📄 דף מעודכן על הנושא: חשבון אינפיניטיסימלי 1/פרק 3 - טורים: הגדרות ומשפטים מהקורס, סרטון, דוגמאות פתורות ותרגול.

טורים חיובים

קבעו לכל אחד מן הטורים הבאים אם הוא מתכנס או מתבדר, קבעו לאילו ערכים של הפרמטרים הטורים מתכנסים או ענו על השאלה

1

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{n!}} }[/math]

פתרון

2

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}} }[/math] , כאשר [math]\displaystyle{ m,k\in\N }[/math]

פתרון

3

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{\sqrt[n]{(n!)^2}} }[/math]

פתרון

4

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\big[\sqrt[n]n-1\big] }[/math]

פתרון

5

יהיו [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n,\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] טורים חיוביים כך ש- [math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\le\dfrac{b_{n+1}}{b_n} }[/math] .

הוכיחו כי אם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n }[/math] מתכנס אזי גם [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n }[/math] מתכנס

פתרון

6

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{n^{n-2}}{e^nn!} }[/math] (רמז: תרגיל קודם)

פתרון

7

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha n)^n}{n!} }[/math]

פתרון

8

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n\ln(n)^\alpha} }[/math]

פתרון

9

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty|\alpha|^{\sqrt{n}} }[/math]

פתרון

10

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty|\alpha|^{\ln(n)} }[/math]

פתרון

11

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left[1-\cos\left(\tfrac1n\right)\right] }[/math]

פתרון

12

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\ln\big(\cos(n^{-|\alpha|})\big) }[/math]

פתרון

13

[math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\left[\sqrt[n]e-1\right] }[/math]

פתרון