שיטת ההצבה: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| (גרסת ביניים אחת של אותו משתמש אינה מוצגת) | |||
| שורה 19: | שורה 19: | ||
ולכן <math>g'(x)dx=dt</math> | ולכן <math>g'(x)dx=dt</math> | ||
ולכן <math>\int | ולכן <math>\displaystyle\int f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C</math> | ||
הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת. | הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת. | ||
| שורה 34: | שורה 34: | ||
*במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math> | *במקרה הראשון, אם הביטוי <math>g'(x)dx</math> אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה <math>g</math> הפיכה, נחליף להצבה <math>x=g^{-1}(t)</math> | ||
*כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה x, נוכל להשלים את ההצבה רק אם g הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math> | *כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה <math>x</math> , נוכל להשלים את ההצבה רק אם <math>g</math> הפיכה ע"י <math>x=g^{-1}(t)</math> | ||
===דוגמאות=== | ===דוגמאות=== | ||
א) | |||
<math>\int\sin\big(\sqrt x\big)dx</math> | |||
ננסה להציב <math>t=\sqrt x</math> . | |||
נגזור ונקבל <math>dt=\frac{dx}{2\sqrt x}</math> | |||
אבל הביטוי <math>\frac{dx}{2\sqrt x}</math> אינו מופיע באינטגרל! | |||
נגזור ונקבל <math>dx= | לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) <math>x=t^2</math> . | ||
נגזור ונקבל <math>dx=2t\,dt</math> | |||
לכן | לכן | ||
:<math>\int\sin\big(\sqrt x\big)dx=\int 2t\sin(t)dt</math> | |||
ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים. | ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים. | ||
ב | ב) | ||
<math>\int{\tan(x)dx}=-\int{\frac1{\cos(x)}\cdot\big(-\sin(x)\big)dx}</math> | |||
נסמן <math>f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x)</math> | |||
לכן <math>F(x)=\ln(|x|)\ ,\ g'(x)=-\sin(x)</math> וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה: | |||
:<math>-\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(|\cos(x)|\big)+C</math> | |||
ג | ג) | ||
<math>\int | <math>\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}</math> | ||
נציב | נציב | ||
:<math>t=\frac{x}{|a|}</math> | |||
לכן | לכן | ||
:<math>|a|dt=dx</math> | |||
ולכן | ולכן | ||
<math>\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}=\frac{1}{|a|}\int\frac{|a|}{\sqrt{1-t^2}}dt=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right)+C</math> | |||
<math>\int | |||
==הצבות אוניברסאליות== | ==הצבות אוניברסאליות== | ||
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של [[אלגוריתם לביצוע אינטגרל על פונקציה רציונאלית|פונקציה רציונאלית]] אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה. | |||
'''הצבות אוניברסאליות''' הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה | |||
הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...) | הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...) | ||
גרסה אחרונה מ־11:20, 3 בנובמבר 2016
שיטת ההצבה
שיטת ההצבה היא שיטת החלפת משתנים לצורך אינטגרציה, לפי כלל-השרשרת לגזירה.
[math]\displaystyle{ \frac{d}{dx}f\big(g(x)\big)=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x) }[/math]
לכן, נוסחת ההצבה הנה:
- [math]\displaystyle{ \int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=F\big(g(x)\big)+C }[/math]
כאשר [math]\displaystyle{ F'=f }[/math] .
סימון נוח יותר לאותה הנוסחא:
[math]\displaystyle{ \int{f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx} }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ g(x)=t }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ g'(x)dx=dt }[/math]
ולכן [math]\displaystyle{ \displaystyle\int f\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx=\int f(t)dt=F(t)+C=F\big(g(x)\big)+C }[/math]
הסימון הזה נוח יותר לפתרון תרגילים מאשר הסימון הראשון שנובע ישירות מכלל-השרשרת.
אלגוריתם לביצוע הצבה
נתאר כעת את השלבים בביצוע הצבה, במקרים שונים.
- בוחרים הצבה [math]\displaystyle{ t=g(x) }[/math] או [math]\displaystyle{ x=h(t) }[/math] .
- גוזרים את שני הצדדים וכופלים ב- [math]\displaystyle{ dx,dt }[/math] .
- [math]\displaystyle{ dt=g'(x)dx }[/math] או [math]\displaystyle{ dx=h'(t)dt }[/math] .
- במקרה הראשון, אם הביטוי [math]\displaystyle{ g'(x)dx }[/math] אינו מופיע באינטגרל, והפונקציה [math]\displaystyle{ g }[/math] הפיכה, נחליף להצבה [math]\displaystyle{ x=g^{-1}(t) }[/math]
- כמו כן, אם לאחר ההצבה נותרו מופעים של המשתנה [math]\displaystyle{ x }[/math] , נוכל להשלים את ההצבה רק אם [math]\displaystyle{ g }[/math] הפיכה ע"י [math]\displaystyle{ x=g^{-1}(t) }[/math]
דוגמאות
א)
[math]\displaystyle{ \int\sin\big(\sqrt x\big)dx }[/math]
ננסה להציב [math]\displaystyle{ t=\sqrt x }[/math] .
נגזור ונקבל [math]\displaystyle{ dt=\frac{dx}{2\sqrt x} }[/math]
אבל הביטוי [math]\displaystyle{ \frac{dx}{2\sqrt x} }[/math] אינו מופיע באינטגרל!
לכן נבצע את ההצבה ההפוכה (שמובילה לתוצאה זהה ביתר קלות) [math]\displaystyle{ x=t^2 }[/math] .
נגזור ונקבל [math]\displaystyle{ dx=2t\,dt }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ \int\sin\big(\sqrt x\big)dx=\int 2t\sin(t)dt }[/math]
ואת ההמשך ניתן לפתור ע"י אינטגרציה בחלקים.
ב)
[math]\displaystyle{ \int{\tan(x)dx}=-\int{\frac1{\cos(x)}\cdot\big(-\sin(x)\big)dx} }[/math]
נסמן [math]\displaystyle{ f(x)=\frac1{x}\ ,\ g(x)=\cos(x) }[/math]
לכן [math]\displaystyle{ F(x)=\ln(|x|)\ ,\ g'(x)=-\sin(x) }[/math] וסה"כ האינטגרל הוא מהצורה:
- [math]\displaystyle{ -\int{f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)dx}=-F\big(g(x)\big)+C=-\ln\big(|\cos(x)|\big)+C }[/math]
ג)
[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}} }[/math]
נציב
- [math]\displaystyle{ t=\frac{x}{|a|} }[/math]
לכן
- [math]\displaystyle{ |a|dt=dx }[/math]
ולכן
[math]\displaystyle{ \int\frac{dx}{|a|\sqrt{1-\left(\frac{x}{|a|}\right)^2}}=\frac{1}{|a|}\int\frac{|a|}{\sqrt{1-t^2}}dt=\arcsin(t)+C=\arcsin\left(\frac{x}{|a|}\right)+C }[/math]
הצבות אוניברסאליות
הצבות אוניברסאליות הוא כינוי כללי להצבות המעבירות פונקציות ממשפחה מסוימת לצורה של פונקציה רציונאלית אותה אנחנו יודעים לפתור. שימו לב שכיון ופתרון פונקציה רציונאלית דורש פירוק פולינומים, לעתים המעבר לפונקציה רציונאלית לא יקדם אותנו לקראת פתרון הבעיה.
הצבות אוניברסאליות ידועות ניתן למצוא בקובץ הבא: (עד אשר מישהו יקליד אותו אל תוך הויקי...)