חקירת פונקציות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך Math-Wiki
מאין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
 
שורה 15: שורה 15:
[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]
[[מדיה : infi2FuncInvestigationAddional1.pdf | הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות]]


== תרגילים ==
==תרגילים==
===דוגמא מספר 1 - <math>f(x)=x^{2}-6x+5</math>===
===דוגמא 1: <math>f(x)=x^2-6x+5</math>===
תחום הגדרה
====תחום הגדרה====
 
הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. תחום הגדרתה היא <math>A</math> - אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת.
הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> היא A - אוסף כל הנקודות בהם <math>f(x)</math> מוגדרת.


דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\R</math> .
דוגמא: תחום ההגדרה של <math>f(x)</math> הוא כל הישר <math>\R</math> .
שורה 36: שורה 35:
   
   
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר ש- <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם  
הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. נאמר כי <math>f(x)</math> עולה (יורדת) בתחום <math>U</math> אם  


<math>\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y)</math> או <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y)</math> .
<math>\forall x<y\in U:\ f(x)\le f(y)</math> או <math>\forall x<y\in U:\ f(x)\ge f(y)</math> .


הגדרה: תהא <math>f(x)</math> פונקציה. <math>x_0</math> תקרא נקודת קיצון- מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math> כך ש-
הגדרה: תהי <math>f(x)</math> פונקציה. <math>x_0</math> תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה <math>U</math> כך ש-


<math>\forall x\in U:f(x)\le f(x_0)</math> או <math>\forall x\in U:f(x)\ge f(x_0)</math> .
<math>\forall x\in U:f(x)\le f(x_0)</math> או <math>\forall x\in U:f(x)\ge f(x_0)</math> .
שורה 48: שורה 47:
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.
מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של <math>f(x)</math> מספיק לבדוק מתי <math>f'(x)=0</math> או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.


דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- <math>f(x)</math>:
דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- <math>f(x)</math> :


<math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_0=3</math> .
<math>f'(x)=2x-6</math> ולכן הנקודה החשודה היחידה היא <math>x_0=3</math> .
שורה 59: שורה 58:
הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.
הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.


*בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x)\le 0</math> בקטע I אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge 0</math> אז הפונקציה עולה שם): <math>f'(0)<0\ ,\ f'(4)>0</math> ולכן משמאל ל- <math>3</math> הפונקציה יורדת ומימין ל- <math>3</math> היא עולה, כלומר <math>3</math> נקודת מיני'.
*בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אז הפונקציה עולה שם): <math>f'(0)<0\ ,\ f'(4)>0</math> ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר <math>x=3</math> נקודת מיני'.


הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math> הוא <math>[3,\infty)</math> ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math> .
הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של <math>f</math> הוא <math>[3,\infty)</math> ותחום הירידה <math>(-\infty,3]</math> .
שורה 74: שורה 73:
<math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> .
<math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> .


נאמר ש- <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך.
נאמר כי <math>x_0</math> נקודת פיתול אם קיימת סביבה <math>U</math> ימנית בה <math>f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> וסביבה שמאלית <math>V</math> בה <math>f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)</math> או להפך.


משפט: <math>f''(x_0)>0</math> או <math>f''(x_0)<0</math> אז <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> .
משפט: <math>f''(x_0)>0</math> או <math>f''(x_0)<0</math> אז <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה/מטה ב- <math>x_0</math> .
שורה 87: שורה 86:
הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> או <math>\lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> .
הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר <math>l(x)=ax+b</math> המקיים <math>\lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> או <math>\lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0</math> .


איך מוצאים? מתקיים <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}</math> ואז <math>b=\lim\limits_{x\to\infty}[f(x)-ax]</math> .
איך מוצאים? מתקיים <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x}</math> ואז <math>b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]</math> .


דוגמא - אצלנו:
דוגמא - אצלנו:


<math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty</math>
<math>\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty</math>


ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
ולכן אין אסימפטוטה אופקית.
שורה 100: שורה 99:
ציור הפונקציה [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]]
ציור הפונקציה [[קובץ:Example1CStirgul2.gif]]


===דוגמא 2: <math>f(x)=\frac{\ln(x)}{x}</math>===
===דוגמא 2: <math>f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}</math>===
====תחום הגדרה====
====תחום הגדרה====
<math>x>0</math> כי <math>\ln(x)</math> לא-מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים.
<math>x>0</math> כי <math>\ln(x)</math> לא-מוגדרת עבור <math>x</math>-ים שליליים.
שורה 113: שורה 112:


====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
====נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה====
<math>f'(x)=\frac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math>
<math>f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2}</math> לכן יש לה נקודה חשודה ב- <math>x=e</math>


הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x-2x\Big(1-\ln(x)\Big)=-x\Big(3-2\ln(x)\Big)</math> .
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> .


<math>f(e)<0</math> ולכן זוהי נקודת מקס'.
<math>f(e)<0</math> ולכן זוהי נקודת מקס'.
שורה 124: שורה 123:


====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\Big(3-2\ln(x)\Big)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> .
הסימן של <math>f''</math> נקבע ע"י <math>-x\big(3-2\ln(x)\big)</math> ולכן נקודות חשודות לפיתול הם <math>e\sqrt{e}</math> .


<math>f''(e)<0\ ,\ f''(e^4)>0</math> ולכן <math>e\sqrt{e}\approx 10</math> נקודת פיתול.
<math>f''(e)<0\ ,\ f''(e^4)>0</math> ולכן <math>e\sqrt{e}\approx 10</math> נקודת פיתול.
שורה 133: שורה 132:


====אסימפטוטות====
====אסימפטוטות====
אסימפטוטה אנכית ב- <math>x=0</math> כיון ש- <math>\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty</math> .
אסימפטוטה אנכית ב- <math>x=0</math> כיון ש- <math>\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty</math> .


אסימפטוטה אופקית: <math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\frac1{x}}{2x}=0</math> .
אסימפטוטה אופקית:


<math>b=\lim\limits_{x\to\infty}(f(x)-ax)=\lim\limits_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0</math>
<math>\begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align}</math>


ולכן <math>l(x)=0</math> אסימטוטה אופקית.
ולכן <math>l(x)=0</math> אסימטוטה אופקית.
שורה 146: שורה 145:
ציור הפונקציה [[קובץ:Example2CStirgul2.gif]]
ציור הפונקציה [[קובץ:Example2CStirgul2.gif]]


===דוגמא 3: <math>f(x)=\frac{x^3}{12-x^2}</math>===
===דוגמא 3: <math>f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2}</math>===
====תחום הגדרה====
====תחום הגדרה====
תחום ההגדרה שלה הוא <math>x\not=\pm2\sqrt3</math> .
<math>x\ne\pm2\sqrt3</math>


====זוגיות/אי-זוגיות====
====זוגיות/אי-זוגיות====
<math>f(-x)=\frac{-x^3}{12-x^2}=-f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אי-זוגית.
<math>f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x)</math> ולכן <math>f(x)</math> אי-זוגית.


===נקודות קיצון===
===נקודות קיצון===
<math>f'(x)=\frac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\frac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3</math>
<math>f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}}</math> ולכן הנקודות החשודות הן <math>x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3</math>


(נשים לב שהנקודות <math>\pm2\sqrt3</math> אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
(נשים לב שהנקודות <math>\pm2\sqrt3</math> אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).
שורה 161: שורה 160:
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> :
נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של <math>36-x^2</math> :


<math>f'(-7)<0</math>
<math>\begin{align}f'(-7)<0\\f'(-6)=0\\f'(-4)>0\\f'(-1)>0\\f'(0)=0\\f'(4)>0\\f'(6)=0\\f'(7)<0\end{align}</math>


<math>f'(-6)=0</math>
ולכן משמאל ל-'''6-''' הפונקציה יורדת ומימין ל-'''6-''' היא עולה, כלומר '''6-''' נקודות מיני'.


<math>f'(-4)>0</math>
6 נקודת מקס'.


<math>f'(-1)>0</math>
0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.


<math>f'(0)=0</math>
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
 
דוגמא:
<math>f'(4)>0</math>
 
<math>f'(6)=0</math>
 
<math>f'(7)<0</math>


ולכן מימין ל- <math>-6</math> הפונקציה יורדת ומימין ל- <math>-6</math> היא עולה, כלומר <math>-6</math> נקודות מיני'.
<math>\begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align}</math>
 
<math>6</math> נקודת מקס'.
 
<math>0</math> אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.
 
====תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול====
דוגמא: <math>f(x)=\frac{x^3}{12-x^2}</math> אזי <math>f'(x)=\frac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\frac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}</math> ו- <math>f''(x)=\frac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}</math> .


הנקודות החשודות לפיתול הן <math>0,\pm2\sqrt3</math> . הסימן של <math>f''(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^2)</math> .
הנקודות החשודות לפיתול הן <math>0,\pm2\sqrt3</math> . הסימן של <math>f''(x)</math> נקבע לפי החלק <math>x(12-x^2)</math> .


נבדוק:<br>
נבדוק:
<math>f''(-4)>0</math>


<math>f''(-1)<0</math>
<math>\begin{align}f''(-4)>0\\f''(-1)<0\\f(0)=0\\f(1)>0\\f(4)<0\end{align}</math>
 
<math>f(0)=0</math>
 
<math>f(1)>0</math>
 
<math>f(4)<0</math>


ומכאן מסיקים כי -
ומכאן מסיקים כי -
שורה 209: שורה 189:
בקטע <math>(2\sqrt3,\infty)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,
בקטע <math>(2\sqrt3,\infty)</math> הפונקציה קעורה כלפי מטה,


ובנקודה <math>0</math> יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).
ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).


====אסימפטוטות====
====אסימפטוטות====
שורה 220: שורה 200:
אסימפטוטה אופקית:
אסימפטוטה אופקית:


<math>a=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1</math>
<math>\displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align}</math>
 
<math>b=\lim\limits_{x\to\infty}\Big[\frac{x^3}{12-x^2}+x\Big]=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0</math>
    
    
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> תצא אותו דבר
באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון <math>x\to-\infty</math> תצא אותו דבר
שורה 229: שורה 207:


====התנהגות הפונקציה באינסוף====
====התנהגות הפונקציה באינסוף====
עבור הדוגמא שלנו <math>\lim\limits_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\,,\,\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty</math>
עבור הדוגמא שלנו <math>\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty</math>


====ציור הפונקציה====
====ציור הפונקציה====
שורה 236: שורה 214:
משפטים לסיכום:
משפטים לסיכום:


<math>.1</math> אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .
'''1)''' אם <math>f(x)</math> גזירה בנקודת קיצון <math>x_0</math> אזי <math>f'(x_0)=0</math> .


<math>.2</math> מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'.  
'''2)''' מבחן הנגזרת השניה - אם <math>f'(x_0)=0</math> ומתקיים <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>x_0</math> נקודת מיני'.  


<math>.3</math> אם <math>f'(x)\le 0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge 0</math> אזי הפונקציה עולה שם.
'''3)''' אם <math>f'(x)\le0</math> בקטע <math>I</math> אזי הפונקציה יורדת שם. אם <math>f'(x)\ge0</math> אזי הפונקציה עולה שם.


<math>.4</math> אם <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה ב- <math>x_0</math> .
'''4)''' אם <math>f''(x_0)>0</math> אזי <math>f(x)</math> קעורה כלפי מעלה ב- <math>x_0</math> .


מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> .
מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם <math>f''(x)</math> אינה קיימת או ש- <math>f''(x)=0</math> .

גרסה אחרונה מ־01:10, 13 בפברואר 2017


נושא חקירת פונקציות בקורס חשבון אינפיניטיסימלי כוללת מחקר סט תכונות מוסכם (פחות או יותר):

  1. תחום הגדרה (קביעה באילו נקודות הפונקציה מוגדרת)
  2. זוגיות (קביעה האם הפונקציה זוגית, אי-זוגית או לא)
  3. תחומי מונוטוניות ומציאת נקודות קיצון
  4. תחומי קמירות ומציאת נקודות פיתול
  5. אסימפטוטות מאונכות
  6. נקודות חיתוך עם הצירים
  7. אסימפטוטות משופעות ומציאת התנהגות באינסוף
  8. תרפיה בתרשים- ציור גרף הפונקציה


הסברים ותרגילים על חקירת פונקציות

תרגילים

דוגמא 1: [math]\displaystyle{ f(x)=x^2-6x+5 }[/math]

תחום הגדרה

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. תחום הגדרתה היא [math]\displaystyle{ A }[/math] - אוסף כל הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מוגדרת.

דוגמא: תחום ההגדרה של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] הוא כל הישר [math]\displaystyle{ \R }[/math] .

זוגיות/אי-זוגיות

הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא זוגית אם [math]\displaystyle{ f(-x)=f(x) }[/math] .

הגדרה: [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] תקרא אי-זוגית אם [math]\displaystyle{ f(-x)=-f(x) }[/math] .

דוגמא: [math]\displaystyle{ f(-x)=x^2+6x+5\not=\ \pm\ f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אינה זוגית ואינה אי-זוגית.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] הן הנקודות [math]\displaystyle{ (1,0)\ ,\ (5,0) }[/math]

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] היא הנקודה [math]\displaystyle{ (0,5) }[/math] .

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

הגדרה: תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. נאמר כי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] עולה (יורדת) בתחום [math]\displaystyle{ U }[/math] אם

[math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\ f(x)\le f(y) }[/math] או [math]\displaystyle{ \forall x\lt y\in U:\ f(x)\ge f(y) }[/math] .

הגדרה: תהי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] פונקציה. [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] תקרא נקודת קיצון - מקס' (או מינ') אם קיימת לה סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] כך ש-

[math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\le f(x_0) }[/math] או [math]\displaystyle{ \forall x\in U:f(x)\ge f(x_0) }[/math] .

משפט: אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודת קיצון [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] .

מסקנה: כדי למצוא נקודות קיצון של [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] מספיק לבדוק מתי [math]\displaystyle{ f'(x)=0 }[/math] או מתי הנגזרת אינה קיימת כלל.

דוגמא - נמצא את הנקודות האפשריות לנקודות קיצון ל- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] :

[math]\displaystyle{ f'(x)=2x-6 }[/math] ולכן הנקודה החשודה היחידה היא [math]\displaystyle{ x_0=3 }[/math] .

מקס' או מיני'

איך יודעים אם מדובר בנקודות קיצון ואם מדובר בקיצון מקס' או בקיצון מיני'?

  • בדיקת הפונקציה עצמה - הנקודות החשודות מחלקות את הישר לקטעים. נציב בכל קטע נקודה ונבדוק מה מתקבל: למשל נציב [math]\displaystyle{ f(0)=5\ ,\ f(3)=-4\ ,\ f(6)=5 }[/math] ולכן 3 נקודות מיני'.

הערה: אכן מספיק לבדוק נקודות אלו - כי אם הפונקציה היתה מחליפה מיקום (ביחס לנקודות החשודות) היכן שהוא אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

  • בדיקת ערכי הנגזרת - נבדוק את סימן הנגזרת מימין ומשמאל לנקודות (מסתמך על העובדה כי: אם [math]\displaystyle{ f'(x)\le0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אזי הפונקציה יורדת שם. אם [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math] אז הפונקציה עולה שם): [math]\displaystyle{ f'(0)\lt 0\ ,\ f'(4)\gt 0 }[/math] ולכן משמאל ל-3 הפונקציה יורדת ומימין ל-3 היא עולה, כלומר [math]\displaystyle{ x=3 }[/math] נקודת מיני'.

הערה: בשלב זה מצב כי תחום העליה של [math]\displaystyle{ f }[/math] הוא [math]\displaystyle{ [3,\infty) }[/math] ותחום הירידה [math]\displaystyle{ (-\infty,3] }[/math] .

הערה: אכן מספיק לבדוק נקו' אלו - כי אם הנגזרת היתה מחליפה היכן שהוא את סימנה אזי היתה נוצרת נקודת קיצון והיינו מגלים אותה בשלב הקודם.

  • מבחן הנגזרת השניה - אם [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] (או [math]\displaystyle{ f''(x)\lt 0 }[/math]) אז [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודות מיני' (או מקס'):

אצלנו [math]\displaystyle{ f''(x)=2 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f''(2)\gt 0 }[/math] .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

תהא [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודה [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי נאמר שהפונקציה קעורה כלפי מעלה/מטה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] של [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] כך שלכל [math]\displaystyle{ x\in U }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] או [math]\displaystyle{ f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] .

נאמר כי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת פיתול אם קיימת סביבה [math]\displaystyle{ U }[/math] ימנית בה [math]\displaystyle{ f(x)\ge f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] וסביבה שמאלית [math]\displaystyle{ V }[/math] בה [math]\displaystyle{ f(x)\le f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) }[/math] או להפך.

משפט: [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] או [math]\displaystyle{ f''(x_0)\lt 0 }[/math] אז [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] קעורה כלפי מעלה/מטה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] .

משפט: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] אינה קיימת או ש- [math]\displaystyle{ f''(x)=0 }[/math] .

דוגמא: [math]\displaystyle{ f''(x)=2 }[/math] ולכן אין נקודות פיתול והפונקציה קעורה כלפי מעלה בכל הישר.

אסימפטוטות

הגדרה: אסימפטוטה אנכית ל- [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] היא קו מהצורה [math]\displaystyle{ x=a }[/math] כך שמתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to a}|f(x)|=\infty }[/math] . אצלנו אין אסימפטוטה אנכית.

הגדרה: אסימפטוטה אופקית היא ישר [math]\displaystyle{ l(x)=ax+b }[/math] המקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 }[/math] או [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to-\infty}\Big|f(x)-l(x)\Big|=0 }[/math] .

איך מוצאים? מתקיים [math]\displaystyle{ a=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} }[/math] ואז [math]\displaystyle{ b=\lim\limits_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big] }[/math] .

דוגמא - אצלנו:

[math]\displaystyle{ \displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-6x+5}{x}=\infty }[/math]

ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\pm\infty}f(x)=\infty }[/math]

ציור הפונקציה Example1CStirgul2.gif

דוגמא 2: [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x} }[/math]

תחום הגדרה

[math]\displaystyle{ x\gt 0 }[/math] כי [math]\displaystyle{ \ln(x) }[/math] לא-מוגדרת עבור [math]\displaystyle{ x }[/math]-ים שליליים.

זוגיות/אי-זוגיות

לא שייך בגלל תחום ההגדרה.

חיתוך עם הצירים

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ x }[/math] הוא [math]\displaystyle{ (1,0) }[/math] .

החיתוך עם ציר [math]\displaystyle{ y }[/math] לא קיים בגלל תחום ההגדרה.

נקודות קיצון ותחומי עליה/ירידה

[math]\displaystyle{ f'(x)=\dfrac{1-\ln(x)}{x^2} }[/math] לכן יש לה נקודה חשודה ב- [math]\displaystyle{ x=e }[/math]

הסימן של [math]\displaystyle{ f'' }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x-2x\big(1-\ln(x)\big)=-x\big(3-2\ln(x)\big) }[/math] .

[math]\displaystyle{ f(e)\lt 0 }[/math] ולכן זוהי נקודת מקס'.

תחומי העליה של הפונקציה [math]\displaystyle{ (0,e) }[/math] .

תחומי הירידה [math]\displaystyle{ (e,\infty) }[/math] .

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

הסימן של [math]\displaystyle{ f'' }[/math] נקבע ע"י [math]\displaystyle{ -x\big(3-2\ln(x)\big) }[/math] ולכן נקודות חשודות לפיתול הם [math]\displaystyle{ e\sqrt{e} }[/math] .

[math]\displaystyle{ f''(e)\lt 0\ ,\ f''(e^4)\gt 0 }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ e\sqrt{e}\approx 10 }[/math] נקודת פיתול.

הפונקציה קעורה כלפי מטה ב- [math]\displaystyle{ (0,e\sqrt{e}) }[/math] .

הפונקציה קעורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ (e\sqrt{e},\infty) }[/math] .

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית ב- [math]\displaystyle{ x=0 }[/math] כיון ש- [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty }[/math] .

אסימפטוטה אופקית:

[math]\displaystyle{ \begin{align}\displaystyle a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^2}=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac1x}{2x}=0\\b=\lim_{x\to\infty}\big[f(x)-ax\big]=\lim_{x\to}\frac{\ln(x)}{x}=0\end{align} }[/math]

ולכן [math]\displaystyle{ l(x)=0 }[/math] אסימטוטה אופקית.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=0 }[/math]

ציור הפונקציה Example2CStirgul2.gif

דוגמא 3: [math]\displaystyle{ f(x)=\dfrac{x^3}{12-x^2} }[/math]

תחום הגדרה

[math]\displaystyle{ x\ne\pm2\sqrt3 }[/math]

זוגיות/אי-זוגיות

[math]\displaystyle{ f(-x)=\dfrac{-x^3}{12-x^2}=-f(x) }[/math] ולכן [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] אי-זוגית.

נקודות קיצון

[math]\displaystyle{ f'(x)=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^{2}} }[/math] ולכן הנקודות החשודות הן [math]\displaystyle{ x_0=0,\pm6,\pm2\sqrt3 }[/math]

(נשים לב שהנקודות [math]\displaystyle{ \pm2\sqrt3 }[/math] אינן נקודות קיצון כי אינן בתחום ההגדרה).

מקס' או מיני'

נשים לב שסימן הנגזרת נקבע לפי החלק של [math]\displaystyle{ 36-x^2 }[/math] :

[math]\displaystyle{ \begin{align}f'(-7)\lt 0\\f'(-6)=0\\f'(-4)\gt 0\\f'(-1)\gt 0\\f'(0)=0\\f'(4)\gt 0\\f'(6)=0\\f'(7)\lt 0\end{align} }[/math]

ולכן משמאל ל-6- הפונקציה יורדת ומימין ל-6- היא עולה, כלומר 6- נקודות מיני'.

6 נקודת מקס'.

0 אינה נקודת קיצון כי הפונקציה עולה גם מימין לה וגם משמאל.

תחומי קעירות/קמירות ונקודות פיתול

דוגמא:

[math]\displaystyle{ \begin{align}f(x)&=\dfrac{x^3}{12-x^2}\\f'(x)&=\dfrac{3x^2(12-x^2)+2x^4}{(12-x^2)^2}=\dfrac{x^2(36-x^2)}{(12-x^2)^2}\\f''(x)&=\dfrac{24x(12-x^2)(36+x^2)}{(12-x^2)^4}\end{align} }[/math]

הנקודות החשודות לפיתול הן [math]\displaystyle{ 0,\pm2\sqrt3 }[/math] . הסימן של [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] נקבע לפי החלק [math]\displaystyle{ x(12-x^2) }[/math] .

נבדוק:

[math]\displaystyle{ \begin{align}f''(-4)\gt 0\\f''(-1)\lt 0\\f(0)=0\\f(1)\gt 0\\f(4)\lt 0\end{align} }[/math]

ומכאן מסיקים כי -

בקטע [math]\displaystyle{ (-\infty,-2\sqrt3) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע [math]\displaystyle{ (-2\sqrt3,0) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מטה,

בקטע [math]\displaystyle{ (0,2\sqrt3) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מעלה,

בקטע [math]\displaystyle{ (2\sqrt3,\infty) }[/math] הפונקציה קעורה כלפי מטה,

ובנקודה 0 יש נקודות פיתול (כי הנגזרת השניה שלילית עד אליה וחיובית ממנה).

אסימפטוטות

ל- [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{x^3}{12-x^2} }[/math] יש 2 אסימפטוטות אנכיות ב- [math]\displaystyle{ x=\pm2\sqrt3 }[/math]

כי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^+}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^+}f(x)=-\infty }[/math]

[math]\displaystyle{ \lim\limits_{x\to{-2\sqrt3}^-}f(x)=\lim\limits_{x\to{2\sqrt3}^-}f(x)=\infty }[/math]

אסימפטוטה אופקית:

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{align}a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x(12-x^2)}=-1\\b=\lim_{x\to\infty}\left[\frac{x^3}{12-x^2}+x\right]=\lim_{x\to\infty}\frac{12x}{12-x^2}=0\end{align} }[/math]

באותו אופן גם אסימפטוטה לכיוון [math]\displaystyle{ x\to-\infty }[/math] תצא אותו דבר

ולכן [math]\displaystyle{ l(x)=-x }[/math] אסימפטוטה אופקית לשני הצדדים.

התנהגות הפונקציה באינסוף

עבור הדוגמא שלנו [math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=\infty\ ,\ \lim_{x\to-\infty}\frac{x^3}{12-x^2}=-\infty }[/math]

ציור הפונקציה

Examp3e2CStirgul2.gif

משפטים לסיכום:

1) אם [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] גזירה בנקודת קיצון [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] .

2) מבחן הנגזרת השניה - אם [math]\displaystyle{ f'(x_0)=0 }[/math] ומתקיים [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] נקודת מיני'.

3) אם [math]\displaystyle{ f'(x)\le0 }[/math] בקטע [math]\displaystyle{ I }[/math] אזי הפונקציה יורדת שם. אם [math]\displaystyle{ f'(x)\ge0 }[/math] אזי הפונקציה עולה שם.

4) אם [math]\displaystyle{ f''(x_0)\gt 0 }[/math] אזי [math]\displaystyle{ f(x) }[/math] קעורה כלפי מעלה ב- [math]\displaystyle{ x_0 }[/math] .

מסקנה: הנקודות החשודות לפיתול הם הנקודות בהם [math]\displaystyle{ f''(x) }[/math] אינה קיימת או ש- [math]\displaystyle{ f''(x)=0 }[/math] .

אוחזר מתוך "https://math-wiki.com/index.php?title=חקירת_פונקציות&oldid=70519"