אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
[[קטגוריה:אינפי]]
[[קטגוריה:אינפי]]
=אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
=אלגוריתם '''מלא''' לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית=
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר p,q פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math>.
תהי פונקציה מהצורה <math>f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}</math> כאשר <math>p,q</math> פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב <math>\int f(x)dx</math> .


'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).
'''עובדה'''. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא [http://he.wikipedia.org/wiki/%D7%A9%D7%93%D7%94_%D7%A1%D7%92%D7%95%D7%A8_%D7%9E%D7%9E%D7%A9%D7%99%D7%AA שדה סגור ממשית]. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).


==מצב ראשון <math>deg(p)=deg(q)-1</math>==  
==מצב ראשון <math>\deg(p)=\deg(q)-1</math>==  
ניתן למצוא קבוע /math>c</math> כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש- <math>\deg(h)<\deg(q)-1</math> .


ניתן למצוא קבוע c כך ש <math>h=cp-q'</math> כך ש<math>deg(h)<deg(q)-1</math>.
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q}</math>
 
אז רושמים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{1}{c}ln(q) + \int\frac{h}{c\cdot q} </math>


וממשיכים לשלב הבא:
וממשיכים לשלב הבא:


==מצב שני <math>deg(p)<deg(q)-1</math>==
==מצב שני <math>\deg(p)<\deg(q)-1</math>==
 
*נפרק את /math>q</math> לגורמים אי-פריקים:  
*נפרק את q לגורמים אי פריקים:  
:<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
 
<math>q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots (x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots (x^2+c_jx+b_j)^{m_j}</math>
 


*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
*כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
 
:<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+
<math>\frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+...+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+...+
\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
\Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+...+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+
</math>
</math>
:<math>+\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots</math>


<math>
*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום <math>p</math> , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math> .
+ \Big[\frac{B_{1,1}x + C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x + C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+...+\frac{B_{1,m_1}x + C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+...</math>
 
 
*נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום p, מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים <math>A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j}</math>.
 
*נחשב כל מחובר בנפרד:
*נחשב כל מחובר בנפרד:


===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m}</math>===
נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:
נבצע הצבה <math>t=x-a</math> על מנת לקבל:
:<math>I_1=Aln(x-a)+C</math>
:<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>


 
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
<math>I_1=Aln(x-a)+C</math>
*נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}</math>
 
 
<math>I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C</math>
 
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
 
 
*נבצע השלמה לריבוע על מנת לקבל את האינטגרל <math>I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m}</math>
 


*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>
*כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה <math>G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m}</math>


*נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
*נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
**<math>G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C</math>


**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>


**<math>G_1=\frac{A}{a}arctan(\frac{x}{a}) +C</math>
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי-פריק)===
 
*דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m}</math>
 
**<math>G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m + \frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m}</math>
 
===אינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m}</math> (כאשר המכנה אי פריק)===
 
 
*דבר ראשון, בדומה למצב הראשון,נצמצם את הבעייה לאינטגרל מהצורה <math>I_m=\int\frac{A(2x+b) + B}{(x^2+bx+c)^m}</math>


*את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל
*את החלק <math>I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m}</math> פותרים לפי הנוסחא לעיל
שורה 70: שורה 48:


==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==
==מצב שלישי <math>deg(p)=deg(q)</math>==
*קיים קבוע /math>c</math> כך שקיים פולינום <math>h</math> המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>\deg(h)<\deg(q)</math> .


 
*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q}</math>
*קיים קבוע c כך שקיים פולינום h המקיים <math>h=cp-q</math> וגם <math>deg(h)<deg(q)</math>.
 
 
*נפריד את האינטגרל לשניים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int{1}+\int\frac{h}{q}</math>
 


*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.
*נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.


==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==
==מצב רביעי <math>deg(p)>deg(q)</math>==
 
*נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>\deg(r)<\deg(q)</math>
 
*נבצע חלוקת פולינומים על מנת לקבל את הנוסחא <math>p(x)=a(x)q(x)+r(x)</math> כאשר מתקיים <math>deg(r)<deg(q)</math>
 


*מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math>
*מתקיים <math>\int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q}</math>


*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.
*נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.


==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>==
==מצב חמישי <math>p=f',q=f^m</math>==
 
<math>\int\frac{f'}{f^m}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math>
<math>\int {\frac{f'}{f^m}}</math> מבצעים את ההצבה <math>t=f(x)</math>


=דוגמאות=
=דוגמאות=
===דוגמא 1===
===דוגמא 1===
 
:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx</math>
::<math>\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}}dx</math>
 
בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל
בדוגמא זו '''ניתן''' להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה <math>t=1-x^4</math> ולקבל
 
:<math>\int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt</math>
::<math>\int{\frac{x^7}{(1-x^4)^2}}dx=\int{\frac{1-t}{-4t^2}}dt</math>


==דוגמא 2==
==דוגמא 2==
 
:<math>\int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)}</math>
::<math>\int{\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}}dx</math>
 
נפרק לשברים חלקיים
נפרק לשברים חלקיים
 
:<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
::<math>\frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)}</math>
 
לכן  
לכן  
 
:<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>
::<math>1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)</math>

גרסה מ־20:24, 20 בספטמבר 2016

אלגוריתם מלא לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית

תהי פונקציה מהצורה [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{p(x)}{q(x)} }[/math] כאשר [math]\displaystyle{ p,q }[/math] פולינומים. נתאר אלגוריתם לחישוב [math]\displaystyle{ \int f(x)dx }[/math] .

עובדה. כל פולינום אפשר לפרק מעל הממשיים לגורמים ממעלה 1 ו-2 (עובדה זו נובעת מכך ששדה המספרים הממשיים הוא שדה סגור ממשית. איננו מטפלים כאן בבעיה האלגוריתמית של פירוק פולינום לגורמים).

מצב ראשון [math]\displaystyle{ \deg(p)=\deg(q)-1 }[/math]

ניתן למצוא קבוע /math>c</math> כך ש [math]\displaystyle{ h=cp-q' }[/math] כך ש- [math]\displaystyle{ \deg(h)\lt \deg(q)-1 }[/math] .

אז רושמים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{q'+h}{c\cdot q}=\frac{\ln(q)}{c}+\int\frac{h}{c\cdot q} }[/math]

וממשיכים לשלב הבא:

מצב שני [math]\displaystyle{ \deg(p)\lt \deg(q)-1 }[/math]

  • נפרק את /math>q</math> לגורמים אי-פריקים:
[math]\displaystyle{ q(x)=(x-a_1)^{n_1}\cdots(x-a_k)^{n_k}\cdot(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}\cdots(x^2+c_jx+b_j)^{m_j} }[/math]
  • כעת, נפרק את הפונקציה הרציונאלית לשברים חלקיים:
[math]\displaystyle{ \frac{p}{q}=\Big[\frac{A_{1,1}}{x-a_1}+\frac{A_{1,2}}{(x-a_1)^2}+\cdots+\frac{A_{1,n_1}}{(x-a_1)^{n_1}}\Big]+\cdots+ \Big[\frac{A_{k,1}}{x-a_k}+\frac{A_{k,2}}{(x-a_k)^2}+\cdots+\frac{A_{k,n_k}}{(x-a_k)^{n_k}}\Big]+ }[/math]
[math]\displaystyle{ +\Big[\frac{B_{1,1}x+C_{1,1}}{x^2+c_1x+b_1}+\frac{B_{1,2}x+C_{1,2}}{(x^2+c_1x+b_1)^2}+\cdots+\frac{B_{1,m_1}x+C_{1,m_1}}{(x^2+c_1x+b_1)^{m_1}}\Big]+\cdots }[/math]
  • נעשה מכנה משותף ונשווה בין הפולינום שנקבל במונה לפולינום [math]\displaystyle{ p }[/math] , מקדם מקדם. נקבל מערכת משוואות ממנה נחשב את הקבועים [math]\displaystyle{ A_{i,j},B_{i,j},C_{i,j} }[/math] .
  • נחשב כל מחובר בנפרד:

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(x-a)^m} }[/math]

נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x-a }[/math] על מנת לקבל:

[math]\displaystyle{ I_1=Aln(x-a)+C }[/math]
[math]\displaystyle{ I_m=\frac{-A}{(m-1)(x-a)^{m-1}}+C }[/math]

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] (כאשר המכנה אי-פריק)

  • נבצע השלמה לריבוע על-מנת לקבל את האינטגרל [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{(\Big[x+\frac{b}{2}\Big]^2+\Big[c-(\frac{b}{2})^2\Big])^m} }[/math]
  • כעת, בעזרת הצבה לינארית פשוטה נעבור לאינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ G_m=\int\frac{A}{(x^2+a^2)^m} }[/math]
  • נעזר בנוסחא הרקורסיבית הבאה:
    • [math]\displaystyle{ G_1=\frac{A}{a}\arctan\left(\tfrac{x}{a}\right)+C }[/math]
    • [math]\displaystyle{ G_{m+1}=\frac{2m-1}{2ma^2}\cdot G_m+\frac{A}{2ma^2}\cdot\frac{x}{(x^2+a^2)^m} }[/math]

אינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{Bx+C}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] (כאשר המכנה אי-פריק)

  • דבר ראשון, בדומה למצב הראשון, נצמצם את הבעיה לאינטגרל מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A(2x+b)+B}{(x^2+bx+c)^m} }[/math]
  • את החלק [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{B}{(x^2+bx+c)^m} }[/math] פותרים לפי הנוסחא לעיל
  • לחלק הנותר נבצע הצבה [math]\displaystyle{ t=x^2+bx+c }[/math] לקבל אינטגרל פתיר מהצורה [math]\displaystyle{ I_m=\int\frac{A}{t^m} }[/math]

מצב שלישי [math]\displaystyle{ deg(p)=deg(q) }[/math]

  • קיים קבוע /math>c</math> כך שקיים פולינום [math]\displaystyle{ h }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ h=cp-q }[/math] וגם [math]\displaystyle{ \deg(h)\lt \deg(q) }[/math] .
  • נפריד את האינטגרל לשניים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{q+h}{c\cdot q}=\int 1+\int\frac{h}{q} }[/math]
  • נחזור למצב הראשון או השני להמשך החישוב.

מצב רביעי [math]\displaystyle{ deg(p)\gt deg(q) }[/math]

  • נבצע חלוקת פולינומים על-מנת לקבל את הנוסחא [math]\displaystyle{ p(x)=a(x)q(x)+r(x) }[/math] כאשר מתקיים [math]\displaystyle{ \deg(r)\lt \deg(q) }[/math]
  • מתקיים [math]\displaystyle{ \int\frac{p}{q}=\int\frac{aq+r}{q}=\int{a(x)}+\int\frac{r}{q} }[/math]
  • נמשיך לפתור את האינטגרל בעזרת המצב הראשון או השני.

מצב חמישי [math]\displaystyle{ p=f',q=f^m }[/math]

[math]\displaystyle{ \int\frac{f'}{f^m} }[/math] מבצעים את ההצבה [math]\displaystyle{ t=f(x) }[/math]

דוגמאות

דוגמא 1

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx }[/math]

בדוגמא זו ניתן להפעיל את האלגוריתם אך עדיף לבצע את ההצבה [math]\displaystyle{ t=1-x^4 }[/math] ולקבל

[math]\displaystyle{ \int\frac{x^7}{(1-x^4)^2}dx=\int\frac{1-t}{-4t^2}dt }[/math]

דוגמא 2

[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{(x-1)(x^2+1)} }[/math]

נפרק לשברים חלקיים

[math]\displaystyle{ \frac{1}{(x-1)(x^2+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1)}{(x-1)(x^2+1)} }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ 1=A(x^2+1)+(Bx+C)(x-1) }[/math]