88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/7

חזרה לדוגמאות

• [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{(\alpha n)^n}{n!} }[/math]

ראשית, נפעיל את מבחן המנה (דלאמבר):

[math]\displaystyle{ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{(\alpha n)^n}{n!}}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{\big(\alpha(n+1)\big)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\dfrac{n!}{(\alpha n)^n} =\lim_{n\to\infty}\alpha\cdot\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n=\alpha\cdot e }[/math]

כעת, אם [math]\displaystyle{ 0\lt \alpha\lt \dfrac1e }[/math] הטור מתכנס.

אם [math]\displaystyle{ \alpha\gt \dfrac1e }[/math] הטור מתבדר.

אחרת:

כפי שראינו בערך על המספר e, לכל [math]\displaystyle{ n }[/math] מתקיים:

[math]\displaystyle{ \left(1+\frac1n\right)^{n+1}\gt e }[/math]

ולכן, באופן דומה לתרגיל קודם מתקיים:

[math]\displaystyle{ \dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{e}\gt \dfrac{\left(1+\dfrac1n\right)^n}{\left(1+\dfrac1n\right)^{n+1}}=\dfrac{\dfrac1{n+1}}{\dfrac1n} }[/math]

ולכן הטור מתבדר, כיון שהטור ההרמוני מתבדר.