אוטומטית <math>A/R=\{A_1,A_2,A_3\}</math>.
אכן הייתה לי טעות בהקלדה אך כדאי שתקרא את התשובה שרשמתי למטה שוב.  
הקבוצה <math>[a]_R</math> הינה מחלקת השקילות של <math>a</math>. במקרה שלך, למשל, אם <math>a=5</math> אז <math>[a]_R=A_2</math>. אני מציע שתקראו שוב את החומר ביחסי שקילות. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:06, 3 בספטמבר 2010 (IDT)


==שאלה שאני לא בטוח שאתם יכולים לענות עליה, אבל שווה את הנסיון...==
עכשיו אולי אוסיף משהו שיסייע להבנה:
קודם כל, ידוע כבר מתי ואיפה יתקיים המבחן?
ודבר נוסף, מכיוון שיש ביום ראשון לימודים ולא הצלחתי לתפוס את (מלי?) המזכירה של הקורס, ידוע לכם על דרך שבה אני אוכל לקבל אישור יציאה מבית הספר ביום ראשון ובכלל? תודה רבה!
:המבחן בשעה 16:00. אם אתה רוצה תוכל להוציא אישור על שעת המבחן דרך האתר למידע האישי של האוניברסיטה או להביא את הדף מהחוברת שקיבלנו בכנס ביוני אשר מתייחס לתאריכי המבחנים. (אינני מתרגל)
::תודה רבה, אתה יכול להביא קישור או להסביר איך להגיע לאתר?
:::תכתוב בגוגל "מערכת מידע אישי בר אילן", תמצא את האתר המתאים, תלחץ על מידע לסטודנט, מידע כללי, מועד בחינה ומיקומה, קורס 88-195 כאשר שתי הספרות האחרונות הן 08 עבור אפי, 11 עבור שי.
::באתר כתוב שהבחינה בשלוש וחצי, זה השתנה ל4? תודה!


==שאלה לגבי המבחן ביום ראשון==
אם אתה רוצה להוכיח שפי היא על אתה צריך לקחת איבר בטווח ולהראות שיש לו מקור ,כלומר איזשהו g כך שgf שווה לאיבר בטווח שלקחת. אף אחד לא אומר לך שהאיבר בטווח הוא מן הצורה gf. זה מה שאתה צריך להוכיח!
מישהו יכול לרשום את המבנה של המבחן , שאלות פתוחות, נכון לא נכון, או אמריקאיות וכו"...
: יש מרצה או מתרגל שיכול לענות, זה ממש יכול לעזור, תודה


אתה צריל לקחת איבר כללי בטווח, אותו <math>\psi</math> ומראה שקיימת g כך ש<math>\psi=g \circ f</math>.
זה מה שעשיתי בוהכחה למטה. אני ממליץ לך לקרוא אותה שוב.[[מיוחד:תרומות/79.180.9.140|79.180.9.140]] 19:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:
:לא הבנתי את המשפט:"לכל פונקציה <math>\psi \in C^A</math> יש מקור <math>g=\psi \circ h \in C^B</math> לפי פונקציה <math>\Phi</math>, כי <math>\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi</math>", באמת שלא הבנתי למה G שווה לפסי הרכבה H ומה זה אומר "לפי פונקציה פי". אפשר הסבר קצת מפורט יותר? תודה!


==מועד א' 2009, שאלה 3.ב.==
::אתה צריך להראות שקיימת  g כך ש<math>\psi=g \circ f</math>. לא נתונה לך g שאתה צריך להוכיח שהיא <math>g=\psi \circ h \in C^B</math>. אתה יכול לבחור איזו g שאתה רוצה. אתה רק צריך להסביר למה אותה g שבחרת היא מקור לפסי. אני בחרתי את g להיות הפונקציה <math>\psi \circ h</math> והראיתי שהיא אכן מקור לפסי. מכיוון שפסי הוא שרירותי זה אומר שהראיתי שלכל פסי שרירותי קיים מקור, ולכן פי היא על. כדי להראות שקיים מקור לאיבר אתה צריך לציין את המקור הפוטנציאלי ולהראות שהוא אכן מקור. המקור הוא לא מ שנתון לך. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:42, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
התשובה הסופית המוצגת בפתרון השאלה היא סיגמא כלשהיא. האם ככה מותר לסיים את התרגיל או שתמיד צריך לכתוב את המספר לאחר חישוב הסיגמא?
:::'''אבל איך אתה יכול לדעת שg יכולה להיות מורכבת מפונקציה פסי ומהפונקציה h? ובאותה צורה, איך זה שאתה בוחר "פסי שרירותי" אם אתה קובע שהפסי הזה הוא הרכבה של g ושל f? אשמח לתשובה מפורטת ומובנת הפעם, שלא אצטרך לשבור את הראש כדי לנסות להבין אותה! תודה רבה!'''
'''בנוסף''', יש מצב שתעלו פתרונות (או לפחות תשובות סופיות) לשאלות לדוגמא בנוסחאות נסיגה?
:אם המרצה רוצה שתגיאו לביטוי נכון (בעזרת סכום פורמלי) שאם מחשבים אותו אז מגיעים לתשובה, אך הוא איננו במיוחד מעוניין ביכולת השימוש שלכם במחשבון, אז הוא יציין זאת במבחן, או בטופס המבחן או בעל-פה כשהוא יתייצב לענות על שאלות.


==אלגוריתם נוסחאות נסיגה==
::::g יכולה להיות פסי הרכבה h משום שהמקור של פסי צריך להיות פונקציה מB לC ופסי הרכבה h הינה פונקציה מB לC. אני אכן בחרתי פסי שרירותי לא קבעתי שהוא הרכבה של g על f. אני בחרתי פסי שרירותי הראיתי שניתן למצוא לו מקור. מהו אותו מקור? אותו מקור הוא פסי הרכבה h. לכל פונקציה פסי מA לB, התמונה של פסי הרכבה h היא פסי ותמונה של פי מכילה את כל הפונקציות מB לC, דהיינו פי היא על.
למה בסוף עמוד 2 אומרים ש-<math>n \not= 0</math>?
שמע, ידידי, אין לי מושג איך לסייע לך מעבר לכך. כל מה שאני יכול לומר זה שאני ממליץ לך להוכיח כתרגיל שהפונקציה <math>f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}</math>  שמקיימת לכל <math>x \in \mathbb{Z}</math>, <math>f(x)=x+1</math> היא על, ואז תראה שמבחינה אלגוריתמית אין הבדל בין ההוכחה הזו להוכחה שרשמתי לך למעלה. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:42, 5 בספטמבר 2010 (IDT)


תודה מראש.
==הפרכה בעזרת דוגמה==
בתרגיל 2 שאלה 5.ב, למה אי אפשר לתת דוגמה בשביל להפריך טרנזטיביות? הרי אם מראים שקיים B '''מסויים מאוד''' שעבורו אין טרנזטיביות, אז כבר R לא טרנזטיבי...לא?


===תשובה===
השאלה: http://www.math-wiki.com/images/8/87/10BdidaTargil2.pdf
אין חשיבות מיוחדת לזה. אתה יכול למחוק את זה בטיפקס. מה שחשוב זה שהביוטי <math>n a+b=0</math> נכון לכל <math>n \in \mathbb{N}</math>. אם תיקח כל שני מספרים שונים ותציב אז תקבל שתי משוואות שמהן תוכל להסיק בקלות ש<math>a=0</math> וגם ש<math>b=0</math>. זה העיקר.
:אז בעצם זהו סתם קיצור דרך. תודה! והכוונה היא ש-<math>n \in \mathbb{N}</math> כולל 0?
::זה תלוי בתנאי הרקורסיה. אם הוא מנוסח כ<math>f(n)=a_1 f(n-1)+\dots</math> אז מניחים ש<math>n>k</math> כש<math>k</math> זה מספר הערכים הראשונים הנתונים. אם תנאי הרקורסיה מנוסח <math>f(n+k)=\dots</math> אז מניחים פשוט ש<math>n</math> שלם אי-שלילי. העניין הוא פשוט שבנקודה הספציפית ששאלת עליה אין חשיבות לעניין האי-שוויון של <math>n</math> לאפס.


==ציוני התרגילים==
התשובה: http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf
שלום,אפשר לדעת מתי יועלו הציונים של התרגילים?


===תשובה===
===תשובה===
אין לי מושג מתי יועלו הציונים, אך התרגילים שלכם נמצאים בדוקים בחדר הצילום של המחלקה בתיקייה של בדידה.
כן. אפשר לעשות גם את זה. אני לא חושב שעבור B ספציפי להראות שאין טרנזיטיביות יותר קצר מלהראות פשוט שאין טרנזיטיביות. מספיקה העובד שB מכיל שני איברים שונים. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


==מבחן==
==שאלה 1ג מועד א 2008==
האם אתם יכולים לכוון על נושא מרכזי שיהיה במבחן, כמו שבאלגברה לינארית אמרו שתהיינה הרבה שאלות על העתקות לינאריות וכל הכלול בזה?
שלום רב,
האם ההוכחה שלי לשאלה 1ג נכונה?


וכמה זמן המבחן?
"
נניח בשלילה שהחיתוך המתבקש אינו שווה לקבוצה ובה הקבוצה הריקה, ולכן משום שהקבוצה הריקה היא איבר המשותף לכל קבוצות החזקה קיימת קבוצה <math>X\in P(A)</math> ושמקיימת גם <math>X\in P(B)</math> (נשים לב שקבוצה זו שונה מהקבוצה הריקה)....... בסוף נקבל ש- <math>X\subseteq A \bigcap B</math> ולכן החיתוך אינו קבוצה ריקה, וזו סתירה?"


תודה.
כמובן שעם פירוט של כל השלבים באמצע. תודה מראש, גל.


===תשובה===
===אישור===
בשונה מליניארית, אין בבדידה תחום מרכזי שסביבו ינועו השאלות. בבדידה למדנו קבוצות, יחסים, פונקציות, עוצמות, קומבינטוריקה ונוסחאות נסיגה ועל הכל תישאלו בבחינה.
תשובה נכונה בהחלט. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:52, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


==הלמה של צורן==
==שאלה==
את המשפט עצמו אני מבין פחות או יותר. אבל קשה לי להבין איך משתמשים בלמה של צורן ומתי יודעים שצריך להשתמש בה (ואני חושב שעוד הרבה תלמידים יסכימו איתי).
מהי עוצמת הקבוצה של קבוצות שאינן סופיות ואינן קו-סופיות (שהמשלים שלהן אינו סופי) מתוך הטבעיים? האם זה א כי קבוצה של קבוצות אינסופיות? או לא? תודה!
 
אפשר להעלות דף הסבר או דוגמאות לשימושים שלה?
 
תודה מראש.


===תשובה===
===תשובה===
בלמה של צורן משתמשים כשרוצים להוכיח כי קיים בקבוצה מסויימת איבר מקסמילי לפי יחס חלקי מסויים. ישנן דוגמאות לשאלות שעל מנת לפתור אותן יש להיעזר בלמה של צורן, בכל אחד מהמבחנים לדוגמא (בקטגוריית רלוונטיים) שמופיעים באתר. לחלקן יש אף פיתרון באתר. כעיקרון האלגוריתם הוא די פשוט וחוזר על עצמו משאלה לשאלה. אני ממליץ שתעברו על אחד מהפיתרונות של המבחנים לדוגמא בשאלה על למה של צורן ותראו איך האלגוריתם נראה.
התשובה היא <math>\aleph</math> אך לא כי "קבוצה של קבוצות אינסופיות".
הקבוצה <math>\{\mathbb{N},\mathbb{R}\}</math> היא קבוצה של קבוצות אינסופיות המכילה שני איברים בדיוק.
בלי קשר, כפי שלמדנו, המונח "אינסופי" הוא בעל משמעות מאוד רחבה בקורס הזה ולא ניתן להיעזר במונח הזה כדי לטעון אמיתות של תשובה מדוייקת כמו <math>\aleph</math> .


==[[מדיה:10BdidaTargil5Sol.pdf|פתרון תרגיל 5]]==
העוצמה של הסופיות היא <math>\aleph_0</math> וזו גם העוצמה של הקוסופיות.
בפתרון תרגיל 5 לא מופיע פתרון שאלה 7, ובמקומו יש פתרון לשאלות 7,8,9 אחרות (שלא מופיעות בתרגיל עצמו).
העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים היא <math>\aleph</math>.
אחד מן החוקים שלימדנו אתכם לגבי חשבון עוצמות הוא שכשלוקחים קבוצה אינסופית ומפחיתים ממנה תת-קבוצה בעוצמה קטנה ממש ממנה אז העוצמה לא קטנה, ולכן אחרי שמפחיתים את תת-הקבוצות הסופיות ותת הקבוצות הקוסופיות מכלל תת-הקבוצות של הטבעיים נשארים עם קבוצה שעוצמתה <math>\aleph</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:45, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


===תשובה===
:למה העוצמה של הסופיות היא <math>\aleph_0</math> וזו גם העוצמה של הקוסופיות?
צודק. פאדיחות...
::אהה. הנחתי שאת זה עברנו אם הגענו כבר לשאלה מה הגודל של ההפחתה. OK, אז ככה:
בכל-אופן הפיתרון של שאלה 7 הוא כדלקמן (לפחות אלגוריתמית):


1) יש להגדיר קבוצה <math>T=\{A \subseteq E : \forall_{a,b \in A} a \cap b=\emptyset\}</math>.
הגודל של תת-הקבוצות בגודל k (סופי) הוא לפחות <math>\aleph_0</math> מצד אחד, ומאידך הוא אינו עולה על <math>\aleph_0^k</math>, ומכיוון שלk סופי מקבלים שמספר תת הקבוצות בגודל k הוא <math>\aleph_0</math>.
כעת, קבוצת התת-קבוצות הסופיות היא איחוד זר של קבוצת תת הקבוצות מגודל אחד עם תת הקבוצות מגודל 2 וכו'. דהיינו, הגודל של קבוצת תת הקבוצות הסופיות הוא <math>\aleph_0 \cdot \aleph_0</math>, שזה בעצם (לפי מה שלמדנו) <math>\aleph_0</math>.


2) להוכיח בעזרת הלמה של צורן שיש ב<math>T</math> איבר מקסימלי.
יש התאמה חח"ע ועל בין הקבוצות הקוסופיות לקבוצות הסופיות ע"י שליחת קבוצה למשלימה, ולכן עוצמת תת הקבוצות הקו-סופיות גם היא <math>\aleph_0</math>.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:04, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


3) להראות כי האיבר המקסימלי מקיים את התנאי השני בשאלה (לדעתי זה נוח להשתמש בהנחה בשלילה)
:תודה רבה!!


==עזרה במבחן השני (2009 מועד ב') תרגיל 3 (אין לו פתרון)==
==פרטים בקשר למבחן==
התחלתי לפתור בדרך הבאה: מספר הדרכים לשים 20 כדורים ב5 תאים הוא כמו מספר הפתרונות האי שליליים לx1+x2+x3+x4+x5=20 ולכן מספר האפשרויות הכולל הוא 5-1 מתוך 20+5-1 כלומר 4 מתוך 24 (אני לא יודע איך לעשות את הסימן של ה4 מתחת ל24). כעת Ai= התא הi הוא עם 3 כדורים. מספר האפשרויות בשביל Ai הוא 3 מתוך 20 (נכון?). חיתוך של 2 Aים הוא (נראה לי), 6 מתוך 20 כפול 3 מתוך 6 (כי בוחרים 6 כדורים מתוך ה20, בוחרים 3 מתוכם, שמים אותם באחד התאים ואת השאר בתא השני). וככה הלאה עד חיתוך של 5 Aים. הבעיה היא, שכבר בחיתוך של 2 Aים, מספר האפשרויות יוצא הרבה הרבה יותר ממספר האפשרויות הכולל! (700 אלף לעומת 10000 בערך), שזה לא הגיוני! אפשר עזרה? תודה! 
בחלק מהמקומות כתוב שהמבחן ב4 ובחלק 3 וחצי, אפשר שעה (וגם מיקום, אם אפשר) סופיים? תודה!
==הרכבה ריקה==
אם <math>S=\{(a,b)\}</math> ו-<math>R=\{(b,c)\}</math> אז S הרכבה R זו קבוצה ריקה, או "לא קיים"?


===תשובה===
===תשובה===
אתה מחשב לא נכון את החיתוך של Ai עם Aj. הגודל של החיתוך הוא 2 מתוך 16 (שמים 3 בi ו3 בj ואז מחלקים 14 ל3 תאים). חיתוך של כל שלוש קבוצות כנ"ל הוא מגודל 1 מתוך 12 וחיתוך של ארבע הוא מגודל 0 מתוך 8. אין חיתוך של חמש. בעזרת הכלה-הדחה מגיעים לפיתרון מדוייק. אני ממליץ שתנסה לפתור שוב את השאלה.
"לא קיים" זה מונח בעייתי.
:ממש לא הבנתי למה חיתוך של 2 קבוצות הוא 2 מתוך 16, אפשר הסבר? תודה!
מונח יותר נכון הוא "לא מוגדר".
 
בהינתן יחסים R בין A לB וS בין C לD, ההרכבה <math>S \circ R</math> מוגדרת אם B=C. (כמו בפונקציות)
::מה המשמעות של חיתוך של <math>A_i</math> עם <math>A_j</math>? החיתוך הוא כל הפתרונות האי-שליליים של <math>x_1+\dots+x_5=20</math> כאשר <math>x_i=x_j=3</math>. לכל פיתרון כזה מתאים באופן חח"ע ועל פיתרון למערכת <math>y_1+y_2+y_3=14</math> (מפחיתים את <math>x_i+x_j=6</math> משני האגפים בהתאמה). לכן הגודל של <math>A_i \bigcap A_j</math> הוא 2 מתוך 16. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:33, 2 בספטמבר 2010 (IDT)
במקרה שהצגת למעלה אני מניח שהתכוונת שS וR הם יחסים על A כלשהי שמכילה את a, b וc,
:::לא חשבתי על זה ככה, תודה!
ואז התשובה היא באמת קבוצה ריקה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
 
==תרגולים 4-5==
מתי יעלו הציונים של תרגולים אלו? תודה מראש.
 
==מבחן מועד ב' 2009==
אפשר בבקשה את הפתרונות הסופיים של תרגילים 2 ו-3 כי הם לא נמצאים בדף הפתרונות... תודה ;)
 
==רקורסיה==
אתם יכולים להעלות את האלגוריתם? זה ממש יעזור, ואם אפשר תוסיפו קצת הסברים ודוגמאות, הנושא קצת לא מובן, תודה!
:מצטרף לבקשה!
::עכשיו יש[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:07, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
:::תודה אדם


==מבחן 1 שאלה 4 ב'==
::תודה. אני התכוונתי ש-S יחס מ-A ל-B ו-R יחס מ-B ל-C, אם כך התשובה פה היא לא מוגדר, אם הבנתי נכון.
הסתכלתי בפתרון, מה זה לפי ק.ש.ב? תודה!
::: הבנת נכון.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
: משפט קנטור שרדר ברנשטיין


==נוסחאות נסיגה==
==סריג==
כשיש נוסחת נסיגה (למשל כמו בתרגילים לדוגמה של נוסחאות נסיגה, תרגיל I, שאלה 1 א', אז f(0) שווה 0 או 1? צריך בכלל לשים את f(0) או שמתחילים מf(1)? תודה!
אפשר בבקשה דוגמה לסריג?


===תשובה===
===תשובה===
המילה הריקה מקיימת את התנאי באופן ריק, משום שאינה מכילה אפסים כלל, ולכן <math>f(0)=1</math>. בקשר לאיזה אינדקס פותח את הסידרה, זה תלוי באסכולה. אצלנו הגדרנו לכם שזה מתחיל מ0 ולא מ1. (זה מתקשר בעקיפין לדיון האם 0 הוא טבעי). [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:09, 1 בספטמבר 2010 (IDT)
<math>\{a,b,c,d \}</math> עם היחס סדר חלקי "<" כדלקמן : a>b,a>c,b>d,c>d.  
:תודה!


==שיעור חזרה==
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:31, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
מתי ואיפה יהיה שיעור החזרה מחרתיים? תודה רבה.
:הפרטים כעת מופיעים. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 16:10, 1 בספטמבר 2010 (IDT)


אני לא מוצא איפה כתוב מתי ואיפה השיעור חזרה, אתם יכולים לפרט איפה ומתי הוא יתקיים?
:לפי ההגדרה, לכל שני איברים צריך להיות סופרימום ואינפימום. אתה יכול בבקשה לכתוב מהם לכל שני איברים?


:פרטים מופיעים בעמוד הראשי.
::אם תיקח שני איברים שאחד גדול מהשני תקבל שהסופרימום הוא הגדול בין השנים והאינפימום הוא הקטן בין השניים. הקושיה היחידה שנותרה היא מה קורה בין c לb ובמקרה זה האינפימום הוא d והסופרימום הוא a. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


==פתרונות==
:::אה, נראה לי שהבנתי. תודה. אבל "<" הוא לא יחס סדר חלקי, לא? (למשל אין רפלקסיביות)
תעלו בבקשה את הפתרונות של תרגילים 4 ו5.


==n קטן מדי==
::::"<" מעל המספרים הטבעיים הוא יחס סדר מלא (ולכן גם יחס סדר חלקי). פה הוא רק סימון. במקומו יכולתי לרשום R או כל דבר אחר. סתם נוח לי לרשום "<" כי אז ברור מה "כיוון" הסדר (כדי למנוע בלבול מקסימלי-מינימלי).[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:36, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
חלק מהשאלות דורשות שמספר הטלות הקוביה/העוצמה של קבוצה/... יהיה גדול ממספר כלשהו כדי שמספר האפשרויות המבוקש יהיה גדול מ-0. למשל, ב-3ב' n צריך להיות לפחות 3.


אם התשובה הסופית מתאפסת במקרה ש-n קטן מדי, צריך לציין בסיפור של ההוכחה (אם השתמשנו בכזה) שאנחנו מניחים ש-n גדול מספיק, ולהסביר למה התשובה נכונה גם אם לא?
:::::אבל איך? הרי אין רפלקסיביות...


===תשובה לשאלות על התשובה===
נו! כשכתבתי ">" יחס סדר חלקי התכוונתי שהוא מקיים רפלקסיביות+ את היחסים שרשמתי+את היחסים שמקבלים מתוך היחסים שרשמתי בהינתן הטרנזיטיביות של היחס.
אם אתה רוצה שארשום את כל הזוגות בצורה מפורטת אז הנה:
<math>R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,a),(c,a),(d,a),(d,c),(d,b)\}</math>.
מקווה  שזה יסייע להבנה.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 19:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


'''תשובה'''
:וואו, זה מבלבל. תודה וסליחה על ההטרחה.


במקרה של 3ב' זה מספיק טריוויאלי ואין צורך להסביר. אפשר לציין שהתשובה נכונה עבור n גדול או שווה ל- 3.
==שאלה על אחת השאלות פה==
מה זה: "מספר ה'''יחסים''' על קבוצה בעלת n איברים"? מה הכוונה?
:מספר היחסים מA לA (למשל "קטן מ" בקבוצה של מספרים)
::תודה. הכוונה לכל יחס אפשרי? אז יש אינסוף! למשל: קטן, גדול, מקיים <math>a-b \in Z</math>, מקיים <math>a^2=b</math> ועוד ועוד ועוד... נראה לי שלא הבנתי.
::ולמה זה הגודל של <math>P(A \times A)</math>?


במקרים שהמגבלות על n לא נובעים ישירות מניסוח השאלה, צריך להסביר.
:::העובדה שרשמת שלוש נקודות לא את הופכת הרשימה לאינסופית. יחס, כפי שלמדתם, הוא תת קבוצה של <math>A\times A</math>. הרי בין כל זוג סדור של איברים מהקבוצה יכול להתקיים היחס או לא להתקיים. היחס הוא הקבוצה של כל הזוגות הסדורים בינהם מתקיים היחס. בפרט, כל קבוצה המוכלת ב<math>A\times A</math> מהווה יחס אחד. אוסף כל היחסים הינו אוסף כל תתי הקבוצות הנ"ל וזה בדיוק <math>P(A\times A)</math>. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:15, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
::::אההה.. הבנתי. תודה! (ומה שאני רשמתי הוא אמנם אינסופי, כי למשל <math>a^n=b</math> לכל <math>n \in N</math> הוא יחס נפרד, אבל יש שם יחסים שקולים כי הקבוצה סופית).
:::::בדיוק, ומעל קבוצה אינסופית כמו השלמים בהחלט יש אינסוף יחסים. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 15:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


==שאלה בנוגע להגשת התרגיל==
==שאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'==
האם כמו בלינארית גם כאן הציון של התרגילים יקבע לפי ה4 הכי טובים ?  
אני לא מאמין, כתבתי עכשיו עשרות שורות של הפתרון שלי כדי לשאול אם הוא נכון, אבל זה נמחק לי =[. אז פשוט אשאל, אם אפשר, בבקשה, פתרון נכון לשאלה 3 סעיף ב', איזה פונקציה חח"ע ועל אפשר לעשות? זו שאלה קשה אז אני בטוח שיש עוד הרבה שירצו גם פתרון. תודה!!
בדף הקורס של לינארית כתוב שבכלל לא חייבים להגיש את תרגיל 5.
:אני גם בדיוק עושה אותה אבל יש לי דרך תיאורטית שאני לא בטוח שהיא נכונה. הרי יודעים שK בין 2 ל2 בחזקת ג, אם מראים שבשני מקרי הקצה של K הוא שווה ל2 בחזקת ג זה לא מספיק כדי להוכיח שוויון תמידי? זה קצת מוזר שלסעיף הזהיש 5 נקודות ולסעיף הראשון יש 10, הוא הרבה יותר קל
האם זה נכון גם לגבי בדידה?
::מצטערת בשבילך שהכל נמחק, בפעם הבאה אחרי כל כמה שורות תעתיק את כל מה שכתבת ואז תוכל להדביק במקרה הצורך.
:אני לא מתרגלת, אבל רק שתדע שבלינארית לא חייבים להגיש את תרגיל 5 בדיוק כמו שלא חייבים להגיש את 4, 3, 2, או 1. פשוט סופרים רק את ארבעת הציונים הגבוהים מבין החמישה.
==שאלה 2 מועד ב' 2008==
יש לי פתרון אבל אשמח מאם מישהו (עדיף מתרגל) ייתן את הפתרון כדי שאני אהיה בטוח, אני אנסה לכתוב את הפתרון שלי כאן: <math>(-1)^n*{1519-101n \choose 20}</math><math>{1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}</math>
שיאללה אני לא מאמין שהצלחתי לכתוב את זה
:אני לא מתרגל, יצא לי דומה לשלך רק שהכנסתי את הגורם הראשון לתוך הסכום, וגם נראה לי שצריך להוסיף כמה פעמים כל חיתוך של קבוצות מופיע, למשל יש 2 מתוך 20 פעמים חיתוך 2 Ai ים (אם עשית את זה בעיקרון הכלה והדחה וצריך לצאת בערך כמו שלך רק עם i מתוך 20 בתוך הסכום
::כן כן שמתי לב לזה עכשיו, כתבתי את החלק של הכמה יש מתוך בדף אבל התלהבתי כל כך שהצלחתי לכתוב את זה באתר ששכחתי להוסיף, התוצאה שלי היא כזאת:
<math>((-1)^n*{1519-101n \choose 20}*{20 \choose n})</math><math>{1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14}</math>
האמת שעכשיו אני לא בטוח אם זה צריך להיות <math>{1519-101n \choose 20}</math> או <math>{1519-101n \choose 20-n}</math>


==איך להוכיח (2008 מועד ב' שאלה 1 א')==
האם אפשר להוכיח ככה, או שיש דרך אחרת?
נניח <math>f(x1,u1)=f(x2,u2)</math> וכן <math>f(x1,u1)={v1 (muchal-be) u1 | x1 (shayach-le) v1}, f(x2,u2)=cmo-x1,u1</math> ולכן לכל V1, V2 שמוכלים בU1, U2 מתקיים V1=V2 ולכן U1=U2 וגם x1=x2? משהו לא נכון בהוכחה הזאת נכון? אז איך מוכיחים? תודה!


'''תשובה'''
===תשובה+הערות כתיבה===


יש חובת הגשה של ארבעה תרגילים מתוך חמישה.
1)אם רוצים לרשום לכתוב "}" אז כותבים }\ ואם רוצים לכתוב "{" אז כותבים {\.
אם הוגשו 5 תרגילים, ניקח את ארבעת הציונים הטובים.
(גרישה אושרוביץ')


==שאלה 7==
2) "מוכל ב" כותבים (כשצד שמאל מוכל בצד ימין) subseteq\ וכשצד ימין מוכל בצד שמאל supseteq\. מוכל ממש זה אותה פקודה רק בלי הeq.
האם e היא קבוצה סדורה חלקית?


3) "שייך" ל רושמים (כשצד שמאל שייך לצד ימין) כin\ וכשצד ימין שייך לשמאל רושמים ni\.


'''תשובה'''
עכשיו לגבי התשובה:


רק אם תגדיר עליה את יחס סדר חלקי.
התשובה שלך איננה נכונה משום שאתה מנסה להוכיח טענה שהיא שקרית, דהיינו ניתן לתת לה דוגמאות נגדיות. A כוללת לפחות שני איברים שונים, נסמנם x1 וx2. כעת <math>f(x_1,\{x_2\})=\emptyset=f(x_2,\{x_1\})</math>, משמע f לא חח"ע.
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:54, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


==תרגיל נוסף מהתירגול==
==שאלות 2א+ב מועד ב 2009==
בתירגול פתרנו תרגיל כזה: בקורס יש 2n סטודנטים. רוצים לחלק אותם לזוגות. כמה זוגות יתכנו?
שלום רב,
כיצד עליי לנמק בפתרון השאלה 2א? התחלתי את הפתרון כך:


פתרון: נסדר אותם בשורה - סה"כ  <math>(2n)!</math> תמורות. צריך לבטל שני מקרים:
"ישנם <math>n</math> מספרים בקבוצה ולכן סך כל האפשרויות לתמורות שונות הוא <math>n!</math>. כמו כן קיבלנו שתי אפשרויות:


# אין סדר בין הזוגות - <math>n!</math> אפשרויות.
1. <math>n</math> לפני <math>n-1</math>
# אין סדר בתוך הזוגות - <math>(2!)^n</math> אפשרויות. '''למה??'''


תשובה סופית: <math>(2n)!\over n!(2!)^n</math>
2. <math>n</math> אחרי <math>n-1</math>"


'''ואני לא הבנתי למה צריך לחלק באפשרויות שצריך לבטל, ולא פשוט להפחית אותן? כלומר שהתשובה תהיה זו: <math>(2n)!-n!-(2!)^n</math>. הרי אם יש מספר אפשרויות, וצריך לבטל חלק, אז אינטואיטיבית אמורים להפחית!'''
השאלה שלי היא איך אני מנמק לאחר מכן שקיימות <math>0.5n!</math> תמורות כנדרש:


תודה מראש, ואשמח להסבר כללי לגבי עניין החילוק באפשרויות שרוצים לבטל, לא רק לגבי התרגיל הזה.
1. "...לכן לכל תמורה שתי אפשרויות ולכן בסה"כ יש <math>0.5n!</math> תמורות שעונות לתנאי זה".


2. "כעת נגדיר <math>A</math> קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 1, <math>B</math> קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 2. כמו כן נגדיר פונקציה <math>f:A->B</math> ע"י לכל <math>x</math> ב-<math>A</math> יתקיים ש<math>f(x)=y</math>כאשר <math>y</math> היא התמורה בה איברי <math>x</math> מופיעים בסדר הפוך (כלומר התמורה <math>1,2</math> תהפוך ל-<math>2,1</math>). פונקציה זו חח"ע ועל ולכן <math>|A|=|B|</math> ומכיוון שהחיתוך ביניהם זר הרי שאפשר לומר ש-<math>|A|+|B|=2|A|=|C|</math> (כאשר <math>C</math> היא קבוצת כל התמורות). נציב <math>|C|=n!</math> ונקבל את העוצמה הדרושה של <math>A</math>...".


=============================================================================
הבעיה היא שדרך 1 נקראית לי לא מפורטת מספיק ודרך 2 היא די ארוכה. בסעיף א זה עוד נסבל אבל בסעיף ב זה בכלל נורא כי כבר קיימות 6 אפשרויות (ואז עליי לבנות 6 פונקציות) אז איך עליי לנמק את מה שאמרתי?
'''תשובה'''
תודה מראש, גל.


===תשובה===
אני לא מתרגל אך יש לי את הפתרון שאדם כתב באחד התרגולים שלו. כמו שאמרת, יש סך הכל <math>n!</math> אפשרויות לסדר את המספרים. ניתן לחלק מספר זה של אפשרויות ל2 חלקים: חלק ראשון הוא האפשרויות ש<math>n-1</math> מופיע לפני <math>n</math> והחלק השני הוא ההפוך- <math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, ניתן לראות כי 2 חלקים אלה הם שווים, נניח אתה בודק את מספר האפשרויות בהן <math>n-1</math> מופיע לפני <math>n</math>, אז מספר האפשרויות ההפוך הוא אותו מספר כיוון שהפעם החלפת בכל אפשרות בין <math>n</math> ל<math>n-1</math>, ולכן התוצאה היא <math>0.5n!</math>. בסעיף ב' אתה משתמש בתוצאה של סעיף א' ואתה יודע שהיא מתחלקת ל-3 אפשרויות ובאותו אופן כמו בסעיף א' גם 3 אפשרויות אלה הן שוות ולכן בסך הכל התוצאה היא <math>1/6n!</math>. אני שוב אומר שאני לא מתרגל אבל זאת הדרך בה אדם פתר את התרגיל הזה


מפחיתים מ'''מספר האפשרויות''' את '''מספר האפשרויות'''. במקרה הזה, <math>(2!)^n</math> וגם <math>n!</math> הם לא מספר האפשרויות אלה מספר הפעמים שספרנו אותן אפשרויות. כלומר, ב- <math>(2n)!</math> הסידורים ספרנו <math>n!</math> פעמים את אותן זוגות בדיוק. לדוגמא: נניח כי יש 4 אנשים {a,b,c,d}, אזי הסידורים abcd ו- cdab זהים, כי בחרנו אותן זוגות. יתרה מכך, גם הסידורים bacd, badc, cdba, dcab זהים. זה אומר שצריך לבטל את הסדר של אנשים בתוך הזוגות שנבחרו. מקווה שעזרתי. באופן כללי, אני מציע להשתמש יותר בשעות הקבלה של המתרגלים.
===הערונת===
אתה מתכוון ל6 אפשרויות ולא שלוש (כל אפשרות שקולה לתמורה על שלושה איברים ומסםר התמורות על 3 איברים הוא 6), ולכן התוצאה שרשמת שהיא שישית ממספר התמורות על n איברים היא נכונה. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 18:09, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


:אם כך, '''מחלקים''' מספר אפשרויות במספר הפעמים שספרנו אותן. '''מפחיתים''' מספר אפשרויות ממספר אפשרויות אחר. תודה רבה, הבנתי!
===תשובה להערונת===
:מה עם השאלה הראשונה? (לגבי ביטול מספר 2, כשאין סדר בתוך הזוגות)
התכוונתי שיש 3 אפשרויות כאשר יודעים כבר ש<math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, 3 אפשרויות אלה הן כאשר <math>n-2</math> מופיע לפני שניהם, בניהם או אחרי שניהם (זה המספר שמחפשים), ובאותו אופן כמו בסעיף הקודם, גם פה 3 האפשרויות האלה שוות, ולכן כל אחת מהן שווה ל<math>1/6n!</math> וסכומן שווה ל<math>0.5n!</math> :) אבל תאכלס אפשר לעשות את זה שוב מההתחלה כשלא מתייחסים לסעיף א' ויש <math>n!</math> אפשרויות סך הכל ואז מחלקים את זה ל!3 אפשרויות שוות, כלומר 6.
:סבבה, זו גם דרך. רק עשה לי טובה, במקרים כאלה במבחן, אם אתה מניח הנחות יסוד כאלו, כמו שאתה מדבר על "אפשרויות כאשר יודעים כבר ש<math>n</math> מופיע לפני <math>n-1</math>, 3", אז רשום זאת! אל תיתן לבודק לנחש את זה, כי זה עלול להוריד נקודות. מספיק שרשמת את שתי המילים האלו וזה כבר ניקוד מלא. בהצלחה במבחן! [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 12:48, 5 בספטמבר 2010 (IDT)


:... גם הסידורים bacd, badc, cdba, dcab זהים. זה אומר שצריך לבטל את הסדר של אנשים בתוך הזוגות שנבחרו...
==שאלה קצרצרה נוספת==
לא חשוב איך מסודרים האנשים בתוך הזוג שנבחר. לא חשוב אם לסדר אותם ab או ba - זה יישאר אותו זוג, אך ב- <math>(2n)!</math> ספרנו את כל האפשרויות.
מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים, זה בעצם מספר הפונקציות מA לA, כלומר n בחזקת n? או משהו אחר? תודה!


==============================================================================
===תשובה===
מספר היחסים על קבוצה A בת n איברים היא הגודל של <math>P(A \times A)</math>, שהיינו <math>2^{n^2}</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


:הייתה פה תשובה לשאלה שלי ומשום מה היא נמחקה! אז לגביה, לא הבנתי למה בכלל משתמשים בנוסחה של <math>n \choose k</math>.
==שאלה קצרה מאוד על עוצמות==
::כי את בוחרת אנשים זוגות מתוך 2 אנשים, (יש רק אפשרות אחת כזו). בפעם הראשונה התבלבלתי בסימון, זה היה צריך להיות <math>P(n,k)</math> ולא <math>C(n,k)</math>. מחקתי כי הניסוח לא היה מפורט ומדויק.
קבוצת כל הפונקציות מהטבעיים לקבוצת תת הקבוצות של הטבעיים, מהי עוצמתה? לפי החישוב שלי, הקבוצה שווה לP)N( בחזקת N, כלומר העוצמה שווה ל-א בחזקת א0. אך מהי העוצמה א בחזקת א0? א? או יותר, 2 בחזקת א? איך אפשר לדעת את זה? תודה רבה!


:::תודה על התשובה המהירה. לא הבנתי מה זה "בוחרת אנשים זוגות", למה מתוך 2 אנשים, ומה ההבדל בין <math>P(n,k)</math> ל- <math>C(n,k)</math>.
===תשובה===
::::התכוונתי "זוגות אנשים" ולא "אנשים זוגות", מתוך 2 כי בכל זוג יש 2 אנשים, וההבדל בין <math>P(n,k)</math> ל- <math>C(n,k)</math> הוא ש-<math>P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!},\ C(n,k)={n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}</math>.
ישנן כמה נוסחאות לגבי עוצמות אינסופיות שצריך לדעת. אחת מהן היא שאם <math>k</math> אינסופית ו<math>\lambda<k</math> אזי <math>k^\lambda=k</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:29, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:::::הבנתי את ההבדל בין C ל-P. אבל מהן התשובות לשאלות שלי? (כמו שאמרת, הניסוח קודם לא היה ממש מובן..). ושוב תודה רבה!


==צריך לפרט?==
==3 שאלות על הרכבת פונקציות==
צריך לפרט למה:
-אם <math>g*f=Id</math> אז <math>g(f(x))=x</math> או ש <math>f(g(x))=x</math>? כי ניתקלתי בבעיה שקשורה לזה (השאלה השניה).
# <math>\forall k,n\in\mathbb N\cup\{0\}\ \and\ 0\le k\le n:\ {n\choose k}\in\mathbb N\setminus\{0\}</math>?
-אפשר להגיד ש אם F חחע אז F הפיכה משמאל ואם F על אז היא הפיכה מימין, נכון?
# מספר המספרים מ-1 עד n שמחלקים את <math>2^k</math> ללא שארית אבל לא את <math>2^{k+1}</math> הוא <math>\left\lfloor\frac n{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac n{2^{k+1}}\right\rfloor</math>?
-איך מוכיחים את מה שצריך להוכיח בשאלה 2 במבחן 2007 מועד א' (http://math-wiki.com/images/4/4f/BdidaExamMoedA2007.pdf) ?
# מספר המספרים מ-r עד n שמחלקים את <math>2^k</math> ללא שארית הוא <math>\left\lfloor\frac n{2^k}\right\rfloor-\left\lfloor\frac{r-1}{2^k}\right\rfloor</math>?
:ב-א', הוכחתי את הכיוון משמאל לימין, ע"י כך שאם g1*f=g2*f אז בגלל ש'''f הפיכה מימין''' אז נרכיב את f-1 מימין ואז g1=g2. בכיוון השני נתקעתי.
# החזקה השלמה הגדולה ביותר של 2 שנמצאת בין 1 ל-n (למשל, עבור n=10 חזקה זו היא <math>2^3=8</math>, עבור n=16 - <math>2^4=16</math> וכו') היא <math>2^{\lfloor\log_2(n)\rfloor}</math>?
:ב-ב', לא הצלחתי בכלל. התחלתי ככה: צריך להוכיח שf חחע, כלומר או שנוכיח שאם f(a1)=f(a2) אז a1=a2 או שנוכיח שהיא הפיכה משמאל (לא בטוח מה עדיף). הפונקציה הזאת שמסומנת בסימון של קבוצה ריקה היא על ולכן והפיכה מימין, ולכן O*h=Id ולכן (ופה נתקעתי, לא הייתי בטוח <math>O(h(x))=x</math> ולכן (?) <math>h(x)*f=x</math> ופה יש משהו לא הגיוני. אפשר עזרה? תודה!


או שזה מספיק טריוויאלי? תודה
===תשובה===
אם <math>g*f=Id</math> אז <math>g(f(x))=x</math>.


בקשר לשאלה במבחן הנ"ל, הפיתרון הפשוט (לדעתי) של הסעיף הוא כדלקמן:


'''תשובה'''
כיוון אחד


1, 4 - לא.
1) אם <math>f</math> חח"ע אזי היא הפיכה משמאל ע"י איזושהי פונקציה שנסמנה <math>h : B \rightarrow A</math>.  
2, 3 - כן, בקצרה.


==תרגיל מהתירגול==
2) כעת, לכל פונקציה <math>\psi \in C^A</math> יש מקור <math>g=\psi \circ h \in C^B</math> לפי פונקציה <math>\Phi</math>, כי <math>\Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi</math> ולכן <math>\Phi</math> על.
בתירגול פתרנו תרגיל כזה: מהו מספר האפשרויות לסידור 11 אנשים במעגל? תשובה: n!/n (כלומר !(n-1)). לא הבנתי למה, ובכיתה לא כתבנו הסבר, רק ציור שמראה את ההבדל בין סידורם בקו לסידורם במעגל (את ההבדל הזה הבנתי).


אפשר הסבר איך פותרים את התרגיל? תודה מראש!
כיוון שני


:מספר הדרכים לסדר n אנשים אחד אחרי השני (בקו) הוא n! - כי יש n אפשרויות לבחירת האדם הראשון, n-1 לשני וכן הלאה. כעת, במעגל אין משמעות לראשון ולאחרון, אלא רק מי נמצא אחרי מי. לכן, בהנתן סידור מסוים של האנשים במעגל, יש n אפשרויות לבחור מי יהיה הראשון. כלומר כל אפשרות למעגל מופיעה n פעמים בסידור קו ישר (כל פעם בוחרים מישהו אחר להיות הראשון).
1) אם <math>f</math> לא חח"ע אז קיימים <math>a_1,a_2 \in A</math> שונים כך ש<math>f(a_1)=f(a_2)</math>.


:לכן סה"כ מספר המעגלים הוא מספר הקוים חלקי n שווה ל n!/n
2) לכן לכל <math>g \in C^B</math>, הפונקציה <math>\Phi(g)=g \circ f</math> מקיימת <math>g \circ f(a_1)=g \circ f(a_2)</math>.


::תודה רבה!
3) אולם, קיימות הפונקציות <math>h \in C^A</math> כך ש<math>h(a_1) \neq h(a_2)</math>, כי <math>C</math> מכילה לפחות שני איברים, וכתצואה מכך <math>\Phi</math> איננה על.


==שאלה כללית==
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 11:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
אם אני מטיל קוביה n פעמים. האם נכון לומר שמס' האפשרויות להופעת 2 מס' שונים לפחות פעם אחת הוא 6 בחזקת n פחות 4 בחזקת n?
====אם F חחע אז היא הפיכה '''משמאל''', לא מימין, לא?====


==שאלה 6==
צודק, רשמתי את ה"הפיכה מימין" כשהתכוונתי להפיכה משמאל, וגם השתמשתי בה כהפיכה משמאל כך שהמילה "ימין" צריכה פשוט להיות מוחלפת ב"משמאל". אשנה זאת מיד.[[מיוחד:תרומות/79.180.9.140|79.180.9.140]] 19:11, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
אם אני בונה כלל נסיגה אז מה צריך להיות המשתנה? K או N?


==מהי הנוסחא למספר פתרונות המשוואה==
==שאלה (קצת מוזרה, אבל מבלבלת) על איחוד קבוצות==
אשמח אם מישהו יוכל לתת את הנוסחא למציאת מספר פתרוות של משוואה- כמו שלמדנו בכיתה ודוגמא קצרה שתסביר כי לא הבנתי איך הנוסחא
נניח שX שייך לA חיתוך B חיתוך C. אני יכול להגיד בוודאות ש X שייך ל
עובדת. תודה :)
:(AחיתוךBחיתוךC) איחוד (AחיתוךBחיתוךC'(משלים)) איחוד (AחיתוךB'חיתוךC') איחוד (A'חיתוךB'חיתוךC)? האם זה נכון בטוח בגלל שאחד מהגורמים באיחוד הוא A חיתוך B חיתוך C? תודה!


===תשובה===
===תשובה===
הנוסחה היא:<math>{n+k-1 \choose n}</math> כאשר n הוא המס' הקבוע(בצד ימין בד"כ) ו-k הוא מס' המשתנים. למשל: מצא את מס' הפתרונות האי שליליים של המשוואה a+b+c=10 כלומר n=10,k=3 אז מספר הפתרונות יהיה <math>{12 \choose 10}</math>. כאשר מבקשים רק חיוביים(בלי ה-0) אז הנוסחה היא:      <math>{n-1\choose k-1}</math>
כן. ניתן לומר זאת בודאות כי אחד הגורמים באיחוד הוא הוא A חיתוך B חיתוך C.


==שאלה 4.ב.==
[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 10:49, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
אפשר רמז בנוגע למתחלק ב7?
:תודה רבה אני מאוד מעריך את כל העזרה שלך!!


==שאלה 3.ב.==
==עזרה (מבחן 2009 מועד ב' שאלה 7 ב'2 .)==
הטלנו n פעמים אז איך יצאו 3 ערכים?
הוכחתי את 1, ע"י חילוק למקרים, אם C=100 אז A וB יכולים להיות מ1 עד 99, 99 בריבוע אפשרויות, אם C=98 אז יש 98 בריבוע אפשרויות וכך הלאה ומקבלים את הסכום הדרוש. אבל לא משנה איך אני מנסה להסתכל על זה, אני לא רואה איך העוצמה של S שווה לתוצאה שכתובה ב2. אפשר עזרה לפני המבחן? תודה רבה!!


===תשובה===
את חלק ב' מוכיחים באופן קומבינטורי. כשיש לנו שלישיה סדורה <math>(a,b,c)</math> כך ש<math>a<b \wedge a<c</math> אז קורה אחד (ואחד בלבד) משלושת הדברים הבאים:1) <math>b=c</math> או 2) <math>b<c</math> או 3) <math>b>c</math>. כל המקרים ב1) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת שני איברים מתוך 100, הצבת הקטן מבין השניים באינדקס הראשון והצבת הגדול מבין השניים באינדקסים השני והשלישי; כל המקרים ב2) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטן ביותר באינדקס הראשון, הצבת האמצעי באינדקס השני והצבת הגדול ביותר באינדקס השלישי; כל המקרים ב3) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטןביותר באינדקס הראשון, הצבת הגדול ביותר באינדקס השני והצבת האמצעי באינדקס השלישי. עקב כך, מקבלים את הנוסחה הרשומה בטופס המבחן בסעיף ב'.[[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 10:46, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
:תודה


'''תשובה'''
==איחוד או חיתוך==
סליחה שאני שואלת המון שאלות..


דוגמא:ניקח n=10. הסדרות להלן מכילות בדיוק3 איברים שונים (כל אחד מהן)
איך מוכיחים שאם X מוכלת ב-A חיתוך B אז X מוכלת ב-A וגם X מוכלת ב-B? (במיוחד צריך לשים לב שההוכחה לא מתאימה גם לאיחוד במקום חיתוך, בשונה מההוכחה אצלי במחברת)
{1,2,2,6,1,2,6,6,2,1} או {3,4,3,3,5,5,5,5,3,4}
:רגע... זה סדרות או קבוצות? (לפי השאלה זה אמור להיות סדרות, לא? ופה כתבת קבוצות..)


שוב, תודה מראש!


:: סדרות. גם את סדרות אפשר לכתוב בסוגריים מסולסלות.
===שאלות זה טוב===
אם <math>X \subseteq A \bigcap B</math> אז לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A \bigcap B</math>, דהיינו <math>x \in A</math> וגם <math>x \in B</math>. מכיוון שלכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> אז <math>X \subseteq A</math>, ומכיוון שלכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in B</math> אז <math>X \subseteq B</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 00:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


==שאלה 2==
זה בסדר להוכיח באינדוקציה?


:תודה רבה, אבל: אם <math>X \subseteq A \bigcup B</math> אז לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A \bigcup B</math>, דהיינו <math>x \in A</math> או <math>x \in B</math>. לכל <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> ואז*** <math>X \subseteq A</math>, או <math>x \in B</math> ואז*** <math>X \subseteq B</math>.
:מה שמסומן ב-*** כמובן לא נכון, אבל איך מסבירים את זה שהדבר נכון רק עבור חיתוך ולא איחוד?


'''תשובה'''
::כל <math>x\in X</math> מקיים <math>x\in A</math> '''-או-''' <math>x\in B</math>. בפרט, מאד ייתכן שקיים <math>x\in X</math> כך ש<math>x\notin A</math>. אתה שינית לוגית את המשפט - במקום לומר 'כל איבר שייך לA או B' אמרת 'כל האיברים שייכים לA או כל האיברים שייכים לB'. [[משתמש:ארז שיינר|ארז שיינר]] 01:18, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


מותר. אבל עדיף אם תתנסה בדרך אלגוברית ו/או קומבינאטורית.
:::באמת שיניתי לוגית את המשפט בלי לשים לב! אם כך, רק אם '''''לכל''''' <math>x \in X</math> מתקיים <math>x \in A</math> אז <math>X \subseteq A</math>, ובאיחוד זה לא לכל x. הבנתי, תודה לכם!


==שאלה כללית==
==הוכחה טריוויאלית==
אם שואלים אותי מה מספר האפשרויות למשהו ואני מחלק למקרים. בסוף אני צריך לכפול את כל האפשרויות מכל המקרים כדי לקבל את מס' האפשרויות למשה (הכללי)?
מהי הדרך הנכונה ביותר להוכיח שאם <math>P(A)</math> מוכל (או שווה) ב(ל)-<math>P(B)</math> אז A מוכל (או שווה) ב(ל)-B?


(פשוט ההוכחה אצלי במחברת לא ברורה לי)


'''תשובה'''
===תשובה===
אם <math>P(A) \subseteq P(B)</math> אז לכל <math>X \in P(A)</math> מתקיים <math>X \in P(B)</math>.
בפרט, <math>A \in P(A)</math> ולכן <math>A \in P(B)</math>, כלומר <math>A \subseteq B</math>. [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:57, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
:אהה, תודה!


רק אם המקרים הללו זרים בזוגית. אחרת משפט הסכום לא תקף וצריך להשתמש בעקרון הכלה והדחה.
==יחסים==
האם האיבר הקטן ביותר הוא תמיד המינימלי היחיד? (כשהוא קיים)


==שאלה 4ד'==
===תשובה===
אפשר עזרה לגבי התשובה? האם התשובה צריכה להיות A איחוד B איחוד C (כאשר כל אחת מהקבוצות הן מספר שמתחלק ב3 4 ו5 בהתאמה בין 1 ל1000) או A איחוד B איחוד C פחות (A חיתוך B) פחות (A חיתוך  C) פחות (A חיתוך B חיתוך C) פחות (A חיתוך B חיתוך C)?
כן [[משתמש:Adam Chapman|Adam Chapman]] 23:32, 3 בספטמבר 2010 (IDT)
במילים אחרות, האם יכול לצאת מצב שיוצא 2 קבוצות מתוך האיחוד ביחד ואז זה לא טוב ואני צריך להוריד את האפשרויות האלה, או שבאיחוד כבר הורדנו אותן? תודה
:תודה!
 
==מס' שאלות==
2.) איך יתכן שזה ייתקיים עבור n=0?
3.)מה הכוונה ב"מהן מספר האפשרויות"? אפשרויות למה?
4.) מה זה ריבועים שלמים?
:: 2- כי 0 עצרת זה 1, תחשב וזה יוצא נכון. 3- כמה אפשרויות לתוצאות יכולות לצאת. כמה תוצאות שונות יכולות לקרות. 4- ריבוע של מספר שלם, כלומר 1,4,9 וכו'
 
==שאלה 3==
לא כתבתם למה התכוונתם, האם הסדר משנה או לא? כלומר, האם כשמטילים את הקובייה פעמיים למשל, כשיוצא 5 ראשון ואחר כך 6, וכשיוצא 6 ראשון ואחר כך 5, האם התוצאות האלה שונות או לא? תודה.
 
 
'''תשובה'''
 
ראה למטה.


==שאלה 3, למה אתם מתכוונים?==
מה זה אומר ב-ב', "שהתקבלו עבור בדיוק 3 ערכים שונים"? אני לא מבין את המשפט (מבחינה תחבירית) למה התכוונתם? וחוץ מזה, אפשר רמז לגבי הפתרון? תודה רבה.
'''תשובה'''
מהו מספר אפשרויות לקבל ב-n הטלות בדיוק 3 ערכים שונים. למשל, רק מספרים {1,2,3} או {2,4,6}.
'''המשך שאלה'''
האם יש חשיבות לסדר? למשל עבור 4 הטלות והמספרים {1,2,3}, האם יש הבדל בין (1,2,3,1) ל- (1,1,2,3)? הניסוח של השאלה באמת ממש לא מובן...
'''תשובה'''
מטילים אותה קוביה פעם אחר פעם. הגדרת השאלה מניחה את הסדר. אפשר לנסח את השאלה כך: מטילים n קוביות '''שונות'''...






<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------>
<!------------------------------[שאלות חדשות יש לכתוב בראש הדף, לא בסופו. נא לא לכתוב מתחת לקו זה]------------------------------>
== כותרת ==

גרסה אחרונה מ־11:30, 3 באוקטובר 2010

[math]\displaystyle{ {n \choose k} = {n!\over k!(n-k)!} }[/math]

הוראות

כאן המקום לשאול שאלות. כל שעליכם לעשות הוא ללחוץ על [עריכה] (משמאל לכותרת "שאלות"), להוסיף בתחילת הדף את השורה הבאה:

== כותרת לשאלה ==

לכתוב מתחתיה את שאלתכם, וללחוץ על שמירה למטה מימין

הודעה חשובה !!! - יש להגיש את התרגילים הנוספים (13 , ו 14 כרשות למי שמגיש ) עד ,וכולל , 16.9.2010 ! למשל לתא הבודקת הילה הלוי בכר , או לתומר ביום רביעי או לניר ביום חמישי - בתרגולי החזרה . אנא הודיעו למי שאתם יודעים שלא יגיע לתרגולים אלו . תודה:)

ארכיון

ארכיון 1 - תרגיל 1

ארכיון 2 - תרגיל 2

ארכיון 3 - תרגיל 3

ארכיון 4 - תרגיל 4

ארכיון 5 - לקראת המבחן


שאלות

המבחן=

באיזה בניין וחדר יהיה המועד ב' בבדידה?

הפגישה

באיזה שעה הפגישה והיכן?

פקטור

היה פקטור במבחן?

תשובה

כן

חלוקת הציון

כיצד מחלקים את הציון? כמו בלינארית או שהבוחן ייחשב לכולם? ואם כן באיזה אופן? תודה מראש, גל.

ציונים

מישהו יודע מתי יהיו ציונים?

שאלה חשובה ממבחן

בכמה דרכים ניתן לחלק 40 עטים ממוספרים [math]\displaystyle{ (1,2,...,40) }[/math] בין 30 סטודנטים?

לא הבנתי את השאלה:

  • האם צריך לחלק את כל ה-40, כך שיהיו 10 סטודנטים שיקבלו 2 עטים? או לחלק רק 30 עטים?
  • האם מותר שחלק מהסטודנטים יקבלו 0 עטים? למשל - כל העטים לסטודנט אחד?

אגב, תשובה סופית של השאלה תעזור לי מאוד, בשביל לבדוק את עצמי.

תשובה (לא מתרגל)

כל האפשרויות הללו תופסות. אני הייתי פותר את השאלה כך: עבור כל עט יש שלושים אפשרויות, ולכן בסה"כ יש [math]\displaystyle{ 30^{40} }[/math] אפשרויות. האם זה פתרון נכון?

אני מניח שהכוונה ל40 עטים ספציפיים, כלומר לא יכול להיות שעט מספר 2 יהיה אצל שני תלמידים.
נו?תסתכל על זה כך - לעט 1 יש 30 אפשרויות (תלמיד 1 עד תלמיד 30) וגם לעט 2 יש 30 אפשרויות וגם ... וגם לעט 40 יש 30 אפשרויות. ולכן בסה"כ התשובה שציינתי מתקיימת
צודק, טעות שלי.

הוכחת יחס בפרט

אם נתונה קבוצה B סופית ודי קטנה (כ-5 איברים) ואומרים יהי R יחס על B, הוכיחו ש-R יחס סדר חלקי (או שקילות, לא משנה). האם אני יכולה לכתוב בצורה מפורשת את R ופשוט לכתוב בצורה מפורשת למה היא טרנזטיבית, רפלקסיבית ואנטי סימטרית (או סימטרית), או שאני חייבת לעשות את זה באופן כללי ולא מפורש?

2007 מועד ב'

קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=278200810428508.pdf

בשאלה 1 צריך לרשום בצורת CNF ו-DNF שתי פונקציות שהן ביטוי לוגי. אין לי מושג על מה מדובר, אבל זה לא בחומר - נכון?

שאלה 2 על דטרמיננטות - אני אמורה לדעת לפתור אותה ושאלה דומה יכולה להופיע במבחן מועד ב'? (אני עם אפי, למדנו דטרמיננטות שיעור אחד)

בשאלה 4-ג',ד' ובשאלה 5 צריך להסביר משהו או רק לתת תשובה סופית?

מבחן 2007 מועד א'

קישור: http://www.bis.org.il/download_Img.asp?file_name=208200823203518.pdf

בחלק II שאלה 3 (שצריך להוכיח באינדוקציה), הבדיקה עבור n=1 יצאה לא נכונה! יש טעות בתרגיל או שאני טועה?

בבקשה תענו!

דרך אגב, כל חלק III הוא לא בחומר, נכון?

אה ועוד משהו: יש למישהו פתרונות של המבחן הזה? או לפחות פתרונות סופיים? אם מישהו פתר אותו, אז שיכתוב פה ונשווה :).

במיוחד חשובה לי השאלה בקומבינטוריקה: 1-ב', יצא לי 208.

בקשה לפקטור

המבחן היה ברמה קשה מאוד אז נשמח לקבל פקטור. תודה! 

  אני בטוח שבגלל שביקשת יהיה פקטור :) (לא שאני מתנגד )
מצטרפת!
מצתרף, וזה בלי קשר לבעיות הרבות שהיו, הפסקת חשמל, בעיות בתופס, ועוד.. או לפחות שיקימו מועד מיוחד כדי שהמועד ב' לא תיהיה ההזדמנות האחרונה, זה די מלחיץ, וגם באמת שהתנאים והרמה לא היו בסדר, בהצלחה לכל מי שהולך למועד ב'

שאלות על הפתרון

בשאלה של התמורות, קבעתם את A להיות הקבוצה שבה איבר זוגי מסויים מופיע במקומו, ואז חישבתם את הסכום של כל הקבוצות האלו. אבל זה בעצם החיתוך של המשלימים, אז צריך לעשות את סך כל האפשרויות פחות הסכום שיצא, לא? ולגבי השאלה עם השוויון בין הסיגמות, אתם יכולים לכתוב את הפיתרון? (הוא לא מופיע). תודה!

פתרון המבחן

שלום. אתם יכולים בבקשה לפרסם את הפתרון של המבחן? תודה!

הצלחה במועד ב'

שלום. אני נבחנתי במועד א' ונראה לי שנכשלתי ככה שגם בסופי יהיה לי ציון נכשל. אבל זה בכלל לא אומר שבמהלך כל הקורס ישבתי עם פה פעור ולא הבנתי מילה. עכשיו אני צריכה לגשת למועד ב', ובו אני רוצה להצליח. לא להצליח 80, אלא להצליח 100 לפחות. אני מוכנה לחרוש בשביל זה כמה שצריך, ואפילו יותר. אבל אני רוצה שהחרישה תהיה יעילה כמה שאפשר. אז מתרגלים, בתור מי שהצליחו באיזה קורס או שניים, בבקשה תספרו מנסיונכם, מהי הדרך הכי אפקטיבית ללמוד למבחן? מה ייתן לי את מירב הסיכויים לקבל 100?


תודה מראש!


אני עדיין מחכה לתשובה, בבקשה...

אני לא בטוח שהם עוד עוכבים אחרי הדף הזה, אבל אולי אם תשאל את השאלה בדף השיחה של אחד המתרגלים הם יענו לך (למשל שיחת משתמש:ארז שיינר ושיחת משתמש:Adam Chapman. את רשימת כל מפעילי המערכת (רובם מתרגלים) תמצא כאן). אור שחף, שיחה, 00:36, 10 בספטמבר 2010 (IDT)
תודה לך :)

תשובה

  • קודם כל יש לוודא שיש לך את כל החומר מההרצאות ושאת מבינה כל דבר ודבר שנעשה בהרצאה (אחר כך כנ"ל לגבי התרגילים)
  • יש לעבור על מבחן מועד א' ולוודא שאת מבינה בדיוק איפה טעית, ואיך היית מקבלת 100 אם היית נגשת אליו.
  • יש לפתור את כל תרגילי השנה ומבחנים משנים קודמות, דבר ראשון מבלי להסתכל בפתרונות, ולאחר מכן לוודא שפתרת נכון
  • תנסי לקבוע שעת קבלה עם המתרגל שלך או מתרגל אחר בקורס שלך (עדיף באמצעות המייל, לא כולם עוקבים אחרי הדף הזה בשלב זה, כמו שאור ציין).
  • אני אציין שמה שאמרתי הוא כללי מכיוון שאיני מתרגל בדידה ולכן איני יכול לכוון יותר למקצוע הזה. הכוונה נוספת תוכלי לקבל ממתרגלי בדידה.

בהצלחה,

ארז שיינר 00:52, 10 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה!!
מבין הדברים שכתבת, משנה מה אעשה קודם ומה אחר כך? ובשביל מה שעת קבלה?
שעת קבלה לשאול שאלות (אם יש) וגם להתייעץ לגבי הלימודים ספציפית לקורס. לגבי הסדר, אני חושב שנוח לעבוד לפי נושאים הרצאה-תרגול-תרגיל בית (כלומר להבין את ההרצאה בנושא ואז את התרגול בנושא ואז תרגיל בית בנושא ואז לעבור לנושא הבא). אחרי שיש שליטה בחומר עוברים למבחנים ודברים דומים.

עוד 2 שאלות קצרות ואחרונות בהחלט!

יש לי עוד 2 שאלות קצרות שאפשר לענות עליהם עם תשובה סופית בלבד.

האם [math]\displaystyle{ P(AxB)=P(A)xP(B) }[/math]?
נניח A=}1,2,3,{. מספר היחסים על A הוא 2 בחזקת 9 (לפי תשובה לשאלה קודמת), נכון? ומספר יחסים השקילות על A, איך מחשבים את זה? מחשבים אז זה בצורה אחרת, על ידי מספר מחלקות השקילות האפשריות נכון? המחלקות האפשריות הן 1,2,3; 12,3; 1,23; 2,13; 123; כלומר 5? או שיש לי טעות? תודה!

תשובה

התשובה היא לא. [math]\displaystyle{ P(A \times B) = P(A) \times P(B) }[/math] זה שקר ברוב המקרים. אם [math]\displaystyle{ A=\{1,2\} }[/math] ו[math]\displaystyle{ B=\{3,4\} }[/math] אז [math]\displaystyle{ \{(1,3),(2,4)\} \in P(A \times B) \setminus P(A) \times P(B) }[/math]. הכי טוב להבין זאת דרך עוצמות. [math]\displaystyle{ |P(A \times B)|=2^{|A| \cdot |B|}, |P(A) \times P(B)|=2^{|A|+|B|} }[/math].

הוספתי לאחר התנגשות עריכה -לא. נניח בשלילה שזה נכון, אזי:

[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ [math]\displaystyle{ 2^{|A|\cdot|B|} }[/math] }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ [math]\displaystyle{ |\mathcal P(A\times B)| }[/math] }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
קיימות [math]\displaystyle{ A }[/math] ו-[math]\displaystyle{ B }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ [math]\displaystyle{ 2^{|A|+|B|} }[/math] }[/math] [math]\displaystyle{ [math]\displaystyle{ \not= }[/math] }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ [math]\displaystyle{ 2^{|A|}\cdot2^{|B|} }[/math] }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]
[math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ [math]\displaystyle{ |\mathcal P(A)\times\mathcal P(B)| }[/math] }[/math] [math]\displaystyle{ = }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math] [math]\displaystyle{ }[/math]

בסתירה לכך שאם שתי קבוצות שוות אז עוצמתן שווה. אור שחף, שיחה, 14:38, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה! ובקשר לשאלה השנייה, עם מספר היחסים על A, צדקתי או שיש לי טעות? תודה
לא משנה כבר, בהצלחה!

2 שאלות, אם מתרגל עדיין נמצא פה..

-אם יש נוסחת נסיגה לא הומוגנית, שהאיבר החופשי שלה, במקום להיות מחובר מהצורה [math]\displaystyle{ a^n*q(n) }[/math] הוא פשוט מספר ללא n, לדוגמה 4, (כלומר: נוסחת נסיגה לדוגמה תהיה an=an-1+an-2+4) מה מציבים בנוסחת הנסיגה? פשוט k ללא n? או 4 בחזקת n כפול k? כי אם מציבים ביטוי ללא n, יש בעיה שהיא- מה להציב בan-1 וכו'. -אם אפשר עזרה נוספת בנוגעלשאלה הנל, תודה

תשובה

אם משוואת ההפרשים היא משהו בסגנון [math]\displaystyle{ f(n+k)=a_1 f(n+k-1)+\dots+a_k f(n)+c }[/math] כאשר c הוא קבוע (דהיינו מספר שלא תלוי בn) אז מחפשים פיתרון פרטי של משוואת ההפרשים שיהיה פונקציה קבועה, למשל [math]\displaystyle{ h(n)=b }[/math] ואז פותרים את המשוואה[math]\displaystyle{ b=a_1 b+\dots+a_k b+c }[/math] ומקבלים פיתרון [math]\displaystyle{ b=\frac{c}{1-(a_1+\dots+a_k)} }[/math] וממשיכים באלגוריתם לפיתרון נוסחת הנסיגה כרגיל. Adam Chapman 12:55, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה!

עוד אפשרות

אם לא בא לך לזכור את כל המקרים אפשר להפוך את 4 ל- [math]\displaystyle{ (1^n)*4 }[/math]

שאלה לסיום

למדנו את הכלל-a כפול b= למקסימום של הערכים. האם אפשר להסיק: תהי k עוצמה. מכפלת k בעצמה שווה לk?

תשובה

ראשית להבהיר, למדנו את המשפט הזה לגבי עוצמות אינסופיות, עבור סופיות כמובן שזה לא עובד. ושנית המכפלה תהיה שווה ל-k רק אם העוצמה קטנה או שווה ל-k

שיבוצי הכיתות

בניין 605

הקבוצה של אפי:
חדר 101: מסטודנט אבני תומר עד מלמד שירן
חדר 102: מסטודנט מרזוק חופית עד שרקנסקי אלה

הקבוצה של שי:
חדר 103: מסטודנט אבוטבול עומר עד כרמל רום
חדר 104: מסטודנט לביא גל עד שרעבי רועי

חוקי עוצמות

אחד החוקים שכתוב לי במחברת הוא שעבור עוצמות a,b,d מתקיים: אם [math]\displaystyle{ a\lt b }[/math] אז [math]\displaystyle{ a^d\lt b^d }[/math]. השאלה היא מהן העוצמות a,b,d, האם זה גם עבור עוצמות סופיות?

השאלה היא בהמשך לדוגמה נגדית שמישהו נתן: [math]\displaystyle{ 2\lt 3 }[/math] אבל 2 בחזקת א0 שווה 3 בחזקת א0.

תשובה

כנראה זה קטן שווה, גם אם d=0 יש שוויון

כן, כנראה. תודה. בכל מקרה, תשובה חד משמעית ממתרגל תעזור. אולי אפשר ממש להגיד מתי קורה השוויון, ואז להגביל a,b,d כך שהוא לא יקרה אף פעם?
אני לא מתרגל, אבל לפי דעתי אם זה גדול ממש זה לא תורם יותר מדי, לעומת זאת אם זה גדול שווה זה מראה על קיום פונ' חחע מצד אחד ופונ' על מצד שני.

תשובת מתרגל

אני כן מתרגל, והאמת היא שאם קבוצות מקיימות [math]\displaystyle{ |A| \leq |B| }[/math] אם ורק אם קיימת פונקצייה על מB ל A שזה קורה אם ורק אם יש פונקצייה חח"ע מA לB. המשמעות של [math]\displaystyle{ |A| \lt |B| }[/math] היא שקיימת פונקצייה על מB לA אך לא קיימת פונקצייה על מA לB, שזה קורה אם ורק אם קיימת פונקצייה חח"ע מA לB אך לא קיימת פונקצייה חח"ע מB לA. בהצלחה במבחן היום! Adam Chapman 12:28, 5 בספטמבר 2010 (IDT)


טעות שלי, החוק באמת כתוב עם שווה גם במחברת.

מתי המבחן?

בשלוש וחצי או ארבע? האם התשובה היא ב100 אחוז? תודה!

בארבע, זה הרי מה שנכתב כאן ובמערכת המידע האישי...

ואיפה?

שוב, מערכת מידע אישי ולפי מספר קורס 88195 (ולאחר מכן 08 עבור אפי 11 עבור שי) תוכל לראות באיזה חדר אתה משובץ

שאלה 1, סעיף 4 בדף רקורסיה

שלום רב,

אם מבקשים ממני את מספר תתי הקבוצות של [math]\displaystyle{ \{1,...,n\} }[/math] שבהן יש מספרים עוקבים (ביחס רקורסיה), האם מותר לי לפתור כך:

" עפ"י הסעיף הקודם (סעיף 3) קיבלנו שמספר האפשרויות לתתי הקבוצות של הקבוצה הנתונה בהן אין מספרים עוקבים בכלל הוא [math]\displaystyle{ f(n)=f(n-1)+f(n-2) }[/math]. מכיוון שלכל תת קבוצה יש שתי אפשרויות (שתכיל עוקבים או שלא תכיל עוקביים) ויש בסה"כ [math]\displaystyle{ 2^n }[/math] תתי קבוצות אז נגדיר [math]\displaystyle{ g(n) }[/math] להיות מספר הקבוצות בהן יש מספרים עוקבים ולכן [math]\displaystyle{ g(n)=2^n-f(n)=2^n-f(n-1)-f(n-2) }[/math]?"

אם לא, איך אני יכול לפתור? תודה, גל.

תרגיל 2

איפה התשובות של שאלות 8,9? (http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf)

אפשר עזרה בשאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'?

אני כבר ממש מיואש, כל פונקציה שאני בונה יוצאת לא חחע ולא על! זאת שאלה ממש קשה, אבל גם ממש חשובה למבחן, אז אפשר, בבקשה, פתרון או הכוונה? תודה!

תשובה

בשאלה הזו לא מצפים ממך לבנות פונקציה כי אם להשתמש בחוקים אלמנטריים שאתה יודע בחשבון עוצמות. ההוכחה שמצופה מכם היא כזו:

מצד אחד [math]\displaystyle{ 2^\lambda\gt \lambda }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda }[/math]. מאידך, [math]\displaystyle{ 2 \leq k \leq 2^\lambda }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ 2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ k^\lambda=2^\lambda }[/math].Adam Chapman 19:33, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אני פשוט לא מאמין, סתם ישבתי לי ובניתי פונקציות..
בכל מקרה, לא הבנתי אף אחד מהשלבים שעשית! קראתי שוב לאט, ובטוח גם אם הפתרון שלך נכון אז חסר בו פירוט הכרחי באיזשהו מקום- איך אתה יודע שK בחזקת גימל שווה ל2 בחזקת גימל?
כי [math]\displaystyle{ 2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda }[/math]


לימדו אתכם בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל [math]\displaystyle{ \lambda\lt k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ k^\lambda=k }[/math]. גם לימדו אתכם בהרצאה שאם עוצמה k קטנה מקיימת [math]\displaystyle{ \gamma \leq k \leq \gamma }[/math] אז [math]\displaystyle{ k=\gamma }[/math]. אלו הם שני החוקים שהשתמשתי בהם בהוכחה הנ"ל. Adam Chapman 19:48, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
לא!!! התכוונתי לאיך אתה יודע את כל אחד מ2 השלבים האלה! ברור לי שאם אתה יודע שאחד גדול מהשני והשני גדול מהראשון אז על פי קנטור ברנשטיין יש שוויון!!את התוצאה [math]\displaystyle{ 2^\lambda \leq k^\lambda \leq 2^\lambda }[/math] פשוט המצאת. כמו כן פשוט כתבת שאם[math]\displaystyle{ 2^\lambda\gt \lambda }[/math] אז [math]\displaystyle{ (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda }[/math] וש [math]\displaystyle{ 2^\lambda\gt \lambda }[/math] אז [math]\displaystyle{ (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda }[/math]בלי להסביר! מאיפה הבנת את הדברים האלה?? אתה יכול להסביר בבקשה למה K בחזקת גימל גדול מ2 בחזקת גימל ולמה להפך?? תודה


לימדו בהרצאה שאם k אינסופית אזי לכל [math]\displaystyle{ \lambda\lt k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ k^\lambda=k }[/math]. במשפט הזה תחליף את k ב-[math]\displaystyle{ 2^\lambda }[/math] (אינסופי כי [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] אינסופית נתון). ידוע ש- [math]\displaystyle{ \lambda\lt 2^\lambda }[/math] לפי קנטור. לכן לפי המשפט הזה, [math]\displaystyle{ (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda }[/math].
חוץ מזה, ידוע שכאשר a,b,c עוצמות: אם a<b, אז [math]\displaystyle{ a^c\lt b^c }[/math] ולכן אם נתון [math]\displaystyle{ 2 \leq k \leq 2^\lambda }[/math] אז [math]\displaystyle{ 2^\lambda \leq k^\lambda \leq (2^\lambda)^\lambda=2^\lambda }[/math] (העלינו הכל בחזקת [math]\displaystyle{ \lambda }[/math] והשיוויון ממה שהוכחנו קודם). זהו עכשיו לפי קנטור ברנשטיין מ.ש.ל. אגב אני לא מתרגלת אבל מקווה שעזרתי.
תודה על העזרה, אדם, אני ממש לא רוצה להעליב, אבל אי אפשר להבין כשישר כותבים תוצאה. אבל נראה לי שיש פה טעות, כי למשל למשפט אם a<b, אז [math]\displaystyle{ a^c\lt b^c }[/math] אני יכול לתת דוגמה נגדית. ודבר שני, אני ממש לא זוכר שלמדנו בהרצאה את מה שאת ואדם אמרתם שלמדנו. תודה
איזו דוגמה נגדית? (שים לב ש-c זו עוצמה, לא משלים. הסימונים שהשתמשתי בהם הם לא משהו..) אם אתה עם אפי, אז החוק הזה כתוב לך בעמוד האחרון שלפני קומבינטוריקה (מצחיק, הרגע שמתי לב שכל התרגיל הזה הוא חוק מספר 8 שכתוב שם במדוייק).
את מה שאדם כתב אין לי במחברת. בכלל, בקושי יש חוקים שלמדנו על עוצמות כלשהן (כשלא ידוע מהי העוצמה). אם הייתה רשימה של כל החוקים האלו זה היה כ-ל-כ-ך עוזר!
למשל, 2 בחזקת א0 שווה ל3 בחזקת א0, לא?
וואלה, נראה לי שאתה צודק... אז אולי החוק הזה הוא אם a,b,c עוצמות אינסופיות? לא יודעת. יש איזה מתרגל שיכול לעזור פה?

תשובת מתרגל (אע"פ שהתשובת המתרגל כבר רשומה למעלה)

אני מתרגל, ואין לי מושג מי היה המתרגל או המרצה שלכם, חברה, אך נדמה לי שלא רשמתם במחברתכם את כל מה שנאמר בהרצאות או בתרגולים. אני נתתי את רשימת החוקים של חשבון עוצמות גם בתרגול שלי וגם בתרגול העזר של הקורס. שני החוקים שרשמתי למעלה (בפרט הראשון) הם נכונים ונוסחם הוא בדיוק מה שניסחתי לכם למעלה. בהצלחה במבחן! Adam Chapman 12:31, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

בעיות ענקיות עם הרכבת פונקציות... -עזרה בבקשה..-

זהו המשך לשאלה ששאלתי קודם, השאלה. אני ממש, ממש תקוע, בסעיף א' כיוון שמאלה, ובסעיף ב' שני הכיוונים (אדם, כנראה שלא הבנתי את הפתרון שלך). למשל ב-ב', אם f חחע, אז לפי מה שהבנתי (וגם בדקתי את זה!) היא הפיכה משמאל ולא מימין. לכן קיימת פו' כך ש hf=id. אבל זה ממש בעייתי ולא עוזר לפתור את הבעיה, כי צריך להוכיח שלכל תמונה של פי, כלומר לכל gf, קיים מקור g, אבל איך אפשר להוכיח את זה, הרי גם אם נרכיב את ההופכי של f משמאל, יצא hgf, שזה לא נותן כלום! מה עושים? (אם אפשר תשובה מפורטת גם לזה וגם לסעיפים\כיוונים האחרים) תודה רבה!

תשובה

אכן הייתה לי טעות בהקלדה אך כדאי שתקרא את התשובה שרשמתי למטה שוב.

עכשיו אולי אוסיף משהו שיסייע להבנה:

אם אתה רוצה להוכיח שפי היא על אתה צריך לקחת איבר בטווח ולהראות שיש לו מקור ,כלומר איזשהו g כך שgf שווה לאיבר בטווח שלקחת. אף אחד לא אומר לך שהאיבר בטווח הוא מן הצורה gf. זה מה שאתה צריך להוכיח!

אתה צריל לקחת איבר כללי בטווח, אותו [math]\displaystyle{ \psi }[/math] ומראה שקיימת g כך ש[math]\displaystyle{ \psi=g \circ f }[/math]. זה מה שעשיתי בוהכחה למטה. אני ממליץ לך לקרוא אותה שוב.79.180.9.140 19:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

לא הבנתי את המשפט:"לכל פונקציה [math]\displaystyle{ \psi \in C^A }[/math] יש מקור [math]\displaystyle{ g=\psi \circ h \in C^B }[/math] לפי פונקציה [math]\displaystyle{ \Phi }[/math], כי [math]\displaystyle{ \Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi }[/math]", באמת שלא הבנתי למה G שווה לפסי הרכבה H ומה זה אומר "לפי פונקציה פי". אפשר הסבר קצת מפורט יותר? תודה!
אתה צריך להראות שקיימת g כך ש[math]\displaystyle{ \psi=g \circ f }[/math]. לא נתונה לך g שאתה צריך להוכיח שהיא [math]\displaystyle{ g=\psi \circ h \in C^B }[/math]. אתה יכול לבחור איזו g שאתה רוצה. אתה רק צריך להסביר למה אותה g שבחרת היא מקור לפסי. אני בחרתי את g להיות הפונקציה [math]\displaystyle{ \psi \circ h }[/math] והראיתי שהיא אכן מקור לפסי. מכיוון שפסי הוא שרירותי זה אומר שהראיתי שלכל פסי שרירותי קיים מקור, ולכן פי היא על. כדי להראות שקיים מקור לאיבר אתה צריך לציין את המקור הפוטנציאלי ולהראות שהוא אכן מקור. המקור הוא לא מ שנתון לך. Adam Chapman 19:42, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
אבל איך אתה יכול לדעת שg יכולה להיות מורכבת מפונקציה פסי ומהפונקציה h? ובאותה צורה, איך זה שאתה בוחר "פסי שרירותי" אם אתה קובע שהפסי הזה הוא הרכבה של g ושל f? אשמח לתשובה מפורטת ומובנת הפעם, שלא אצטרך לשבור את הראש כדי לנסות להבין אותה! תודה רבה!
g יכולה להיות פסי הרכבה h משום שהמקור של פסי צריך להיות פונקציה מB לC ופסי הרכבה h הינה פונקציה מB לC. אני אכן בחרתי פסי שרירותי לא קבעתי שהוא הרכבה של g על f. אני בחרתי פסי שרירותי הראיתי שניתן למצוא לו מקור. מהו אותו מקור? אותו מקור הוא פסי הרכבה h. לכל פונקציה פסי מA לB, התמונה של פסי הרכבה h היא פסי ותמונה של פי מכילה את כל הפונקציות מB לC, דהיינו פי היא על.

שמע, ידידי, אין לי מושג איך לסייע לך מעבר לכך. כל מה שאני יכול לומר זה שאני ממליץ לך להוכיח כתרגיל שהפונקציה [math]\displaystyle{ f: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} }[/math] שמקיימת לכל [math]\displaystyle{ x \in \mathbb{Z} }[/math], [math]\displaystyle{ f(x)=x+1 }[/math] היא על, ואז תראה שמבחינה אלגוריתמית אין הבדל בין ההוכחה הזו להוכחה שרשמתי לך למעלה. בהצלחה במבחן! Adam Chapman 12:42, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

הפרכה בעזרת דוגמה

בתרגיל 2 שאלה 5.ב, למה אי אפשר לתת דוגמה בשביל להפריך טרנזטיביות? הרי אם מראים שקיים B מסויים מאוד שעבורו אין טרנזטיביות, אז כבר R לא טרנזטיבי...לא?

השאלה: http://www.math-wiki.com/images/8/87/10BdidaTargil2.pdf

התשובה: http://www.math-wiki.com/images/1/1d/10BdidaTargil2Sol.pdf

תשובה

כן. אפשר לעשות גם את זה. אני לא חושב שעבור B ספציפי להראות שאין טרנזיטיביות יותר קצר מלהראות פשוט שאין טרנזיטיביות. מספיקה העובד שB מכיל שני איברים שונים. Adam Chapman 19:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה 1ג מועד א 2008

שלום רב, האם ההוכחה שלי לשאלה 1ג נכונה?

" נניח בשלילה שהחיתוך המתבקש אינו שווה לקבוצה ובה הקבוצה הריקה, ולכן משום שהקבוצה הריקה היא איבר המשותף לכל קבוצות החזקה קיימת קבוצה [math]\displaystyle{ X\in P(A) }[/math] ושמקיימת גם [math]\displaystyle{ X\in P(B) }[/math] (נשים לב שקבוצה זו שונה מהקבוצה הריקה)....... בסוף נקבל ש- [math]\displaystyle{ X\subseteq A \bigcap B }[/math] ולכן החיתוך אינו קבוצה ריקה, וזו סתירה?"

כמובן שעם פירוט של כל השלבים באמצע. תודה מראש, גל.

אישור

תשובה נכונה בהחלט. Adam Chapman 18:52, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה

מהי עוצמת הקבוצה של קבוצות שאינן סופיות ואינן קו-סופיות (שהמשלים שלהן אינו סופי) מתוך הטבעיים? האם זה א כי קבוצה של קבוצות אינסופיות? או לא? תודה!

תשובה

התשובה היא [math]\displaystyle{ \aleph }[/math] אך לא כי "קבוצה של קבוצות אינסופיות". הקבוצה [math]\displaystyle{ \{\mathbb{N},\mathbb{R}\} }[/math] היא קבוצה של קבוצות אינסופיות המכילה שני איברים בדיוק. בלי קשר, כפי שלמדנו, המונח "אינסופי" הוא בעל משמעות מאוד רחבה בקורס הזה ולא ניתן להיעזר במונח הזה כדי לטעון אמיתות של תשובה מדוייקת כמו [math]\displaystyle{ \aleph }[/math] .

העוצמה של הסופיות היא [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] וזו גם העוצמה של הקוסופיות. העוצמה של קבוצת החזקה של הטבעיים היא [math]\displaystyle{ \aleph }[/math]. אחד מן החוקים שלימדנו אתכם לגבי חשבון עוצמות הוא שכשלוקחים קבוצה אינסופית ומפחיתים ממנה תת-קבוצה בעוצמה קטנה ממש ממנה אז העוצמה לא קטנה, ולכן אחרי שמפחיתים את תת-הקבוצות הסופיות ותת הקבוצות הקוסופיות מכלל תת-הקבוצות של הטבעיים נשארים עם קבוצה שעוצמתה [math]\displaystyle{ \aleph }[/math]. Adam Chapman 18:45, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

למה העוצמה של הסופיות היא [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] וזו גם העוצמה של הקוסופיות?
אהה. הנחתי שאת זה עברנו אם הגענו כבר לשאלה מה הגודל של ההפחתה. OK, אז ככה:

הגודל של תת-הקבוצות בגודל k (סופי) הוא לפחות [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math] מצד אחד, ומאידך הוא אינו עולה על [math]\displaystyle{ \aleph_0^k }[/math], ומכיוון שלk סופי מקבלים שמספר תת הקבוצות בגודל k הוא [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math]. כעת, קבוצת התת-קבוצות הסופיות היא איחוד זר של קבוצת תת הקבוצות מגודל אחד עם תת הקבוצות מגודל 2 וכו'. דהיינו, הגודל של קבוצת תת הקבוצות הסופיות הוא [math]\displaystyle{ \aleph_0 \cdot \aleph_0 }[/math], שזה בעצם (לפי מה שלמדנו) [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math].

יש התאמה חח"ע ועל בין הקבוצות הקוסופיות לקבוצות הסופיות ע"י שליחת קבוצה למשלימה, ולכן עוצמת תת הקבוצות הקו-סופיות גם היא [math]\displaystyle{ \aleph_0 }[/math].Adam Chapman 19:04, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה!!

פרטים בקשר למבחן

בחלק מהמקומות כתוב שהמבחן ב4 ובחלק 3 וחצי, אפשר שעה (וגם מיקום, אם אפשר) סופיים? תודה!

הרכבה ריקה

אם [math]\displaystyle{ S=\{(a,b)\} }[/math] ו-[math]\displaystyle{ R=\{(b,c)\} }[/math] אז S הרכבה R זו קבוצה ריקה, או "לא קיים"?

תשובה

"לא קיים" זה מונח בעייתי. מונח יותר נכון הוא "לא מוגדר". בהינתן יחסים R בין A לB וS בין C לD, ההרכבה [math]\displaystyle{ S \circ R }[/math] מוגדרת אם B=C. (כמו בפונקציות) במקרה שהצגת למעלה אני מניח שהתכוונת שS וR הם יחסים על A כלשהי שמכילה את a, b וc, ואז התשובה היא באמת קבוצה ריקה. Adam Chapman 18:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה. אני התכוונתי ש-S יחס מ-A ל-B ו-R יחס מ-B ל-C, אם כך התשובה פה היא לא מוגדר, אם הבנתי נכון.
הבנת נכון.Adam Chapman 18:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

סריג

אפשר בבקשה דוגמה לסריג?

תשובה

[math]\displaystyle{ \{a,b,c,d \} }[/math] עם היחס סדר חלקי "<" כדלקמן : a>b,a>c,b>d,c>d.

Adam Chapman 18:31, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

לפי ההגדרה, לכל שני איברים צריך להיות סופרימום ואינפימום. אתה יכול בבקשה לכתוב מהם לכל שני איברים?
אם תיקח שני איברים שאחד גדול מהשני תקבל שהסופרימום הוא הגדול בין השנים והאינפימום הוא הקטן בין השניים. הקושיה היחידה שנותרה היא מה קורה בין c לb ובמקרה זה האינפימום הוא d והסופרימום הוא a. Adam Chapman 18:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
אה, נראה לי שהבנתי. תודה. אבל "<" הוא לא יחס סדר חלקי, לא? (למשל אין רפלקסיביות)
"<" מעל המספרים הטבעיים הוא יחס סדר מלא (ולכן גם יחס סדר חלקי). פה הוא רק סימון. במקומו יכולתי לרשום R או כל דבר אחר. סתם נוח לי לרשום "<" כי אז ברור מה "כיוון" הסדר (כדי למנוע בלבול מקסימלי-מינימלי).Adam Chapman 19:36, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
אבל איך? הרי אין רפלקסיביות...

תשובה לשאלות על התשובה

נו! כשכתבתי ">" יחס סדר חלקי התכוונתי שהוא מקיים רפלקסיביות+ את היחסים שרשמתי+את היחסים שמקבלים מתוך היחסים שרשמתי בהינתן הטרנזיטיביות של היחס. אם אתה רוצה שארשום את כל הזוגות בצורה מפורטת אז הנה: [math]\displaystyle{ R=\{(a,a),(b,b),(c,c),(d,d),(b,a),(c,a),(d,a),(d,c),(d,b)\} }[/math]. מקווה שזה יסייע להבנה.Adam Chapman 19:56, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

וואו, זה מבלבל. תודה וסליחה על ההטרחה.

שאלה על אחת השאלות פה

מה זה: "מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים"? מה הכוונה?

מספר היחסים מA לA (למשל "קטן מ" בקבוצה של מספרים)
תודה. הכוונה לכל יחס אפשרי? אז יש אינסוף! למשל: קטן, גדול, מקיים [math]\displaystyle{ a-b \in Z }[/math], מקיים [math]\displaystyle{ a^2=b }[/math] ועוד ועוד ועוד... נראה לי שלא הבנתי.
ולמה זה הגודל של [math]\displaystyle{ P(A \times A) }[/math]?
העובדה שרשמת שלוש נקודות לא את הופכת הרשימה לאינסופית. יחס, כפי שלמדתם, הוא תת קבוצה של [math]\displaystyle{ A\times A }[/math]. הרי בין כל זוג סדור של איברים מהקבוצה יכול להתקיים היחס או לא להתקיים. היחס הוא הקבוצה של כל הזוגות הסדורים בינהם מתקיים היחס. בפרט, כל קבוצה המוכלת ב[math]\displaystyle{ A\times A }[/math] מהווה יחס אחד. אוסף כל היחסים הינו אוסף כל תתי הקבוצות הנ"ל וזה בדיוק [math]\displaystyle{ P(A\times A) }[/math]. ארז שיינר 15:15, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
אההה.. הבנתי. תודה! (ומה שאני רשמתי הוא אמנם אינסופי, כי למשל [math]\displaystyle{ a^n=b }[/math] לכל [math]\displaystyle{ n \in N }[/math] הוא יחס נפרד, אבל יש שם יחסים שקולים כי הקבוצה סופית).
בדיוק, ומעל קבוצה אינסופית כמו השלמים בהחלט יש אינסוף יחסים. ארז שיינר 15:38, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה 3 2008 מועד ב' סעיף ב'

אני לא מאמין, כתבתי עכשיו עשרות שורות של הפתרון שלי כדי לשאול אם הוא נכון, אבל זה נמחק לי =[. אז פשוט אשאל, אם אפשר, בבקשה, פתרון נכון לשאלה 3 סעיף ב', איזה פונקציה חח"ע ועל אפשר לעשות? זו שאלה קשה אז אני בטוח שיש עוד הרבה שירצו גם פתרון. תודה!!

אני גם בדיוק עושה אותה אבל יש לי דרך תיאורטית שאני לא בטוח שהיא נכונה. הרי יודעים שK בין 2 ל2 בחזקת ג, אם מראים שבשני מקרי הקצה של K הוא שווה ל2 בחזקת ג זה לא מספיק כדי להוכיח שוויון תמידי? זה קצת מוזר שלסעיף הזהיש 5 נקודות ולסעיף הראשון יש 10, הוא הרבה יותר קל
מצטערת בשבילך שהכל נמחק, בפעם הבאה אחרי כל כמה שורות תעתיק את כל מה שכתבת ואז תוכל להדביק במקרה הצורך.

שאלה 2 מועד ב' 2008

יש לי פתרון אבל אשמח מאם מישהו (עדיף מתרגל) ייתן את הפתרון כדי שאני אהיה בטוח, אני אנסה לכתוב את הפתרון שלי כאן: [math]\displaystyle{ (-1)^n*{1519-101n \choose 20} }[/math][math]\displaystyle{ {1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14} }[/math] שיאללה אני לא מאמין שהצלחתי לכתוב את זה

אני לא מתרגל, יצא לי דומה לשלך רק שהכנסתי את הגורם הראשון לתוך הסכום, וגם נראה לי שצריך להוסיף כמה פעמים כל חיתוך של קבוצות מופיע, למשל יש 2 מתוך 20 פעמים חיתוך 2 Ai ים (אם עשית את זה בעיקרון הכלה והדחה וצריך לצאת בערך כמו שלך רק עם i מתוך 20 בתוך הסכום
כן כן שמתי לב לזה עכשיו, כתבתי את החלק של הכמה יש מתוך בדף אבל התלהבתי כל כך שהצלחתי לכתוב את זה באתר ששכחתי להוסיף, התוצאה שלי היא כזאת:
[math]\displaystyle{ ((-1)^n*{1519-101n \choose 20}*{20 \choose n}) }[/math][math]\displaystyle{ {1519 \choose 20} + \sum_{n=1}^{14} }[/math]

האמת שעכשיו אני לא בטוח אם זה צריך להיות [math]\displaystyle{ {1519-101n \choose 20} }[/math] או [math]\displaystyle{ {1519-101n \choose 20-n} }[/math]

איך להוכיח (2008 מועד ב' שאלה 1 א')

האם אפשר להוכיח ככה, או שיש דרך אחרת? נניח [math]\displaystyle{ f(x1,u1)=f(x2,u2) }[/math] וכן [math]\displaystyle{ f(x1,u1)={v1 (muchal-be) u1 | x1 (shayach-le) v1}, f(x2,u2)=cmo-x1,u1 }[/math] ולכן לכל V1, V2 שמוכלים בU1, U2 מתקיים V1=V2 ולכן U1=U2 וגם x1=x2? משהו לא נכון בהוכחה הזאת נכון? אז איך מוכיחים? תודה!

תשובה+הערות כתיבה

1)אם רוצים לרשום לכתוב "}" אז כותבים }\ ואם רוצים לכתוב "{" אז כותבים {\.

2) "מוכל ב" כותבים (כשצד שמאל מוכל בצד ימין) subseteq\ וכשצד ימין מוכל בצד שמאל supseteq\. מוכל ממש זה אותה פקודה רק בלי הeq.

3) "שייך" ל רושמים (כשצד שמאל שייך לצד ימין) כin\ וכשצד ימין שייך לשמאל רושמים ni\.

עכשיו לגבי התשובה:

התשובה שלך איננה נכונה משום שאתה מנסה להוכיח טענה שהיא שקרית, דהיינו ניתן לתת לה דוגמאות נגדיות. A כוללת לפחות שני איברים שונים, נסמנם x1 וx2. כעת [math]\displaystyle{ f(x_1,\{x_2\})=\emptyset=f(x_2,\{x_1\}) }[/math], משמע f לא חח"ע. Adam Chapman 18:54, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלות 2א+ב מועד ב 2009

שלום רב, כיצד עליי לנמק בפתרון השאלה 2א? התחלתי את הפתרון כך:

"ישנם [math]\displaystyle{ n }[/math] מספרים בקבוצה ולכן סך כל האפשרויות לתמורות שונות הוא [math]\displaystyle{ n! }[/math]. כמו כן קיבלנו שתי אפשרויות:

1. [math]\displaystyle{ n }[/math] לפני [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]

2. [math]\displaystyle{ n }[/math] אחרי [math]\displaystyle{ n-1 }[/math]"

השאלה שלי היא איך אני מנמק לאחר מכן שקיימות [math]\displaystyle{ 0.5n! }[/math] תמורות כנדרש:

1. "...לכן לכל תמורה שתי אפשרויות ולכן בסה"כ יש [math]\displaystyle{ 0.5n! }[/math] תמורות שעונות לתנאי זה".

2. "כעת נגדיר [math]\displaystyle{ A }[/math] קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 1, [math]\displaystyle{ B }[/math] קבוצת כל התמורות העונות על תנאי 2. כמו כן נגדיר פונקציה [math]\displaystyle{ f:A-\gt B }[/math] ע"י לכל [math]\displaystyle{ x }[/math] ב-[math]\displaystyle{ A }[/math] יתקיים ש[math]\displaystyle{ f(x)=y }[/math]כאשר [math]\displaystyle{ y }[/math] היא התמורה בה איברי [math]\displaystyle{ x }[/math] מופיעים בסדר הפוך (כלומר התמורה [math]\displaystyle{ 1,2 }[/math] תהפוך ל-[math]\displaystyle{ 2,1 }[/math]). פונקציה זו חח"ע ועל ולכן [math]\displaystyle{ |A|=|B| }[/math] ומכיוון שהחיתוך ביניהם זר הרי שאפשר לומר ש-[math]\displaystyle{ |A|+|B|=2|A|=|C| }[/math] (כאשר [math]\displaystyle{ C }[/math] היא קבוצת כל התמורות). נציב [math]\displaystyle{ |C|=n! }[/math] ונקבל את העוצמה הדרושה של [math]\displaystyle{ A }[/math]...".

הבעיה היא שדרך 1 נקראית לי לא מפורטת מספיק ודרך 2 היא די ארוכה. בסעיף א זה עוד נסבל אבל בסעיף ב זה בכלל נורא כי כבר קיימות 6 אפשרויות (ואז עליי לבנות 6 פונקציות) אז איך עליי לנמק את מה שאמרתי? תודה מראש, גל.

תשובה

אני לא מתרגל אך יש לי את הפתרון שאדם כתב באחד התרגולים שלו. כמו שאמרת, יש סך הכל [math]\displaystyle{ n! }[/math] אפשרויות לסדר את המספרים. ניתן לחלק מספר זה של אפשרויות ל2 חלקים: חלק ראשון הוא האפשרויות ש[math]\displaystyle{ n-1 }[/math] מופיע לפני [math]\displaystyle{ n }[/math] והחלק השני הוא ההפוך- [math]\displaystyle{ n }[/math] מופיע לפני [math]\displaystyle{ n-1 }[/math], ניתן לראות כי 2 חלקים אלה הם שווים, נניח אתה בודק את מספר האפשרויות בהן [math]\displaystyle{ n-1 }[/math] מופיע לפני [math]\displaystyle{ n }[/math], אז מספר האפשרויות ההפוך הוא אותו מספר כיוון שהפעם החלפת בכל אפשרות בין [math]\displaystyle{ n }[/math] ל[math]\displaystyle{ n-1 }[/math], ולכן התוצאה היא [math]\displaystyle{ 0.5n! }[/math]. בסעיף ב' אתה משתמש בתוצאה של סעיף א' ואתה יודע שהיא מתחלקת ל-3 אפשרויות ובאותו אופן כמו בסעיף א' גם 3 אפשרויות אלה הן שוות ולכן בסך הכל התוצאה היא [math]\displaystyle{ 1/6n! }[/math]. אני שוב אומר שאני לא מתרגל אבל זאת הדרך בה אדם פתר את התרגיל הזה

הערונת

אתה מתכוון ל6 אפשרויות ולא שלוש (כל אפשרות שקולה לתמורה על שלושה איברים ומסםר התמורות על 3 איברים הוא 6), ולכן התוצאה שרשמת שהיא שישית ממספר התמורות על n איברים היא נכונה. Adam Chapman 18:09, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תשובה להערונת

התכוונתי שיש 3 אפשרויות כאשר יודעים כבר ש[math]\displaystyle{ n }[/math] מופיע לפני [math]\displaystyle{ n-1 }[/math], 3 אפשרויות אלה הן כאשר [math]\displaystyle{ n-2 }[/math] מופיע לפני שניהם, בניהם או אחרי שניהם (זה המספר שמחפשים), ובאותו אופן כמו בסעיף הקודם, גם פה 3 האפשרויות האלה שוות, ולכן כל אחת מהן שווה ל[math]\displaystyle{ 1/6n! }[/math] וסכומן שווה ל[math]\displaystyle{ 0.5n! }[/math] :) אבל תאכלס אפשר לעשות את זה שוב מההתחלה כשלא מתייחסים לסעיף א' ויש [math]\displaystyle{ n! }[/math] אפשרויות סך הכל ואז מחלקים את זה ל!3 אפשרויות שוות, כלומר 6.

סבבה, זו גם דרך. רק עשה לי טובה, במקרים כאלה במבחן, אם אתה מניח הנחות יסוד כאלו, כמו שאתה מדבר על "אפשרויות כאשר יודעים כבר ש[math]\displaystyle{ n }[/math] מופיע לפני [math]\displaystyle{ n-1 }[/math], 3", אז רשום זאת! אל תיתן לבודק לנחש את זה, כי זה עלול להוריד נקודות. מספיק שרשמת את שתי המילים האלו וזה כבר ניקוד מלא. בהצלחה במבחן! Adam Chapman 12:48, 5 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה קצרצרה נוספת

מספר היחסים על קבוצה בעלת n איברים, זה בעצם מספר הפונקציות מA לA, כלומר n בחזקת n? או משהו אחר? תודה!

תשובה

מספר היחסים על קבוצה A בת n איברים היא הגודל של [math]\displaystyle{ P(A \times A) }[/math], שהיינו [math]\displaystyle{ 2^{n^2} }[/math]. Adam Chapman 11:57, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה קצרה מאוד על עוצמות

קבוצת כל הפונקציות מהטבעיים לקבוצת תת הקבוצות של הטבעיים, מהי עוצמתה? לפי החישוב שלי, הקבוצה שווה לP)N( בחזקת N, כלומר העוצמה שווה ל-א בחזקת א0. אך מהי העוצמה א בחזקת א0? א? או יותר, 2 בחזקת א? איך אפשר לדעת את זה? תודה רבה!

תשובה

ישנן כמה נוסחאות לגבי עוצמות אינסופיות שצריך לדעת. אחת מהן היא שאם [math]\displaystyle{ k }[/math] אינסופית ו[math]\displaystyle{ \lambda\lt k }[/math] אזי [math]\displaystyle{ k^\lambda=k }[/math]. Adam Chapman 11:29, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

3 שאלות על הרכבת פונקציות

-אם [math]\displaystyle{ g*f=Id }[/math] אז [math]\displaystyle{ g(f(x))=x }[/math] או ש [math]\displaystyle{ f(g(x))=x }[/math]? כי ניתקלתי בבעיה שקשורה לזה (השאלה השניה). -אפשר להגיד ש אם F חחע אז F הפיכה משמאל ואם F על אז היא הפיכה מימין, נכון? -איך מוכיחים את מה שצריך להוכיח בשאלה 2 במבחן 2007 מועד א' (http://math-wiki.com/images/4/4f/BdidaExamMoedA2007.pdf) ?

ב-א', הוכחתי את הכיוון משמאל לימין, ע"י כך שאם g1*f=g2*f אז בגלל שf הפיכה מימין אז נרכיב את f-1 מימין ואז g1=g2. בכיוון השני נתקעתי.
ב-ב', לא הצלחתי בכלל. התחלתי ככה: צריך להוכיח שf חחע, כלומר או שנוכיח שאם f(a1)=f(a2) אז a1=a2 או שנוכיח שהיא הפיכה משמאל (לא בטוח מה עדיף). הפונקציה הזאת שמסומנת בסימון של קבוצה ריקה היא על ולכן והפיכה מימין, ולכן O*h=Id ולכן (ופה נתקעתי, לא הייתי בטוח [math]\displaystyle{ O(h(x))=x }[/math] ולכן (?) [math]\displaystyle{ h(x)*f=x }[/math] ופה יש משהו לא הגיוני. אפשר עזרה? תודה!

תשובה

אם [math]\displaystyle{ g*f=Id }[/math] אז [math]\displaystyle{ g(f(x))=x }[/math].

בקשר לשאלה במבחן הנ"ל, הפיתרון הפשוט (לדעתי) של הסעיף הוא כדלקמן:

כיוון אחד

1) אם [math]\displaystyle{ f }[/math] חח"ע אזי היא הפיכה משמאל ע"י איזושהי פונקציה שנסמנה [math]\displaystyle{ h : B \rightarrow A }[/math].

2) כעת, לכל פונקציה [math]\displaystyle{ \psi \in C^A }[/math] יש מקור [math]\displaystyle{ g=\psi \circ h \in C^B }[/math] לפי פונקציה [math]\displaystyle{ \Phi }[/math], כי [math]\displaystyle{ \Phi(g)=g \circ f=\psi \circ h \circ f=\psi }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] על.

כיוון שני

1) אם [math]\displaystyle{ f }[/math] לא חח"ע אז קיימים [math]\displaystyle{ a_1,a_2 \in A }[/math] שונים כך ש[math]\displaystyle{ f(a_1)=f(a_2) }[/math].

2) לכן לכל [math]\displaystyle{ g \in C^B }[/math], הפונקציה [math]\displaystyle{ \Phi(g)=g \circ f }[/math] מקיימת [math]\displaystyle{ g \circ f(a_1)=g \circ f(a_2) }[/math].

3) אולם, קיימות הפונקציות [math]\displaystyle{ h \in C^A }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ h(a_1) \neq h(a_2) }[/math], כי [math]\displaystyle{ C }[/math] מכילה לפחות שני איברים, וכתצואה מכך [math]\displaystyle{ \Phi }[/math] איננה על.

Adam Chapman 11:25, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

אם F חחע אז היא הפיכה משמאל, לא מימין, לא?

צודק, רשמתי את ה"הפיכה מימין" כשהתכוונתי להפיכה משמאל, וגם השתמשתי בה כהפיכה משמאל כך שהמילה "ימין" צריכה פשוט להיות מוחלפת ב"משמאל". אשנה זאת מיד.79.180.9.140 19:11, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

שאלה (קצת מוזרה, אבל מבלבלת) על איחוד קבוצות

נניח שX שייך לA חיתוך B חיתוך C. אני יכול להגיד בוודאות ש X שייך ל

(AחיתוךBחיתוךC) איחוד (AחיתוךBחיתוךC'(משלים)) איחוד (AחיתוךB'חיתוךC') איחוד (A'חיתוךB'חיתוךC)? האם זה נכון בטוח בגלל שאחד מהגורמים באיחוד הוא A חיתוך B חיתוך C? תודה!

תשובה

כן. ניתן לומר זאת בודאות כי אחד הגורמים באיחוד הוא הוא A חיתוך B חיתוך C.

Adam Chapman 10:49, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה רבה אני מאוד מעריך את כל העזרה שלך!!

עזרה (מבחן 2009 מועד ב' שאלה 7 ב'2 .)

הוכחתי את 1, ע"י חילוק למקרים, אם C=100 אז A וB יכולים להיות מ1 עד 99, 99 בריבוע אפשרויות, אם C=98 אז יש 98 בריבוע אפשרויות וכך הלאה ומקבלים את הסכום הדרוש. אבל לא משנה איך אני מנסה להסתכל על זה, אני לא רואה איך העוצמה של S שווה לתוצאה שכתובה ב2. אפשר עזרה לפני המבחן? תודה רבה!!

תשובה

את חלק ב' מוכיחים באופן קומבינטורי. כשיש לנו שלישיה סדורה [math]\displaystyle{ (a,b,c) }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ a\lt b \wedge a\lt c }[/math] אז קורה אחד (ואחד בלבד) משלושת הדברים הבאים:1) [math]\displaystyle{ b=c }[/math] או 2) [math]\displaystyle{ b\lt c }[/math] או 3) [math]\displaystyle{ b\gt c }[/math]. כל המקרים ב1) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת שני איברים מתוך 100, הצבת הקטן מבין השניים באינדקס הראשון והצבת הגדול מבין השניים באינדקסים השני והשלישי; כל המקרים ב2) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטן ביותר באינדקס הראשון, הצבת האמצעי באינדקס השני והצבת הגדול ביותר באינדקס השלישי; כל המקרים ב3) מכוסים באופן חח"ע ועל על-ידי בחירת 3 איברים מתוך מאה, הצבת הקטןביותר באינדקס הראשון, הצבת הגדול ביותר באינדקס השני והצבת האמצעי באינדקס השלישי. עקב כך, מקבלים את הנוסחה הרשומה בטופס המבחן בסעיף ב'.Adam Chapman 10:46, 4 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה

איחוד או חיתוך

סליחה שאני שואלת המון שאלות..

איך מוכיחים שאם X מוכלת ב-A חיתוך B אז X מוכלת ב-A וגם X מוכלת ב-B? (במיוחד צריך לשים לב שההוכחה לא מתאימה גם לאיחוד במקום חיתוך, בשונה מההוכחה אצלי במחברת)

שוב, תודה מראש!

שאלות זה טוב

אם [math]\displaystyle{ X \subseteq A \bigcap B }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x \in A \bigcap B }[/math], דהיינו [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] וגם [math]\displaystyle{ x \in B }[/math]. מכיוון שלכל [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] אז [math]\displaystyle{ X \subseteq A }[/math], ומכיוון שלכל [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x \in B }[/math] אז [math]\displaystyle{ X \subseteq B }[/math]. Adam Chapman 00:16, 4 בספטמבר 2010 (IDT)


תודה רבה, אבל: אם [math]\displaystyle{ X \subseteq A \bigcup B }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x \in A \bigcup B }[/math], דהיינו [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] או [math]\displaystyle{ x \in B }[/math]. לכל [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] ואז*** [math]\displaystyle{ X \subseteq A }[/math], או [math]\displaystyle{ x \in B }[/math] ואז*** [math]\displaystyle{ X \subseteq B }[/math].
מה שמסומן ב-*** כמובן לא נכון, אבל איך מסבירים את זה שהדבר נכון רק עבור חיתוך ולא איחוד?
כל [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] מקיים [math]\displaystyle{ x\in A }[/math] -או- [math]\displaystyle{ x\in B }[/math]. בפרט, מאד ייתכן שקיים [math]\displaystyle{ x\in X }[/math] כך ש[math]\displaystyle{ x\notin A }[/math]. אתה שינית לוגית את המשפט - במקום לומר 'כל איבר שייך לA או B' אמרת 'כל האיברים שייכים לA או כל האיברים שייכים לB'. ארז שיינר 01:18, 4 בספטמבר 2010 (IDT)
באמת שיניתי לוגית את המשפט בלי לשים לב! אם כך, רק אם לכל [math]\displaystyle{ x \in X }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ x \in A }[/math] אז [math]\displaystyle{ X \subseteq A }[/math], ובאיחוד זה לא לכל x. הבנתי, תודה לכם!

הוכחה טריוויאלית

מהי הדרך הנכונה ביותר להוכיח שאם [math]\displaystyle{ P(A) }[/math] מוכל (או שווה) ב(ל)-[math]\displaystyle{ P(B) }[/math] אז A מוכל (או שווה) ב(ל)-B?

(פשוט ההוכחה אצלי במחברת לא ברורה לי)

תשובה

אם [math]\displaystyle{ P(A) \subseteq P(B) }[/math] אז לכל [math]\displaystyle{ X \in P(A) }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ X \in P(B) }[/math]. בפרט, [math]\displaystyle{ A \in P(A) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ A \in P(B) }[/math], כלומר [math]\displaystyle{ A \subseteq B }[/math]. Adam Chapman 23:57, 3 בספטמבר 2010 (IDT)

אהה, תודה!

יחסים

האם האיבר הקטן ביותר הוא תמיד המינימלי היחיד? (כשהוא קיים)

תשובה

כן Adam Chapman 23:32, 3 בספטמבר 2010 (IDT)

תודה!



אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=בדידה_לתיכוניסטים_תש%22ע_-_שאלות_ותשובות&oldid=6383"