אינטגרציה בחלקים: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־00:41, 27 בינואר 2016

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

[math]\displaystyle{ \int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'} }[/math]

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:

[math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f }[/math]

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

[math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=\cos(x)\ ,\ g=x }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=\sin(x)\ ,\ g'=1 }[/math]

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

[math]\displaystyle{ \int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C }[/math] .

ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.

[math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ I=\int{e^x\cdot\cos(x)} }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big) }[/math]

ומכאן יוצא

[math]\displaystyle{ \int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C }[/math] .

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כנגזרת של הפונקציה [math]\displaystyle{ x }[/math] ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}= }[/math]

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

[math]\displaystyle{ 2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}} }[/math]

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אינפי]]
 ==הגדרה==
-'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה:
+'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:
-::<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math>
+:<math>\int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'}</math>
-הנוסחא נובעת מיידית מנוסחאת גזירת כפל:
+הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
-::<math>(fg)'=f'g+g'f</math>
+:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>
 ==דוגמאות==
-א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על ידי גזירתו. ייתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
+א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
-<math>\int{xcos(x)}=?</math>
+<math>\int{x\cdot\cos(x)}=?</math>
-נסמן <math>f'=cos(x),g=x</math>
+נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math>
-ולכן <math>f=sin(x),g'=1</math>
+ולכן <math>f=\sin(x)\ ,\ g'=1</math>
-ולפי נוסחאת אינטגרציה בחלקים מתקיים
+לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
-::<math>\int{xcos(x)}=xsin(x)-\int{sin(x)}=xsin(x)+cos(x)+C</math>
+:<math>\int{x\cdot\cos(x)}=x\cdot\sin(x)-\int{\sin(x)}=x\cdot\sin(x)+\cos(x)+C</math> .
+ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעיה.
+<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=?</math>
-ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעייה.
+נסמן <math>I=\int{e^x\cdot\cos(x)}</math>
-<math>\int{e^xcos(x)}=?</math>
-נסמן
-::<math>I=\int{e^xcos(x)}</math>
 לכן
-::<math>I=e^xcos(x)+\int{e^xsin(x)}=e^xcos(x)+e^xsin(x)-\int{e^xcos(x)}=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)-I</math>
+:<math>I=e^x\cdot\cos(x)+\int{e^x\cdot\sin(x)}=e^x\cdot\cos(x)+e^x\cdot\sin(x)-\int{e^x\cdot\cos(x)}=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math>
 ולכן
-::<math>2I=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)</math>
+:<math>2I=e^x\big(sin(x)+\cos(x)\big)</math>
 ומכאן יוצא
-::<math>\int{e^xcos(x)}=I=\frac{e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)}{2}+C</math>
+:<math>\int{e^x\cdot\cos(x)}=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math> .
+ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
-ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע 1 כנגזרת של הפונקציה x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעייה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
 <math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>
-נסמן <math>f'=1,g=\sqrt{a^2-x^2}</math>
+נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math>
-ולכן <math>f=x,g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
+ולכן <math>f=x\ ,\ g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
-נפעיל את נוסחאת אינטגרציה בחלקים:
+נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
-::<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
+:<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
-::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
+:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
-::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
+:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
 ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
-::<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>
+:<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac1{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>
-כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]]
+כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].