88-132 אינפי 1 סמסטר א' תשעב/מערך תרגול/טורים/מבחנים לחיוביים/דוגמאות/4

חזרה לדוגמאות

• [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\big[\sqrt[n]n-1\big] }[/math]

נבצע את מבחן ההשוואה הראשון עם הטור ההרמוני [math]\displaystyle{ \displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1n }[/math]

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]n-1>\dfrac1n }[/math]

אם"ם

[math]\displaystyle{ \sqrt[n]n>1+\dfrac1n }[/math]

אם"ם

[math]\displaystyle{ n>\left(1+\dfrac1n\right)^n }[/math]

אך כיון ש- [math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^n }[/math] שואף למספר e מלמטה מתקיים כי

[math]\displaystyle{ \left(1+\dfrac1n\right)^n<e }[/math]

ולכן, סה"כ, החל מ [math]\displaystyle{ n>3 }[/math] מתקיים

[math]\displaystyle{ n>3>e>\left(1+\frac1n\right)^n }[/math]

ולכן לפי מבחן ההשוואה הראשון הטור מתבדר.