הבדלים בין גרסאות בדף "פתרון אינפי 1, תשס"ב, מועד א,"
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מ |
|||
שורה 3: | שורה 3: | ||
==חלק א'== | ==חלק א'== | ||
+ | 1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל- <math>0</math> . | ||
+ | <math>a_n</math> היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י <math>b_1</math> (באינדוקציה - <math>b_1</math> גדולה יותר מכל שאר איברי <math>b</math> שגדולים יותר מכל איברי <math>a</math>) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, <math>b_n</math> היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י <math>a_1</math> ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב': | ||
− | + | דוגמא: <math>a_n=2(1+\frac1{n})</math> , <math>b_n=-2(1+\frac1{n})</math> . | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | <math>a_n=2(1+\ | + | |
2) התשובה היא ב'. | 2) התשובה היא ב'. | ||
− | הפרכה לג', ד': <math>a_n= | + | הפרכה לג', ד': <math>a_n=\frac1{n}</math> . ברור <math>a_n\to 0</math> אבל <math>\lim\limits_{n\to\infty}{\sqrt[n]{a_n}}=1</math> . |
− | אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. | + | אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן <math>\frac1{|a_n|}\to\infty</math> . |
− | ב' נכון שכן <math>\ | + | |
− | (נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\ | + | (נובע ישירות מההגדרות, שכן אם <math>|a_n|<\epsilon</math> אז <math>\frac1{|a_n|}>\frac1{\epsilon}</math> .) |
− | פורמלית: יהי <math> \epsilon>0</math>. מתקיים <math>a_n \to \infty </math> ולכן לכל <math>\ | + | פורמלית: יהי <math>\epsilon>0</math> . מתקיים <math>a_n\to\infty</math> ולכן לכל <math>\frac1{\epsilon}</math> קיים <math>N</math> כך ש- <math>\forall n<N: |a_n|<\frac1{\epsilon}</math>, כלומר כך ש- <math>\frac1{|a_n|}>\epsilon</math> . מש"ל. |
− | 3) ד'. <math>\infty </math> או 0 נק'. שתי דוגמאות: | + | 3) ד'. <math>\infty</math> או <math>0</math> נק'. שתי דוגמאות: |
− | <math>a_n=n</math>, <math>a_n=1+ | + | <math>a_n=n</math> , <math>a_n=1+\frac1{n}</math> . באחת יש אינסוף נקודות |
− | (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), | + | (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה <math>x=c</math> בחיתוך ונתבונן במקום <math>n=c+1</math>, כלומר בקטע <math>[c+1,\infty)</math> שלא מכיל את <math>c</math> כלל, בסתירה. |
− | 4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} | + | 4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר |
− | x+2 &x\ | + | <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} |
+ | x+2 &x\ne 9 \\ | ||
x+3 & x=9 | x+3 & x=9 | ||
\end{matrix}\right.</math>, <math>g(x)=\left\{\begin{matrix} | \end{matrix}\right.</math>, <math>g(x)=\left\{\begin{matrix} | ||
− | x+3 &x\ | + | x+3 &x\ne 9 \\ |
x+2 & x=9 | x+2 & x=9 | ||
\end{matrix}\right.</math> | \end{matrix}\right.</math> | ||
− | אז ברור שההרכבה רציפה, שכן <math>f(g(x))=\left\{\begin{matrix} | + | אז ברור שההרכבה רציפה, שכן |
− | x+5 &x\ | + | <math>f\bigl(g(x)\bigr)=\left\{\begin{matrix} |
+ | x+5 &x\ne 9 \\ | ||
x+5 & x=9 | x+5 & x=9 | ||
− | \end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות | + | \end{matrix}\right.=x+5</math> והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות. |
− | גם f וגם g אינן רציפות ב-9, ולכן זאת הפרכה | + | גם <math>f</math> וגם <math>g</math> אינן רציפות ב- <math>9</math> , ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'. |
− | 5) עבור r=1 מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור r=0 הטור מתכנס ( | + | 5) עבור <math>r=1</math> מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור <math>r=0</math> הטור מתכנס (ל- <math>0</math>) מה שפוסל את ב'. עבור <math>r=-1</math> מקבלים <math>\frac1{n^{\frac12}}</math>, שמתבדר לפי העיבוי כי <math>\frac12<1</math> . פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math> , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.) |
− | (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור <math>-1<r<1</math>, ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.) | + | |
− | 6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} | + | 6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג': |
+ | <math>f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{2} & x\le4 \\ 4x & \mbox{else}\end{matrix}\right.</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | עולה ממש ואינה רציפה בקטע <math>(-152.3,17)</math> . | ||
− | |||
− | בסתירה לכך ש <math>f </math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math> | + | הוכחת ב': בשלילה, <math>\exists x_1,x_2\in\R:x1\ne x_2 \wedge f(x_1)=f(x_2)</math>. |
+ | |||
+ | בסתירה לכך ש- <math>f</math> עולה ממש, שהרי בה"כ <math>x_1<x_2</math> ולכן <math>f(x_1)<f(x_2)</math> בסתירה להיותם שווים. | ||
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8. | 6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8. | ||
− | הוכחה: f עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. f גזירה ב<math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math>. כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> ולכן <math>\ | + | הוכחה: <math>f</math> עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. <math>f</math> גזירה ב<math>x_0</math> ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת <math>y_0</math> . כעת, לפי ההנחה <math>f</math> גזירה ב- <math>x_0</math> ולכן <math>\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=f'(x_0)</math> . |
− | מכאן נקבל <math>\ | + | מכאן נקבל <math>\lim\limits_{x\to x_0}{\frac{x-x_0}{f(x)-f(x_0)}}=\frac1{f'(x_0)}</math> , בהנחה שהנגזרת שונה מ- <math>0</math> . לכן <math>\lim\limits_{y\to y_0}{\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}}=\frac1{f'(x_0)}</math> ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה <math>x_0</math> . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של <math>f</math> , ולכן הנגזרת שונה מ- <math>0</math> (זה לא נימוק לגמרי פורמלי). |
− | == חלק ב' == | + | ==חלק ב'== |
− | 7) <math>f(x)=\frac{1+ | + | 7) <math>f(x)=\frac{1+x\cdot\cos(x)}{x+2}</math> . |
− | <math>f'(x)=\frac{(1+ | + | <math>f'(x)=\frac{\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)'(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)(x+2)'}{(x+2)^2}=</math> |
− | <math>=\frac{( | + | <math>=\frac{\bigl(\cos(x)-x\cdot\sin(x)\bigr)(x+2)-\bigl(1+x\cdot\cos(x)\bigr)}{(x+2)^2}=\frac{x\cdot\cos(x)-x^2\cdot\sin(x)+2\cos(x)-2x\cdot\sin(x)-1-x\cdot\cos(x)}{(x+2)^2}</math> |
− | + | <math>f'(0)=\frac{-0^2\cdot\sin(0)+2\cos(0)-0\sin(0)-1}{(0+2)^2}=\frac{2-1}{2^2}=\frac14</math> | |
− | + | ||
− | <math>f'(0)=\frac{-0^ | + | |
זהו שיפוע המשיק. | זהו שיפוע המשיק. | ||
− | כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה <math>(0,\ | + | כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה <math>(0,\frac12)</math> , ונקבל: |
− | <math>y=\ | + | <math>y=\frac12+\frac14x</math> . |
8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה: | 8) היה במערכי התרגול [[http://math-wiki.com/index.php?title=88-132_%D7%90%D7%99%D7%A0%D7%A4%D7%99_1_%D7%A1%D7%9E%D7%A1%D7%98%D7%A8_%D7%90%27_%D7%AA%D7%A9%D7%A2%D7%91/%D7%9E%D7%A2%D7%A8%D7%9A_%D7%AA%D7%A8%D7%92%D7%95%D7%9C/%D7%A1%D7%93%D7%A8%D7%95%D7%AA/%D7%9E%D7%95%D7%A0%D7%95%D7%98%D7%95%D7%A0%D7%99%D7%95%D7%AA]] עבור סכום עד <math>3n</math>. הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה: | ||
− | <math>a_{n+1}-a_n=\ | + | <math>a_{n+1}-a_n=\frac1{2n+1}+\frac1{2n+2}-\frac1{n}\le\frac1{2n}+\frac1{2n}-\frac1{n}=\frac2{2n}-\frac1{n}=0</math> |
− | ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. | + | ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י <math>0</math> (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת. |
− | 9)<s> הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל-0 כאשר n שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף. </s> | + | 9)<s> הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל- <math>0</math> כאשר <math>n</math> שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף. </s> |
(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:) | (המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:) | ||
− | בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8(\frac{n}{n+2})^n</math>. | + | בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של <math>8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n</math> . |
− | <math>8(\frac{n}{n+2})^n=8(1-\ | + | <math>8\Big(\frac{n}{n+2}\Big)^n=8\Big(1-\frac2{n+2}\Big)^n=8\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}\cdot 2-2}=8\Bigg(\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{\frac{(n+2)}{2}}\Bigg)^2\cdot\bigg(1-\frac1{\frac{n+2}{2}}\bigg)^{-2}</math> |
− | קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math>, וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math>, (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר. | + | קיבלנו גורם 8, גורם <math>(e^{-1})^2</math> , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא <math>\frac{8}{e^2}>1</math> , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר. |
− | == חלק ג' == | + | ==חלק ג'== |
− | + | 10) '''הפרכה:''' ניקח <math>a_n=\frac{(-1)^n}{n}</math> , <math>b_n=\frac{(-1)^n}{\log(n)}</math> . | |
− | + | לפי לייבניץ הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, וברור ש- <math>b_n</math> שואפת ל- <math>0</math> שכן <math>\log(n)\to\infty</math> , אבל המכפלה <math>\sum a_n\cdot b_n=\sum\frac1{n\cdot\ln(n)}</math> מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:) | |
− | 10) '''הפרכה:''' ניקח <math>a_n=\frac{(-1)^n}{n}</math>, | + | |
− | לפי לייבניץ הטור <math>\sum a_n</math> מתכנס, וברור ש<math>b_n </math> שואפת | + | |
(נגדיר <math>b_1=0</math> בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה) | (נגדיר <math>b_1=0</math> בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה) | ||
− | 11) נגדיר פונקצייה h על ידי <math>\forall x \in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math>. כעת, נתבונן ב<math>h(1),h(2),h(3)</math>: | + | 11) נגדיר פונקצייה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in [-1,1]: h(x)=f(x)-x^2</math> . כעת, נתבונן ב- <math>h(1),h(2),h(3)</math> : |
− | <math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0 | + | <math>h(1)=f(1)-1^2=f(1)-1<0</math> ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0</math> , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- <math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math> . |
− | </math> | + | |
− | ואילו <math>h(0)=f(0)-0^2=f(0)-0>0 | + | |
− | </math>, ולכן לפי משפט ערך הביניים ל-<math>h</math> יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע <math>(0,1)</math>. | + | |
− | באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל-<math>h </math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math>. כל שורש של h הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה. | + | באותו האופן, <math>h(-1)=f(-1)-(-1)^2=f(-1)-1<0</math> ולכן יש ל- <math>h</math> שורש בקטע <math>(-1,0)</math> . כל שורש של <math>h</math> הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה. |
12 זלצמן) הוכחה: | 12 זלצמן) הוכחה: | ||
− | מכיון ש <math>sin(2\cdot 0)=0</math> | + | מכיון ש- <math>\sin(2\cdot 0)=0</math> אז ניתן להגדיר את <math>f</math> "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת <math>f</math>). <math>f(x)=\sin(2x) \ \forall x\ge 0</math>. |
− | <math>f(x)= sin(2x) \ \forall x\ | + | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
− | + | <math>f(x)=x\ \forall x\le 0</math>. | |
− | + | <math>\sin(2x)</math> רציפה ובעלת מחזור <math>p=\pi</math> ולכן רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן החיובית הסגורה <math>[0,\infty)</math> . | |
+ | ידוע ש- <math>x</math> רציפה במ"ש ב- <math>\R</math> ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- <math>\R</math> , ובפרט בקרן השלילית הסגורה <math>(-\infty,0]</math> . | ||
− | + | לכן <math>f</math> רציפה במ"ש ב- <math>[0,\infty)</math> וכמו כן ב- <math>(-\infty,0]</math> . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת (<math>0</math>) ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) <math>f</math> רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו. | |
− | |||
− | |||
− | |||
+ | 12 קליין) נגדיר פונקציה <math>h</math> על-ידי <math>\forall x\in I: h(x)=f(x)-x</math> . | ||
− | + | <math>h</math> מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע <math>I</math> ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר <math>\exists c\in I: h'(c)=0</math> . לכן <math>h'(c)=(f(x)-x)'=f'(x)-1=0 </math>, ומכאן ש- <math>f'(x)=1</math> . מש"ל. | |
− | <math>\blacksquare</math> | + | 12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה. <math>\blacksquare</math> |
גרסה מ־10:56, 8 בפברואר 2016
(המבחן )
חלק א'
1) התשובה היא ב'. שלא כמו בלמה של קנטור, חסרה ההנחה של שאיפת גודל ההפרש ל- . היא סדרה עולה החסומה מלעיל ע"י (באינדוקציה - גדולה יותר מכל שאר איברי שגדולים יותר מכל איברי ) ולכן מתכנסת. בצורה דומה, היא סדרה יורדת החסומה מלרע ע"י ולכן מתכנסת. פוסל את ג', ד'. נותר להראות באמצעות דוגמא את ב':
דוגמא: , .
2) התשובה היא ב'.
הפרכה לג', ד': . ברור אבל .
אותה סדרה היא גם הפרכה טריוויאלית לסעיף א'. ב' נכון שכן .
(נובע ישירות מההגדרות, שכן אם אז .) פורמלית: יהי . מתקיים ולכן לכל קיים כך ש- , כלומר כך ש- . מש"ל.
3) ד'. או נק'. שתי דוגמאות: , . באחת יש אינסוף נקודות (סדרה מתכנסת ולכן חסומה, ולכן כל מה שגדול מהחסם העליון שלה), בשניה נניח בשלילה שיש נקודה בחיתוך ונתבונן במקום , כלומר בקטע שלא מכיל את כלל, בסתירה.
4) התשובה היא ד'. הפרכה לא', ב', ג': נגדיר ,
אז ברור שההרכבה רציפה, שכן והוכחנו רציפות כל הפונקציות הלינאריות.
גם וגם אינן רציפות ב- , ולכן זאת הפרכה ל-ג' והוכחה ל-ד'.
5) עבור מקבלים טור מתכנס לפי לייבניץ, מה שפוסל את ג',ד'. עבור הטור מתכנס (ל- ) מה שפוסל את ב'. עבור מקבלים , שמתבדר לפי העיבוי כי . פוסל את א', לכן נותרנו רק עם ה', שהיא התשובה הנכונה. (ישירות, נראה שהטור מתכנס בהחלט עבור , ובפרט מתכנס, ואז נבדוק את המקרים הנותרים.)
6 הורוביץ) ברור שב'. הפרכה לא',ג':
עולה ממש ואינה רציפה בקטע .
הוכחת ב': בשלילה, .
בסתירה לכך ש- עולה ממש, שהרי בה"כ ולכן בסתירה להיותם שווים.
6 זלצמן וקליין) ג'. ד"ר שיין הוכיח טענה כמעט זהה - 7.8.
הוכחה: עולה ממש ולכן לפי ההשאלה הקודמת היא חח"ע. גזירה ב ובפרט רציפה בסביבתה. לכן הפונ' ההפוכה מוגדרת ורציפה בסביבת . כעת, לפי ההנחה גזירה ב- ולכן .
מכאן נקבל , בהנחה שהנגזרת שונה מ- . לכן ובפרט קיים. לכן הפונ' ההפוכה גזירה בנקודה . בכיוון ההפוך, נראה את ה- contrapositive: אם הפונ' ההפוכה גזירה אז הנגזרת שווה להופכי של הנגזרת של , ולכן הנגזרת שונה מ- (זה לא נימוק לגמרי פורמלי).
חלק ב'
7) .
זהו שיפוע המשיק.
כעת, נציב במש' ישר עם הנקודה , ונקבל: .
8) היה במערכי התרגול [[1]] עבור סכום עד . הפתרון כמעט זהה. נראה שהיא מונוטונית וחסומה:
ולכן הסדרה היא מונוטונית יורדת. באינדוקציה הסדרה חסומה מלרע ע"י (כי סכום חיוביים הוא חיובי). לכן הסדרה מתכנסת.
9) הטור מתבדר, שכן התנאי הההכרחי אינו מתקיים; הסדרה אינה שואפת ל- כאשר שואף לאינסוף, אלא שואפת לאינסוף.
(המשפט הקודם נכון, אבל זוועתי להוכחה, ויש דרך קלה:)
בשביל לבדוק התכנסות בהחלט, נשתמש במבחן קושי: נחפש את הגבול העליון של .
קיבלנו גורם 8, גורם , וגורם 1. לכן הגבול, ובפרט הגבול העליון, הוא , (מסכן מי ששכח להביא מחשבון - זה יוצא די קרוב ל-1) ולכן הטור הנתון אינו מתכנס בהחלט. יתרה מכך, עפ"י המשפט שהוכחנו (משפט קושי המעודן, לתלמידי ד"ר שיין) נובע מכך שהטור המקורי מתבדר.
חלק ג'
10) הפרכה: ניקח , . לפי לייבניץ הטור מתכנס, וברור ש- שואפת ל- שכן , אבל המכפלה מתבדרת לפי מבחן העיבוי, שיעורי הבית, הבוחן ומבחן האינטגרל:)
(נגדיר בשביל ענייני תחום-הגדרה, ברור שזה לא משנה)
11) נגדיר פונקצייה על-ידי . כעת, נתבונן ב- :
ואילו , ולכן לפי משפט ערך הביניים ל- יש שורש (כלומר היא מתאפסת) בנקודה כלשהי בקטע .
באותו האופן, ולכן יש ל- שורש בקטע . כל שורש של הוא נקודה בה הפונ' שוות, ומצאנו שיש לפחות 2 כאלה.
12 זלצמן) הוכחה:
מכיון ש- אז ניתן להגדיר את "מחדש" כפונקציה מפוצלת באופן הבא (מבלי לשנות בעצם את הגדרת ). .
.
רציפה ובעלת מחזור ולכן רציפה במ"ש ב- ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- , ובפרט בקרן החיובית הסגורה .
ידוע ש- רציפה במ"ש ב- ולכן רציפה במ"ש גם בכל קטע חלקי ל- , ובפרט בקרן השלילית הסגורה .
לכן רציפה במ"ש ב- וכמו כן ב- . לקרנות הנ"ל יש נקודה משותפת () ולכן (לפי משפט ממערכי התרגול) רציפה באיחוד הקרנות, שהוא הישר הממשי כולו.
12 קליין) נגדיר פונקציה על-ידי .
מתאפסת בשתי נקודות שונות בקטע ולכן לפי משפט רול קיימת נקודה בפנים הקטע בה נגזרתה מתאפסת. כלומר . לכן , ומכאן ש- . מש"ל.
12 הורוביץ) פונ' רציפה בקטע סגור מקבלת בו מקסימום ומינימום (ויירשטראס II). בשלילה, נניח שהאינפימום אינו חיובי, ומייד נקבל סתירה שכן הפונ' צריכה לקבל את האינפימום שלה, ובנקודה זאת הפונ' תהיה אי-חיובית, בסתירה.