הבדלים בין גרסאות בדף "88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
|||
שורה 3: | שורה 3: | ||
==1== | ==1== | ||
+ | L הנו גבול הסדרה <math>\{a_n\}</math> אם לכל <math>\epsilon>0</math> קיים מקום בסדרה <math>N_\epsilon</math> כך שלכל <math>n>N_\epsilon</math> מתקיים <math>|a_n-L|<\epsilon</math> . | ||
− | L | + | L '''אינו''' גבול הסדרה <math>\{a_n\}</math> אם '''קיים''' <math>\epsilon>0</math> כך ש'''לכל''' מקום <math>N</math> בסדרה '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|\ge\epsilon</math> . |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
==2== | ==2== | ||
שורה 16: | שורה 14: | ||
==4== | ==4== | ||
+ | כיון שהאיבר הראשון חיובי, ושאר האיברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן | ||
+ | :<math>a_{n+1}<a_n \iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}</math> | ||
+ | ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר <math>c>1</math> הסדרה מונוטונית עולה, כאשר <math>c=1</math> קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר <math>0<c<1</math> הסדרה מונוטונית יורדת. | ||
− | + | כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע <math>1</math> ולכן זהו גבולה. | |
− | + | כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי <math>0</math> ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה: | |
− | + | נסמן <math>\lim a_n=L</math> ולכן <math>\lim a_{n+1}=L</math> ולכן: | |
+ | :<math>L^2=L</math> | ||
+ | כלומר <math>L</math> שווה ל- <math>1</math> או <math>0</math>. כיוון שאנו עוסקים במקרה בו <math>c<1</math> והסדרה מונוטונית יורדת, <math>L=\lim a_n\le c<1</math> ולכן הגבול שווה <math>0</math>. | ||
− | כאשר הסדרה מונוטונית | + | באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- <math>1</math> בסתירה. |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
==5== | ==5== | ||
− | |||
משיעורי הבית | משיעורי הבית | ||
שורה 43: | שורה 34: | ||
===א=== | ===א=== | ||
− | חסומה כפול שואפת | + | חסומה כפול שואפת ל- <math>0</math> לכן שואף ל- <math>0</math> |
===ב=== | ===ב=== | ||
− | <math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8}=9\sqrt[n]{8}\ | + | <math>\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot 9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot 8}=9\sqrt[n]{8}\to 9</math> |
===ג=== | ===ג=== | ||
− | <math>L=\frac{L^2}{2}+\ | + | <math>L=\frac{L^2}{2}+\frac12</math> ולכן <math>L=1</math> |
===ד=== | ===ד=== | ||
− | + | <math>\bigg(1+\frac{3n}{n^2+1}\bigg)^n=\Bigg(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\Bigg)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}} | |
− | <math>\ | + | =\Bigg(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\Bigg)^{\Big(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\Big)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3</math> |
− | =\ | + | |
− | =\ | + | |
− | \ | + | |
− | </math> | + | |
===ה=== | ===ה=== | ||
− | + | לפי משפט אם הגבול <math>\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים ש- <math>\lim\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון) | |
− | לפי משפט אם הגבול <math>\lim\frac{a_{n+1}}{a_n}=L</math> קיים, אזי מתקיים ש <math>\lim\sqrt[n]{a_n}=L</math> (בכיוון ההפוך זה לא נכון) | + | |
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: | לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: | ||
− | <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2(n+1))!(n!)^2}{((n+1)!)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}\ | + | <math>\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4</math> |
גרסה מ־22:35, 27 בינואר 2016
1
L הנו גבול הסדרה אם לכל קיים מקום בסדרה כך שלכל מתקיים .
L אינו גבול הסדרה אם קיים כך שלכל מקום בסדרה קיים כך ש- .
2
משיעורי הבית
3
משיעורי הבית
4
כיון שהאיבר הראשון חיובי, ושאר האיברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן
ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר הסדרה מונוטונית עולה, כאשר קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר הסדרה מונוטונית יורדת.
כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע ולכן זהו גבולה.
כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:
נסמן ולכן ולכן:
כלומר שווה ל- או . כיוון שאנו עוסקים במקרה בו והסדרה מונוטונית יורדת, ולכן הגבול שווה .
באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ- בסתירה.
5
משיעורי הבית
6
א
חסומה כפול שואפת ל- לכן שואף ל-
ב
ג
ולכן
ד
ה
לפי משפט אם הגבול קיים, אזי מתקיים ש- (בכיוון ההפוך זה לא נכון)
לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה: