אינטגרציה בחלקים: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־11:11, 3 בנובמבר 2016

הגדרה

אינטגרציה בחלקים הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:

[math]\displaystyle{ \int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'} }[/math]

הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:

[math]\displaystyle{ (f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f }[/math]

הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור [math]\displaystyle{ f,g }[/math] בעלות נגזרות רציפות.

(אחרת, אמנם יש קדומה ל- [math]\displaystyle{ f'\cdot g+g'\cdot f }[/math] , אבל לא בהכרח ל- [math]\displaystyle{ f'\cdot g }[/math] ו- [math]\displaystyle{ g'\cdot f }[/math] בנפרד.)

דוגמאות

א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.

[math]\displaystyle{ \int x\cos(x)dx=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=\cos(x)\ ,\ g=x }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=\sin(x)\ ,\ g'=1 }[/math]

לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים

[math]\displaystyle{ \int x\cos(x)dx=x\sin(x)-\int\sin(x)dx=x\sin(x)+\cos(x)+C }[/math]

ב. חזרה למקורות - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה.

[math]\displaystyle{ \int e^x\cos(x)dx=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ I=\int e^x\cos(x)dx }[/math]

לכן

[math]\displaystyle{ I=e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)dx=e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)dx=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ 2I=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big) }[/math]

ומכאן יוצא

[math]\displaystyle{ \int e^x\cos(x)dx=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C }[/math]

ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע [math]\displaystyle{ 1 }[/math] כנגזרת של הפונקציה [math]\displaystyle{ x }[/math] ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.

[math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=? }[/math]

נסמן [math]\displaystyle{ f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ f=x\ ,\ g'=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:

[math]\displaystyle{ \int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx= }[/math]

[math]\displaystyle{ =x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}= }[/math]

ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת

[math]\displaystyle{ 2\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} }[/math]

כאשר את האינטגרל האחרון נלמד בשיטת ההצבה.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[קטגוריה:אינפי]]
 ==הגדרה==
-'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחאת האינטגרציה הבאה:
+'''אינטגרציה בחלקים''' הוא כינוי לנוסחת האינטגרציה הבאה:
-::<math>\int{f'g}=fg-\int{fg'}</math>
+:<math>\int{f'\cdot g}=f\cdot g-\int{f\cdot g'}</math>
-הנוסחא נובעת מיידית מנוסחאת גזירת כפל:
+הנוסחא נובעת מיידית מנוסחת גזירת כפל:
-::<math>(fg)'=f'g+g'f</math>
+:<math>(f\cdot g)'=f'\cdot g+g'\cdot f</math>
-==דוגמאות==
+הנוסחא נכונה במידה והאינטגרלים מוגדרים, ובפרט עבור <math>f,g</math> בעלות נגזרות רציפות.
-א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על ידי גזירתו. ייתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
-<math>\int{xcos(x)}=?</math>
+(אחרת, אמנם יש קדומה ל- <math>f'\cdot g+g'\cdot f</math> , אבל לא בהכרח ל- <math>f'\cdot g</math> ו- <math>g'\cdot f</math> בנפרד.)
-נסמן <math>f'=cos(x),g=x</math>
+==דוגמאות==
+א. בדוגמא זו ניתן לראות שאפשר להעלים גורם אחד על-ידי גזירתו. יתכן ונדרש בדוגמאות מסוג זה לבצע את הפעולה מספר פעמים, אך בדוגמא זו הסתפקנו בפעם אחת בלבד.
-ולכן <math>f=sin(x),g'=1</math>
-ולפי נוסחאת אינטגרציה בחלקים מתקיים
+<math>\int x\cos(x)dx=?</math>
-::<math>\int{xcos(x)}=xsin(x)-\int{sin(x)}=xsin(x)+cos(x)+C</math>
+נסמן <math>f'=\cos(x)\ ,\ g=x</math>
+ולכן <math>f=\sin(x)\ ,\ g'=1</math>
+לפי נוסחת אינטגרציה בחלקים מתקיים
+:<math>\int x\cos(x)dx=x\sin(x)-\int\sin(x)dx=x\sin(x)+\cos(x)+C</math>
-ב. בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על ידי גזירה, אולם עדיין ניתן להעזר באינטגרציה בחלקים לפתרון הבעייה.
-<math>\int{e^xcos(x)}=?</math>
+ב. '''חזרה למקורות''' - בדוגמא הבאה לא ניתן להעלים גורם על-ידי גזירה, אולם חזרה לאינטגרל המקורי פותרת לנו את הבעיה.
-נסמן
+<math>\int e^x\cos(x)dx=?</math>
-::<math>I=\int{e^xcos(x)}</math>
+נסמן <math>I=\int e^x\cos(x)dx</math>
 לכן
-::<math>I=e^xcos(x)+\int{e^xsin(x)}=e^xcos(x)+e^xsin(x)-\int{e^xcos(x)}=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)-I</math>
+:<math>I=e^x\cos(x)+\int e^x\sin(x)dx=e^x\cos(x)+e^x\sin(x)-\int e^x\cos(x)dx=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)-I</math>
 ולכן
-::<math>2I=e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)</math>
+:<math>2I=e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)</math>
 ומכאן יוצא
-::<math>\int{e^xcos(x)}=I=\frac{e^x\Big(sin(x)+cos(x)\Big)}{2}+C</math>
+:<math>\int e^x\cos(x)dx=I=\frac{e^x\big(\sin(x)+\cos(x)\big)}{2}+C</math>
+ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע <math>1</math> כנגזרת של הפונקציה <math>x</math> ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעיה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
-ג. בדוגמא הבאה נראה שניתן להתייחס לכפל בקבוע 1 כנגזרת של הפונקציה x ובכך "להמציא" גורם שיעזור לנו בפתרון הבעייה באמצעות אינטגרציה בחלקים.
+<math>\int\sqrt{a^2-x^2}dx=?</math>
-<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=?</math>
+נסמן <math>f'=1\ ,\ g=\sqrt{a^2-x^2}</math>
-נסמן <math>f'=1,g=\sqrt{a^2-x^2}</math>
+ולכן <math>f=x\ ,\ g'=-\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
-ולכן <math>f=x,g'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
+נפעיל נוסחת אינטגרציה בחלקים:
-נפעיל את נוסחאת אינטגרציה בחלקים:
+:<math>\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math>
-::<math>\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
+:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=</math>
-::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}+\int{\frac{x^2-a^2+a^2}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
+:<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int\sqrt{a^2-x^2}dx+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=</math>
-::<math>=x\sqrt{a^2-x^2}-\int{\sqrt{a^2-x^2}}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}=</math>
 ולכן סה"כ, בדומה לדוגמא הקודמת
-::<math>2\int{\sqrt{a^2-x^2}}=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int{\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}}</math>
+:<math>2\int\sqrt{a^2-x^2}dx=x\sqrt{a^2-x^2}+a^2\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}</math>
-כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]]
+כאשר את האינטגרל האחרון נלמד ב[[שיטת ההצבה]].