88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מדמח/פתרון בוחן 1

מתוך Math-Wiki
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

בוחן 1 לתלמידי מדעי המחשב

תוכן עניינים

1

L הנו גבול הסדרה a_n אם לכל \varepsilon>0 קיים מקום בסדרה N כך שלכל n>N מתקיים |a_n-L|<\varepsilon .

L אינו גבול הסדרה a_n אם קיים \varepsilon>0 כך שלכל מקום N בסדרה קיים n>N כך ש- |a_n-L|\ge\varepsilon .

2

משיעורי הבית

3

משיעורי הבית

4

כיון שהאבר הראשון חיובי, ושאר האברים הם ריבועים, קל לראות כי כל הסדרה חיובית. לכן

a_{n+1}<a_n\iff a_n^2<a_{n-1}^2\iff a_n<a_{n-1}

ניתן על כן להוכיח באינדוקציה כי מונוטוניות הסדרה נקבעת על-ידי הזוג הראשון. כאשר c>1 הסדרה מונוטונית עולה, כאשר c=1 קל לראות שהסדרה קבועה, וכאשר 0<c<1 הסדרה מונוטונית יורדת.

כאשר הסדרה מונוטונית קבועה, היא קבוע 1 ולכן זהו גבולה.

כאשר הסדרה מונוטונית יורדת היא חסומה מלרע על-ידי 0 ולכן מתכנסת (מונוטונית וחסומה). נמצא את גבולה:

נסמן \lim\limits_{n\to\infty}a_n=L ולכן \lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}=L ולכן:

L^2=L

כלומר L=1 או L=0 . כיון שאנו עוסקים במקרה בו c<1 והסדרה מונוטונית יורדת, L=\lim\limits_{n\to\infty}a_n\le c<1 ולכן L=0 .

באופן דומה, כאשר הסדרה מונוטונית עולה, אם היא הייתה מתכנסת גבולה היה גדול מ-1 בסתירה.

5

משיעורי הבית

6

א

חסומה כפול שואפת ל-0 לכן שואף ל-0

ב

\sqrt[n]{9^{n+1}-3^{2n}}=\sqrt[n]{9\cdot9^n-9^{n}}=\sqrt[n]{9^n\cdot8}=9\sqrt[n]8\to9

ג

L=\frac{L^2}{2}+\frac12 ולכן L=1

ד

\left(1+\frac{3n}{n^2+1}\right)^n=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{n\cdot\frac{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}=\left(1+\frac1{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}\right)^{\left(\frac{n}{3}+\frac1{3n}\right)\cdot{\frac{n}{\frac{n}{3}+\frac1{3n}}}}\to e^3

ה

לפי משפט אם הגבול \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=L קיים, אזי מתקיים \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=L (בכיוון ההפוך זה לא נכון)

לכן מספיק לחשב את הגבול הראשון, במקרה זה:

\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\big(2(n+1)\big)!(n!)^2}{\big((n+1)!\big)^2(2n)!}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2}=\frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2}=\frac{4n+2}{n+1}\to 4