88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/סדרות/מונוטוניות: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
|||
| שורה 7: | שורה 7: | ||
'''דוגמאות.''' | '''דוגמאות.''' | ||
*<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30, | *<math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\dots</math> | ||
*<math>0,0.9,0.99,0.999, | *<math>0,0.9,0.99,0.999,\dots</math> | ||
*<math>1,\ | *<math>1,\frac12,\frac13,\dots</math> | ||
| שורה 21: | שורה 21: | ||
</font> | </font> | ||
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\ | הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת <math>a_n=\frac1{n}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n}</math> | ||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל n מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\ | נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל <math>n</math> מתקיים <math>a_{n+1}-a_n\le 0</math> ולכן הסדרה מונוטונית יורדת. | ||
:<math>a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3}</math> | |||
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1{n}\le \frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1{n}=0</math> | |||
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי <math>0</math> , ולכן הסדרה מתכנסת. | |||
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על ידי | |||
| שורה 40: | שורה 38: | ||
</font> | </font> | ||
יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות ''' | יהיו <math>\alpha,\beta>0</math> ונגדיר <math>a_1=\alpha,b_1=\beta</math>. כעת, נגדיר סדרות באמצעות '''נוסחת הנסיגה''' (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו): | ||
:<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}</math> | |||
:<math>b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}</math> | |||
הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות. | הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות. | ||
'''פתרון.''' אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה <math>a_n</math> גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה <math>b_n</math> (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם '''אי-שליליים'''. | |||
:<math>a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\ge 0</math> | |||
אם כך, מתקיים כי | אם כך, מתקיים כי | ||
:<math>a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n</math> | |||
ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן | ולכן <math>a_n</math> מונוטונית יורדת. כמו כן | ||
:<math>b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n</math> | |||
ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה. | ולכן <math>b_n</math> מונוטונית עולה. | ||
נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים: | נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים: | ||
:<math>b_2\le b_n\le a_n\le a_2</math> | |||
ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. | ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות. | ||
| שורה 80: | שורה 72: | ||
</font> | </font> | ||
יהי <math>0<c<1</math>. נגדיר סדרה על ידי תנאי ההתחלה | יהי <math>0<c<1</math> . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה | ||
:<math>a_1=c</math> | :<math>a_1=c</math> | ||
ונוסחת הנסיגה | |||
:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math> | :<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math> | ||
הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה. | הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה. | ||
'''פתרון.''' | '''פתרון.''' | ||
נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על מנת לבדוק מונוטוניות: | נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות: | ||
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} - (\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math> | :<math>a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}-(\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}</math> | ||
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה: | נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה: | ||
עבור <math>n=1</math> : | |||
עבור n=1: | |||
:<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math> | :<math>a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}<0</math> | ||
(זה נכון | (זה נכון כיון ש- <math>c^2<c\cdot 1 = c</math> לפי הנתון <math>c<1</math> .) | ||
נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math>. | נניח, אם כן, כי <math>a_n-a_{n-1}<0</math> ונוכיח כי <math>a_{n+1}-a_n<0</math> . כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל <math>a_n^2<a_{n-1}^2</math> . | ||
לפי החישוב לעיל מתקיים: | לפי החישוב לעיל מתקיים: | ||
:<math>a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}<0</math> | |||
כפי שרצינו. | כפי שרצינו. | ||
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי <math>0</math> (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה. | |||
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: <math>\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}</math> . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה. | |||
'''שימו לב''' לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי <math>L</math> כך ש- <math>\lim a_n = L</math> . נביט בנוסחת הנסיגה | |||
:<math>a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math> | |||
נפעיל גבול על שני הצדדים ( | נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור) | ||
:<math>\lim a_{n+1}=\lim\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}</math> | |||
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר: | לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר: | ||
:<math>L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2}</math> | |||
:<math>L^2-2L+c=0</math> | |||
:<math>L=1\pm\sqrt{1-c}</math> | |||
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- <math>a_1=c<1<1+\sqrt{1-c}</math> ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול). | |||
לכן סה"כ, גבול הסדרה | לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו <math>L=1-\sqrt{1-c}</math> | ||
גרסה מ־19:00, 3 בפברואר 2016
סדרות מונוטוניות
הגדרה. סדרה נקראת מונוטונית עולה (יורדת) אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמו)
דוגמאות.
- [math]\displaystyle{ 1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,\dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ 0,0.9,0.99,0.999,\dots }[/math]
- [math]\displaystyle{ 1,\frac12,\frac13,\dots }[/math]
משפט. סדרה מונוטונית וגם חסומה מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומה, מתכנסת במובן הרחב.
תרגיל.
הוכח שהסדרה הבאה מתכנסת [math]\displaystyle{ a_n=\frac1{n}+\frac1{n+1}+\cdots+\frac1{3n} }[/math]
פתרון.
נוכיח כי הסדרה מונוטונית וחסומה, ואז מתכנסת לפי המשפט. נוכיח כי לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\le 0 }[/math] ולכן הסדרה מונוטונית יורדת.
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{3n+3} }[/math]
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac1{3n+1}+\frac1{3n+2}+\frac1{3n+3}-\frac1{n}\le \frac1{3n}+\frac1{3n}+\frac1{3n}-\frac1{n}=0 }[/math]
לכן הסדרה מונוטונית יורדת, יש לחסום אותה מלמטה על-מנת שתתכנס. אבל קל לראות שכל איברי הסדרה חיוביים ולכן חסומים מלמטה על-ידי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] , ולכן הסדרה מתכנסת.
תרגיל.
יהיו [math]\displaystyle{ \alpha,\beta\gt 0 }[/math] ונגדיר [math]\displaystyle{ a_1=\alpha,b_1=\beta }[/math]. כעת, נגדיר סדרות באמצעות נוסחת הנסיגה (כלומר כל איבר בסדרה יוגדר באמצעות קודמיו):
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n} }[/math]
הוכיח כי שתי הסדרות מתכנסות.
פתרון. אנו נוכיח כי שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות. ראשית, נוכיח כי איברי הסדרה [math]\displaystyle{ a_n }[/math] גדולים בהתאמה מאיברי הסדרה [math]\displaystyle{ b_n }[/math] (פרט אולי לאיבר הראשון שיכול להבחר באופן חופשי). נשים לב כי לפי הגדרת הסדרות והאיברים הראשונים, כל איברי הסדרות הנם אי-שליליים.
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}-b_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}-\sqrt{a_nb_n}=\frac{_n-2\sqrt{a_n\cdot b_n}+b_n)}{2}=\frac{(\sqrt{a_n}-\sqrt{b_n})^2}{2}\ge 0 }[/math]
אם כך, מתקיים כי
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{a_n+b_n}{2}\le\frac{a_n+a_n}{2}=a_n }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ a_n }[/math] מונוטונית יורדת. כמו כן
- [math]\displaystyle{ b_{n+1}=\sqrt{a_n\cdot b_n}\ge\sqrt{b_n\cdot b_n}=b_n }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ b_n }[/math] מונוטונית עולה.
נותר להראות כי הסדרות חסומות. נשים לב כי מתקיים:
- [math]\displaystyle{ b_2\le b_n\le a_n\le a_2 }[/math]
ולכן שתי הסדרות מונוטוניות וחסומות ולכן מתכנסות.
תרגיל.
יהי [math]\displaystyle{ 0\lt c\lt 1 }[/math] . נגדיר סדרה על-ידי תנאי ההתחלה
- [math]\displaystyle{ a_1=c }[/math]
ונוסחת הנסיגה
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} }[/math]
הוכח כי הסדרה מתכנסת ומצא את גבולה.
פתרון.
נבדוק מהו ההפרש בין שני איברים עוקבים על-מנת לבדוק מונוטוניות:
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2}-(\frac{c}{2}+\frac{a_{n-1}^2}{2})=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2} }[/math]
נראה כי הפרש בין זוגות שומר על סימן הזוג הקודם. לכן, נוכיח כי הסדרה מונוטונית באמצעות אינדוקציה:
עבור [math]\displaystyle{ n=1 }[/math] :
- [math]\displaystyle{ a_2-a_1=\frac{c}{2}+\frac{c^2}{2}-c=\frac{c^2}{2}-\frac{c}{2}\lt 0 }[/math]
(זה נכון כיון ש- [math]\displaystyle{ c^2\lt c\cdot 1 = c }[/math] לפי הנתון [math]\displaystyle{ c\lt 1 }[/math] .)
נניח, אם כן, כי [math]\displaystyle{ a_n-a_{n-1}\lt 0 }[/math] ונוכיח כי [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n\lt 0 }[/math] . כיון שכל איברי הסדרה חיוביים (כל איבר בסדרה מוגדר על-ידי סכום של קבוע חיובי וריבוע), מותר להעלות את אגפי אי-השוויון בריבוע ולקבל [math]\displaystyle{ a_n^2\lt a_{n-1}^2 }[/math] .
לפי החישוב לעיל מתקיים:
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}-a_n=\frac{a_n^2-a_{n-1}^2}{2}\lt 0 }[/math]
כפי שרצינו.
על כן הסדרה מונוטונית יורדת, וחסומה על-ידי [math]\displaystyle{ 0 }[/math] (הרי איבריה חיוביים) ולפי המשפט מתכנסת. נותר לנו לחשב את גבולה.
טענה חשובה אך קלה לבדיקה: [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1} }[/math] . זה נכון כיון שגבול סדרה נקבע על-פי המקום אליו האיברים שואפים באינסוף, ולא על-פי מתי היא מתחילה.
שימו לב לשיטה הבאה, היא תשמש אותנו פעמים רבות בתרגילים עם נוסחאות נסיגה. כיון שהוכחנו שהסדרה מתכנסת (ורק מסיבה זו) ניתן לומר שקיים גבול ממשי [math]\displaystyle{ L }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \lim a_n = L }[/math] . נביט בנוסחת הנסיגה
- [math]\displaystyle{ a_{n+1}=\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} }[/math]
נפעיל גבול על שני הצדדים (כיון שזו סדרה מתכנסת, כאמור)
- [math]\displaystyle{ \lim a_{n+1}=\lim\frac{c}{2}+\frac{a_n^2}{2} }[/math]
לפי הטענה לעיל וחשבון גבולות ניתן לומר:
- [math]\displaystyle{ L=\frac{c}{2}+\frac{L^2}{2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ L^2-2L+c=0 }[/math]
- [math]\displaystyle{ L=1\pm\sqrt{1-c} }[/math]
כעת יש לנו שתי אפשרויות לגבול, נפסול אחת מהן והנותרת בהכרח תהא גבול הסדרה. כיון ש- [math]\displaystyle{ a_1=c\lt 1\lt 1+\sqrt{1-c} }[/math] ושהסדרה מונוטונית יורדת, לא יתכן כי היא שואפת לגבול זה (קל להראות את קיום שלילת הגבול).
לכן סה"כ, גבול הסדרה הנו [math]\displaystyle{ L=1-\sqrt{1-c} }[/math]