88-341 תשעג סמסטר א/תרגילים/תרגיל 1: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־12:32, 3 בנובמבר 2016

שאלה 1

לכל קבוצה [math]\displaystyle{ E\subseteq\R }[/math] ומספרים [math]\displaystyle{ a,b\in\R }[/math] מגדירים [math]\displaystyle{ aE+b:=\{ax+b:x\in E\} }[/math] (ז"א [math]\displaystyle{ aE+b }[/math] היא תמונת [math]\displaystyle{ E }[/math] תחת הפונקציה הלינארית [math]\displaystyle{ x\mapsto ax+b }[/math]).

הוכיחו: [math]\displaystyle{ m^*(aE+b)=|a|m^*(E) }[/math]

שאלה 2

הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב- [math]\displaystyle{ \R }[/math] הנה מדידה לבג.

הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הנו מדיד.

שאלה 3

הגדרה: נאמר שקבוצה [math]\displaystyle{ G\subseteq\R }[/math] היא מטיפוס [math]\displaystyle{ G_\delta }[/math] אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.

תהי [math]\displaystyle{ E\subseteq\R }[/math] הוכיחו שקיימת קבוצה [math]\displaystyle{ G\in G_\delta }[/math] המקיימת [math]\displaystyle{ E\subseteq G }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m^*(G)=m^*(E) }[/math]

הדרכה: עקבו אחרי השלבים הבאים:

א. הוכיחו שלכל קבוצה [math]\displaystyle{ E\subseteq\R }[/math] ולכל [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math] קיימת קבוצה פתוחה [math]\displaystyle{ O }[/math] , המקיימת [math]\displaystyle{ E\subseteq O }[/math] וכן [math]\displaystyle{ m^*(O)\le m^*(E)+\varepsilon }[/math]

ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.

בהצלחה!

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-== שאלה 1 ==
+==שאלה 1==
-לכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ומספרים <math>a,b \in \mathbb{R}</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ a x+b:x \in E \}</math> (ז"א ש-<math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x \mapsto ax+b</math>).
+לכל קבוצה <math>E\subseteq\R</math> ומספרים <math>a,b\in\R</math> מגדירים <math>aE+b:=\{ax+b:x\in E\}</math> (ז"א <math>aE+b</math> היא תמונת <math>E</math> תחת הפונקציה הלינארית <math>x\mapsto ax+b</math>).
-הוכיחו: <math>m^*(aE+b)=|a| m^*(E)</math>
+הוכיחו: <math>m^*(aE+b)=|a|m^*(E)</math>
-== שאלה 2 ==
-א. יהי <math>\{E_n\}_{n=1}^N</math> אוסף סופי של תתי-קבוצות של <math>\mathbb{R}</math>. הוכיחו שמתקיים <math>\overline{\cup_{n=1}^N E_n}=\cup_{n=1}^N \overline{E_n}</math>
-ב. הוכיחו שלא בהכרח מתקיים שוויון כאשר מדובר באוסף אינסופי.
+==שאלה 2==
+הוכיחו כי כל קבוצה קומפקטית ב- <math>\R</math> הנה מדידה לבג.
-== שאלה 3 ==
+הערה: אתם רשאים להשתמש בעובדה (שעוד לא למדתם) שאיחוד בן מניה של קבוצות מדידות הנו מדיד.
-'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G \subseteq \mathbb{R}</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.
+==שאלה 3==
+'''הגדרה:''' נאמר שקבוצה <math>G\subseteq\R</math> היא מטיפוס <math>G_\delta</math> אם ניתן להציג אותה כחיתוך בן-מנייה של קבוצות פתוחות.
-תהי <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G \in G_\delta</math> המקיימת <math>E \subseteq G</math> וכן <math>m^*(G)=m^*(E)</math>
+תהי <math>E\subseteq\R</math> הוכיחו שקיימת קבוצה <math>G\in G_\delta</math> המקיימת <math>E\subseteq G</math> וכן <math>m^*(G)=m^*(E)</math>
 '''הדרכה:''' עקבו אחרי השלבים הבאים:
-א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E \subseteq \mathbb{R}</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math>, המקיימת <math>E \subseteq O</math> וכן
+א. הוכיחו שלכל קבוצה <math>E\subseteq\R</math> ולכל <math>\varepsilon>0</math> קיימת קבוצה פתוחה <math>O</math> , המקיימת <math>E\subseteq O</math> וכן
-<math>m^*(O) \leq m^*(E)+\varepsilon</math>
+<math>m^*(O)\le m^*(E)+\varepsilon</math>
 ב. בנו סדרה של קבוצות פתוחות מתאימות ע"פ א' וחיתכו אותן.
-== שאלה 4 ==
-הראו שלכל קטע (לא טריוויאלי) יש תת קבוצה לא מדידה. (רמז: תרגיל 1)
 בהצלחה!