חקירת פונקציות

נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):

1. תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
2. זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
3. תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
4. תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
5. אסימפטוטות מאונכות
6. נקודות חיתוך עם הצירים
7. אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
8. תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה

הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות

תרגילים

דוגמא 1: [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-6x+5 }[/math]

תחום הגדרה

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. תחום הגדרתה היא [math]\displaystyle{ A }[/math] - אוסף כל הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת.

דוגמא: תחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הוא כל הישר [math]\displaystyle{ \R }[/math] .

זוגיות/אי-זוגיות

הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא זוגית אם [math]\displaystyle{ f(-x)=f(x) }[/math] .

הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא אי-זוגית אם [math]\displaystyle{ f(-x)=-f(x) }[/math] .

דוגמא: [math]\displaystyle{ f(-x)=x^2+6x+5\not=\ \pm\ f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] הן הנקודות [math]\displaystyle{ (1,0)\ ,\ (5,0) }[/math]

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] היא הנקודה [math]\displaystyle{ (0,5) }[/math] .

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

הגדרה: תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. נאמר כי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] עולה (יורדת) בתחום [math]\displaystyle{ U }[/math] אם

[math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\ f(x)\le f(y) }[/math] או [math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\ f(x)\ge f(y) }[/math] .

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] כך ש-

[math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\le f(x_0) }[/math] או [math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\ge f(x_0) }[/math] .

משפט: אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודת קיצון [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] .

מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מספיק לבדוק מתי [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] :

[math]\displaystyle{ f'(x)=2x-6 }[/math] ולכן הנקודה החשודה היחידה היא [math]\displaystyle{ x_0=3 }[/math] .

מקס' או מיני'

איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?

• בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב [math]\displaystyle{ f(0)=5\ ,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5 }[/math] ולכן 3 נקודות מיני'.

הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

• בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם [math]\displaystyle{ f'(x)\le0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אזי הפונקציה יורדת שם. אם [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math] אז הפונקציה עולה שם): [math]\displaystyle{ f'(0)\lt 0\ ,\ f'(4)\gt 0 }[/math] ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר [math]\displaystyle{ x=3 }[/math] נקודת מיני'.

הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא [math]\displaystyle{ [3,\infty) }[/math] ותחום הירידה [math]\displaystyle{ (-\infty,3] }[/math] .

הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

• מבחן הנגזרת השניה - אם [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] (או [math]\displaystyle{ f''(x)\lt 0 }[/math]) אז [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודות מיני' (או מקס'):

אצלנו [math]\displaystyle{ f''(x)=2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f''(2)\gt 0 }[/math] .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] או [math]\displaystyle{ f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] .

נאמר כי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת פיתול אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] ימנית בה [math]\displaystyle{ f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] וסביבה שמאלית [math]\displaystyle{ V }[/math] בה [math]\displaystyle{ f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] או להפך.

משפט: [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ f''(x_0)\lt 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] קעורה כלפי מעלה/מטה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] .

משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] אינה קיימת או ש- [math]\displaystyle{ f''(x)=0 }[/math] .

דוגמא: [math]\displaystyle{ f''(x)=2 }[/math] ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

אסימפטוטות

הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] היא קו מהצורה [math]\displaystyle{ x=a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty }[/math] . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.

הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר [math]\displaystyle{ l(x)=ax+b }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 }[/math] .

איך מוצאים? מתקיים [math]\displaystyle{ a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} }[/math] ואז [math]\displaystyle{ b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big] }[/math] .

דוגמא - אצלנו:

[math]\displaystyle{ \displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty }[/math]

ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty }[/math]

ציור הפונקציה

דוגמא 2: [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x} }[/math]

תחום הגדרה

[math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] כי [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] לא-מוגדרת עבור [math]\displaystyle{ x }[/math]-ים שליליים.

זוגיות/אי-זוגיות

לא שייך בגלל תחום ההגדרה.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] .

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] לא קיים בגלל תחום ההגדרה.

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

[math]\displaystyle{ f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2} }[/math] לכן יש לה נקודה חשודה ב- [math]\displaystyle{ x=e }[/math]

הסימן של [math]\displaystyle{ f'' }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big) }[/math] .

[math]\displaystyle{ f(e)\lt 0 }[/math] ולכן זוהי נקודת מקס'.

תחומי העליה של הפונקציה [math]\displaystyle{ (0,e) }[/math] .

תחומי הירידה [math]\displaystyle{ (e,\infty) }[/math] .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

הסימן של [math]\displaystyle{ f'' }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x\big(3-2\ln(x)\big) }[/math] ולכן נקודות חשודות לפיתול הם [math]\displaystyle{ e\sqrt{e} }[/math] .

[math]\displaystyle{ f''(e)\lt 0\ ,\ f''(e^4)\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ e\sqrt{e}\approx 10 }[/math] נקודת פיתול.

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- [math]\displaystyle{ (0,e\sqrt{e}) }[/math] .

הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ (e\sqrt{e},\infty) }[/math] .

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית ב- [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] כיון ש- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty }[/math] .

אסימפטוטה אופקית:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ l(x)=0 }[/math] אסימטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]

ציור הפונקציה

דוגמא 3: [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2} }[/math]

תחום הגדרה

[math]\displaystyle{ x\ne\pm2\sqrt3 }[/math]

זוגיות/אי-זוגיות

[math]\displaystyle{ f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אי-זוגית.

נקודות קיצון

[math]\displaystyle{ f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}} }[/math] ולכן הנקודות החשודות הן [math]\displaystyle{ x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3 }[/math]

(נשים לב שהנקודות [math]\displaystyle{ \pm2\sqrt3 }[/math] אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).

מקס' או מיני'

נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של [math]\displaystyle{ 36-x^2 }[/math] :

[math]\displaystyle{ \begin{align}f'(-7)\lt 0\\f'(-6)=0\\f'(-4)\gt 0\\f'(-1)\gt 0\\f'(0)=0\\f'(4)\gt 0\\f'(6)=0\\f'(7)\lt 0\end{align} }[/math]

ולכן משמאל ל-6- הפונקציה יורדת ומימין ל-6- היא עולה, כלומר 6- נקודות מיני'.

6 נקודת מקס'.

0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

דוגמא:

[math]\displaystyle{ \begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align} }[/math]

הנקודות החשודות לפיתול הן [math]\displaystyle{ 0,\pm2\sqrt3 }[/math] . הסימן של [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] נקבע לפי החלק [math]\displaystyle{ x(12-x^2) }[/math] .

נבדוק:

[math]\displaystyle{ \begin{align}f''(-4)\gt 0\\f''(-1)\lt 0\\f(0)=0\\f(1)\gt 0\\f(4)\lt 0\end{align} }[/math]

ומכאן מסיקים כי -

בקטע [math]\displaystyle{ (-\infty,-2\sqrt3) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע [math]\displaystyle{ (-2\sqrt3,0) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מטה,

בקטע [math]\displaystyle{ (0,2\sqrt3) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע [math]\displaystyle{ (2\sqrt3,\infty) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מטה,

ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).

אסימפטוטות

ל- [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^3}{12-x^2} }[/math] יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב- [math]\displaystyle{ x=\pm2\sqrt3 }[/math]

כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^+}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^+}f(x)=-\infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^-}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^-}f(x)=\infty }[/math]

אסימפטוטה אופקית:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align} }[/math]

באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון [math]\displaystyle{ x\to-\infty }[/math] תצא אותו דבר

ולכן [math]\displaystyle{ l(x)=-x }[/math] אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty }[/math]

ציור הפונקציה

משפטים לסיכום:

1) אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודת קיצון [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] .

2) מבחן הנגזרת השניה - אם [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מיני'.

3) אם [math]\displaystyle{ f'(x)\le0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אזי הפונקציה יורדת שם. אם [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math] אזי הפונקציה עולה שם.

4) אם [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] קעורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] .

מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] אינה קיימת או ש- [math]\displaystyle{ f''(x)=0 }[/math] .