מבחני התכנסות לאינטגרלים לא אמיתיים: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־22:07, 27 בינואר 2016

אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון

מבחן ההשוואה הראשון

יהי [math]\displaystyle{ a\in\R }[/math], ותהי נקודה [math]\displaystyle{ c\ge a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge 0 }[/math].

אזי מתקיים:

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty g(x)dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad }[/math] מתכנס

[math]\displaystyle{ \int\limits_a^\infty f(x)dx }[/math] מתבדר [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad }[/math] מתבדר

דוגמא.

קבע האם [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx }[/math] מתכנס או מתבדר

פתרון. נשים לב כי [math]\displaystyle{ \arctan(x) }[/math] היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:

[math]\displaystyle{ \forall\ x\gt 1 : \arctan(x)\gt \arctan(1)=\frac{\pi}{4}\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ \forall\ x\gt 1:\frac{\arctan(x)}{x}\gt \frac{\pi}{4x}\gt 0 }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac1x dx }[/math] מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.

מבחן ההשוואה הגבולי

יהי [math]\displaystyle{ a\in\R }[/math], ותהיינה שתי פונקציות [math]\displaystyle{ f(x),g(x) }[/math] כך ש: [math]\displaystyle{ \forall\ x\ge a:f(x),g(x)\gt 0 }[/math]

יהי הגבול: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L }[/math]

אזי:

אם [math]\displaystyle{ L\gt 0 , L\in\R }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx }[/math] ו- [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx }[/math] מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").

אם [math]\displaystyle{ L=0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad }[/math] מתכנס.

אם [math]\displaystyle{ L=\infty }[/math] אז [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx }[/math] מתכנס [math]\displaystyle{ \displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad }[/math] מתכנס.

דוגמאות

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-==אינטגרלים לא אמיתיים מסוג ראשון==
+==אינטגרלים לא-אמיתיים מסוג ראשון==
 ===מבחן ההשוואה הראשון===
-יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהי נק' <math> c\geq a </math> כך שמתקיים <math> \forall_{x\geq c} : g(x)\geq f(x)\geq 0 </math>.
+יהי <math>a\in\R</math>, ותהי נקודה <math>c\ge a</math> כך שמתקיים <math>\forall\ x\ge c:g(x)\ge f(x)\ge 0</math>.
 אזי מתקיים:
-<math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x </math> מתכנס <math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x  \Leftarrow</math> מתכנס
+<math>\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס
-<math> \int_a^{\infty} f(x)\mathrm{d}x </math> מתבדר <math> \int_a^{\infty} g(x)\mathrm{d}x  \Leftarrow</math> מתבדר
+<math>\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתבדר <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתבדר
 <font size=4 color=#a7adcd>
@@ שורה 13: / שורה 13: @@
 </font>
-קבע האם <math> \int_1^\infty \frac{\arctan(x)}{x} \mathrm{d}x </math> מתכנס או מתבדר
+קבע האם <math>\displaystyle\int\limits_1^\infty\frac{\arctan(x)}{x}dx</math> מתכנס או מתבדר
 '''פתרון.'''
-נשים לב כי <math> \arctan(x) </math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
+נשים לב כי <math>\arctan(x)</math> היא פונקציה מונוטונית עולה ולכן בתחום האינטגרציה:
-<math> \forall_{x>1}: \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0 </math> ולכן <math> \forall_{x>1}: \frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>
+<math>\forall\ x>1 : \arctan(x)>\arctan(1)=\frac{\pi}{4}>0</math> ולכן <math>\forall\ x>1:\frac{\arctan(x)}{x}>\frac{\pi}{4x}>0 </math>
-<math> \int_1^\infty \frac{\pi}{4x}\mathrm{d}x= \frac{\pi}{4} \int_1^\infty \frac1x \mathrm{d}x </math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
+<math>\int\limits_1^\infty\frac{\pi}{4x}dx= \frac{\pi}{4}\int\limits_1^\infty\frac1x dx</math> מתבדר, ולכן, עפ"י מבחן ההשוואה הראשון, האינטגרל שלנו גם כן מתבדר.
 ===מבחן ההשוואה הגבולי===
+יהי <math>a\in\R</math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x),g(x)</math> כך ש: <math>\forall\ x\ge a:f(x),g(x)>0</math>
-יהי <math> a \in \mathbb{R} </math>, ותהיינה שתי פונקציות <math>f(x), g(x)</math> כך ש:
-<math>\forall_{x\geq a}:f(x),g(x)>0</math>
 יהי הגבול:
-<math>\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
+<math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L</math>
 '''אזי:'''
-אם <math>L>0 , L\in\mathbb{R}</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> ו- <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
+אם <math>L>0 , L\in\R</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> ו- <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנסים או מתבדרים יחדיו ("חברים").
-אם <math>L=0</math> אז <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.
-אם <math>L=\infty</math> אז <math>\int_a^\infty f(x)\mathrm{d}x</math> מתכנס <math>\int_a^\infty g(x)\mathrm{d}x \Leftarrow</math> מתכנס.
+אם <math>L=0</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס.
+אם <math>L=\infty</math> אז <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty f(x)dx</math> מתכנס <math>\displaystyle\int\limits_a^\infty g(x)dx\quad \Leftarrow\quad</math> מתכנס.
 ===דוגמאות===
 [[מדיה:GeneralIntegration.pdf|דוגמאות]]