88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/2

חזרה לדוגמאות

• [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{\sqrt[m]{n!}}{\sqrt[k]{(2n)!}} }[/math] , כאשר [math]\displaystyle{ m,k\in\N }[/math]

נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):

[math]\displaystyle{ \displaystyle\begin{align}\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{(n+1)!}}{\sqrt[k]{(2(n+1))!}}\cdot\frac{\sqrt[k]{(2n)!}}{\sqrt[m]{n!}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n+1}}{\sqrt[k]{(2n+1)(2n+2)}}=\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[m]{n}}{\sqrt[k]{4n^2}}\cdot \frac{\sqrt[m]{1+\frac1n}}{\sqrt[k]{1+\frac3{2n}+\frac1{2n^2}}}\end{align} }[/math]

הביטוי הימני שואף ל-1, לכן מספיק לנו לחשב את הגבול:

[math]\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\dfrac{\sqrt[m]n}{\sqrt[k]{4n^2}}=\dfrac{n^{\frac1m-\frac2k}}{\sqrt[k]4} }[/math]

נחלק למקרים:

[math]\displaystyle{ \dfrac1m-\dfrac2k\gt 0 }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ 2m\lt k }[/math])

אזי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\infty }[/math] והטור מתבדר

[math]\displaystyle{ \dfrac1m-\dfrac2k\lt 0 }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ 2m\gt k }[/math])

אזי [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=0 }[/math] והטור מתכנס

[math]\displaystyle{ \frac1m-\frac2k=0 }[/math] (כלומר [math]\displaystyle{ 2m=k }[/math])

אזי לכל [math]\displaystyle{ k }[/math] מתקיים [math]\displaystyle{ \lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac1{\sqrt[k]4}\lt 1 }[/math] ולכן הטור מתכנס.