שינויים

==תתי-סדרות מונוטוניות==<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תת-סדרה נקראת '''מונוטונית עולה''' מתקבלת מסדרה ע"י השמטת מספר כלשהו של אברים ('''יורדת''') אם כל איבר בה גדול שווה לקודמו (קטן שווה לקודמולא בהכרח סופי). נגדיר זאת במדויק:

;<font size=4 color=#3c498e>הגדרה.</font>תהי סדרה ממשית <math>a_n</math> ותהי סדרה '''דוגמאות.עולה ממש'''*של מספרים טבעיים <math>1,2,3,6,7,8,20,20,20,20.1,30,..n_k</math> (כלומר <math>n_1<n_2<n_3<\cdots</math>).אזי <math>a_{n_k}</math>הנה תת-סדרה של <math>a_n</math> .

*הערה: שימו לב שמכיון שההגדרה המדויקת של סדרה הנה פונקציה, תת-סדרה הנה הרכבה של פונקציית הסדרה על פונקציה המשמיטה אברים מהסדרה (בפרט, את כל האברים שבין <math>0,0.9,0.99,0.999,...n_k</math>לבין <math>n_{k+1}</math> לכל <math>k</math>).

'''משפטדוגמא.''' נביט בסדרה <math>a_1,a_2,a_3,\ldots</math> אזי תת-סדרה '''מונוטונית''' וגם '''חסומה''' מתכנסת. סדרה מונוטונית שאינה חסומהאחת שלה תהא <math>a_1, מתכנסת במובן הרחב.a_3,a_{15},a_{85},\ldots</math>

;<font size=4 color=#3c498e>'''הגדרה.''' </font>תהי תהא <math>a_n</math> סדרה ממשית . אזי <math>a_mL</math> ותהי סדרה נקרא '''עולה ממשגבול חלקי''' של מספרים טבעיים <math>n_k</math> (כלומר, <math>n_1<n_2<n_3<...</math>). אזי הסדרה אם קיימת לה תת-סדרה <math>a_{n_k}</math> הינה תת סדרה של <math>a_n\to L</math>.

הערה: שימו לב שמכיוון שההגדרה המדוייקת של סדרה הינה פונקציה, תת ;משפט.תהא <math>a_n</math> סדרה הינה הרכבה של פונקצית הסדרה על פונקציה המשמיטה איברים מהסדרה (בפרט, את כל האיברים שבין . אזי <math>n_iL</math> לבין '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>n_{i+1}\varepsilon>0</math> ו'''לכל i)''' <math>N\in\N</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש- <math>|a_n-L|<\varepsilon</math> .

'''דוגמא;משפט.''' נביט בסדרה סדרה מתכנסת לגבול <math>a_n=(-1)^nL</math> ובסדרת המספרים הטבעיים אם"ם כל תתי-הסדרות שלה מתכנסות לגבול <math>n_k=2kL</math> אזי <math>a_{n_k}=(-1)^{2k}=1</math> הינה תת סדרה של הסדרה המקורית.

'''דוגמאמסקנה.''' נביט בסדרה אם לסדרה קיימת תת-סדרה המתכנסת לגבול <math>a_1,a_2,a_3,...K</math> אזי וקיימת תת -סדרה אחת שלה תהא שאינה מתכנסת לגבול <math>a_1,a_3,a_{15},a_{85},...K</math>אזי הסדרה המקורית אינה מתכנסת.

''';משפטבולצאנו ויירשטראס.''' תהא <math>a_n</math> סדרה. אזי L '''גבול חלקי''' שלה אם"ם '''לכל''' <math>\epsilon >0</math> ו'''לכל''' <math>N\in\mathbb{N}</math> '''קיים''' <math>n>N</math> כך ש <math>|a_nסדרה חסומה יש תת-L|<\epsilon</math>סדרה מתכנסת.

במילים, '''קיימים[[משפטים/אינפי/בולצאנו-ויירשטראס|הוכחה]]''' אינסוף איברים מהסדרה הקרובים . (בהוכחה מוזכרת גם הלמה של קנטור.) ;משפט.תהי <math>a_n</math> סדרה המתכנסת לגבול כרצוננו<math>L</math> . אזי כל תת-סדרה שלה מתכנסת לגבול <math>L</math> . ;הוכחה.לפי הגדרת הגבול, אך לא לכל <math>\varepsilon</math> יש מקום בסדרה שהחל ממנו והלאה אברי הסדרה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> . כיון שאברי תת-הסדרה נלקחים מהסדרה המקורית ללא שינוי סדר הקדימות, גם אבריה קרובים לגבול עד כדי <math>\varepsilon</math> החל ממקום מסוים והלאה. (שימו לב שהמקום הזה מגיע יותר מהר מאשר בסדרה המקורית כיון שאולי זרקנו אברים בדרך.)  ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font>מצא את '''כל''' האיברים חייבים להתקרב לגבול כרצוננו הגבולות החלקיים של הסדרה <math>a_n=(אחרת הוא היה -1)^n\left(5-\dfrac4{2^n}\right)</math> ;פתרוןנביט בתת הסדרה המורכבת מהאברים הזוגיים <math>a_{2k}=\left(5-\dfrac4{2^{2k}}\right)\to5-0=5</math> באופן דומה סדרת האי-זוגיים שואפת ל- <math>-5</math> . האם <math>\pm5</math> הם הגבולות החלקיים היחידים של הסדרה? נניח בשלילה שהיה גבול מלא ולא חלקי)אחר. לפי ההגדרה, קיימת תת-סדרה השואפת אליו. בהכרח היו בתת-סדרה זו אינסוף אברים זוגיים '''או''' אינסוף אברים אי-זוגיים. נביט בתת-הסדרה המורכבת מאינסוף אברים אילו בתוך תת-הסדרה. מצד אחד הם שואפים ל- <math>\pm5</math> כי הם מהווים תת-סדרה של האברים הזוגיים או האי-זוגיים, אבל מצד שני הם שואפים לגבול החלקי האחר מכיון שהם מהווים תת-סדרה של תת-הסדרה המתכנסת אליו, בסתירה.  ;<font size=4 color=#a7adcd>דוגמא.</font>לסדרה הבאה, אינסוף גבולות חלקיים::<math>1,1,\dfrac12,1,\dfrac12,\dfrac13,1,\dfrac12,\dfrac13,\dfrac14,\ldots</math>  ;<font size=4 color=#a7adcd>תרגיל.</font> מצא סדרה שקבוצת הגבולות החלקיים שלה מהווה את כל המספרים הממשיים. ;פתרוןנסדר את קבוצת המספרים הרציונאליים <math>\Q</math> . כיון שבכל סביב של מספר ממשי ישנו מספר רציונאלי, ניתן לבנות סדרת מספרים רציונאליים השואפת אליו. בנוסף, ברור כי יש תתי-סדרות השואפות לפלוס ומינוס אינסוף. בכוונה לא ניסחנו את הפתרון באופן פורמלי ומדויק, עשו את זה בעצמכם כתרגיל.