סדרת פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה אחרונה מ־22:12, 7 בפברואר 2017

הגדרה

נביט בסדרת פונקציות ממשיות [math]\displaystyle{ \Big\{f_n(x)\Big\}_{n=1}^\infty }[/math] . עבור כל מספר ממשי קבוע [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מתקבלת הסדרה הממשית [math]\displaystyle{ f_n(x_0) }[/math] .

נגדיר את פונקציית הגבול [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] של סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] באופן הבא:

אם [math]\displaystyle{ f_n(x_0) }[/math] מתכנסת במובן הצר אזי [math]\displaystyle{ f(x_0):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0) }[/math]
אחרת, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינו בתחום ההגדרה של פונקצית הגבול.

מסמנים [math]\displaystyle{ f_n(x)\to f(x) }[/math] ואומרים כי סדרת הפונקציה מתכנסת נקודתית לפונקצית הגבול.

דוגמאות

1.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=x^n }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0&|x|\lt 1\\1&x=1\\\not\exists&(x\le -1)\or(x\gt 1)\end{cases} }[/math]

2.

[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n} }[/math]

[math]\displaystyle{ f(x)\equiv0 }[/math]

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ==הגדרה==
-נביט בסדרת פונקציות ממשיות <math>\{f_n(x)\}_1^\infty</math>. עבור כל מספר ממשי קבוע <math>x_0</math> מתקבלת הסדרה הממשית <math>f_n(x_0)</math>.
+נביט בסדרת פונקציות ממשיות <math>\Big\{f_n(x)\Big\}_{n=1}^\infty</math> . עבור כל מספר ממשי קבוע <math>x_0</math> מתקבלת הסדרה הממשית <math>f_n(x_0)</math> .
+נגדיר את '''פונקציית הגבול''' <math>f(x)</math> של סדרת הפונקציות <math>f_n(x)</math> באופן הבא:
-נגדיר את '''פונקצית הגבול''' <math>f(x)</math> של סדרת הפונקציות <math>f_n(x)</math> באופן הבא:
+*אם <math>f_n(x_0)</math> מתכנסת במובן הצר אזי <math>f(x_0):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0)</math>
-*אם <math>f_n(x_0)</math> מתכנסת במובן הצר אזי <math>f(x_0):=\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x_0)</math>
 *אחרת, <math>x_0</math> אינו בתחום ההגדרה של פונקצית הגבול.
-מסמנים <math>f_n(x)\rightarrow f(x)</math> ואומרים כי סדרת הפונקציה מתכנסת '''נקודתית''' לפונקצית הגבול.
+מסמנים <math>f_n(x)\to f(x)</math> ואומרים כי סדרת הפונקציה מתכנסת '''נקודתית''' לפונקצית הגבול.
 ==דוגמאות==
 ===1.===
 <math>f_n(x)=x^n</math>
+<math>f(x)=\begin{cases}0&|x|<1\\1&x=1\\\not\exists&(x\le -1)\or(x>1)\end{cases}</math>
-<math>f(x)=\begin{cases}0&|x|<1\\ 1 & x=1 \\ \not\exists & (x\leq -1) \or (x>1)\end{cases}</math>
 ===2.===
-<math>f_n=\frac{1}{n}sin(nx)</math>
+<math>f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n}</math>
-<math>f(x)\equiv 0</math>
+<math>f(x)\equiv0</math>
 [[קטגוריה:אינפי]]