סדרת פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) מאין תקציר עריכה |
יהודה שמחה (שיחה | תרומות) אין תקציר עריכה |
||
| שורה 1: | שורה 1: | ||
==הגדרה== | ==הגדרה== | ||
נביט בסדרת פונקציות ממשיות <math>\{f_n(x)\} | נביט בסדרת פונקציות ממשיות <math>\Big\{f_n(x)\Big\}_{n=1}^\infty</math> . עבור כל מספר ממשי קבוע <math>x_0</math> מתקבלת הסדרה הממשית <math>f_n(x_0)</math> . | ||
נגדיר את '''פונקציית הגבול''' <math>f(x)</math> של סדרת הפונקציות <math>f_n(x)</math> באופן הבא: | נגדיר את '''פונקציית הגבול''' <math>f(x)</math> של סדרת הפונקציות <math>f_n(x)</math> באופן הבא: | ||
| שורה 13: | שורה 13: | ||
<math>f_n(x)=x^n</math> | <math>f_n(x)=x^n</math> | ||
<math>f(x)=\begin{cases}0&|x|<1\\ 1 & x=1 \\ \not\exists & (x\le -1) \or (x>1)\end{cases}</math> | <math>f(x)=\begin{cases}0&|x|<1\\1&x=1\\\not\exists&(x\le -1)\or(x>1)\end{cases}</math> | ||
===2.=== | ===2.=== | ||
<math>f_n=\frac{\sin(nx)}{n}</math> | <math>f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n}</math> | ||
<math>f(x)\ | <math>f(x)\equiv0</math> | ||
[[קטגוריה:אינפי]] | [[קטגוריה:אינפי]] | ||
גרסה אחרונה מ־22:12, 7 בפברואר 2017
הגדרה
נביט בסדרת פונקציות ממשיות [math]\displaystyle{ \Big\{f_n(x)\Big\}_{n=1}^\infty }[/math] . עבור כל מספר ממשי קבוע [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] מתקבלת הסדרה הממשית [math]\displaystyle{ f_n(x_0) }[/math] .
נגדיר את פונקציית הגבול [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] של סדרת הפונקציות [math]\displaystyle{ f_n(x) }[/math] באופן הבא:
- אם [math]\displaystyle{ f_n(x_0) }[/math] מתכנסת במובן הצר אזי [math]\displaystyle{ f(x_0):=\lim\limits_{n\to\infty}f_n(x_0) }[/math]
- אחרת, [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אינו בתחום ההגדרה של פונקצית הגבול.
מסמנים [math]\displaystyle{ f_n(x)\to f(x) }[/math] ואומרים כי סדרת הפונקציה מתכנסת נקודתית לפונקצית הגבול.
דוגמאות
1.
[math]\displaystyle{ f_n(x)=x^n }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}0&|x|\lt 1\\1&x=1\\\not\exists&(x\le -1)\or(x\gt 1)\end{cases} }[/math]
2.
[math]\displaystyle{ f_n(x)=\frac{\sin(nx)}{n} }[/math]
[math]\displaystyle{ f(x)\equiv0 }[/math]