88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/13: הבדלים בין גרסאות בדף

גרסה מ־19:56, 15 בפברואר 2017

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left[\sqrt[n]e-1\right] }[/math]

כיון ש- [math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^n }[/math] שואף למספר e מלמטה מתקיים כי [math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^n\lt e }[/math]

ולכן

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{\left(1+\dfrac1n\right)^n}-1\lt \sqrt[n]e-1 }[/math]

אבל

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]{\left(1+\dfrac1n\right)^n}-1=\dfrac1n }[/math]

קיבלנו שהטור גדול מטור שמתבדר ולכן מתבדר ע"פ מבחן ההשוואה הראשון.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 [[88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות|חזרה לדוגמאות]]
+*<math>\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left[\sqrt[n]e-1\right]</math>
-*<math>\sum \sqrt[n]{e}-1</math>
+כיון ש- <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n</math> שואף למספר e '''מלמטה''' מתקיים כי <math>\left(1+\dfrac1n\right)^n<e</math>
-כיוון ש <math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n</math> שואף למספר e '''מלמטה''' מתקיים כי
-::<math>\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n<e</math>
 ולכן
-<math>\sqrt[n]{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}-1<\sqrt[n]{e}-1</math>
+<math>\sqrt[n]{\left(1+\dfrac1n\right)^n}-1<\sqrt[n]e-1</math>
 אבל
-<math>\sqrt[n]{\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n}-1 = \frac{1}{n}</math>
+<math>\sqrt[n]{\left(1+\dfrac1n\right)^n}-1=\dfrac1n</math>
 קיבלנו שהטור גדול מטור שמתבדר ולכן מתבדר ע"פ מבחן ההשוואה הראשון.